Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Da wir im folgenden den Begriff der Teilaussage benötigen, führen wir hier informal ein, daß Teilaussagen alle
Aussagen sind, die Teil einer übergeordneten Aussage sind und mittels der Operatoren ∧, ∨, ¬, ⇒ und ⇔
miteinander verknüpft werden. Die Aussage (b ∨ c) enthält die (atomaren) Teilaussagen b und c.
Wie man sieht, sind alle nicht atomaren Aussagen geklammert. Die folgende Grammatik (analog [Gries, 1981])
macht dies überflüssig.
Startsymbol: Aussage
Alphabet:
Grundmengen Bezeichner
Sonstige Symbole ¬, ∧, ∨, ⇒ , ⇔ , (, ), T, F
Syntax: Aussage ::= Imp-Ausdruck | Aussage ⇔ Imp-Ausdruck
Imp-Ausdruck ::= Ausdruck | Imp-Ausdruck ⇒ Ausdruck
Ausdruck ::= Term | Ausdruck ∨ Term
Term ::= Faktor | Term ∧ Faktor
Faktor ::= ¬ Faktor | ( Aussage ) | T | F | Bezeichner
Abbildung 2.6: Syntax der Aussagenlogik (Klammerung nur soweit notwendig)
In dieser Grammatik werden die folgenden Wertigkeiten der Operatoren realisiert: ¬, ∧, ∨, ⇒ , ⇔ .
Die Wertigkeit nimmt von links nach rechts ab, der ganz links stehende Operator ¬ bindet am stärksten.
Für Folgen gleicher Operatoren ergibt sich, daß a ∧ b ∧ c identisch ist zu ((a ∧ b) ∧ c). Das soll heißen,
daß zuerst der am weitesten links stehende Operator seine beiden Operanden bindet. Falls mehr als drei
Operatoren auftreten, gilt natürlich dies natürlich auch und entsprechend für die anderen Operatoren. Diese
Wertigkeit ist die übliche. Da die Definition der Semantik im folgenden Kapitel deutlich unübersichtlicher
wird, wenn die erste Grammatikvariante Verwendung findet, benutzen wir auch an dieser Stelle die zweite.
Dies macht dann insbesondere auch den Umgang mit den Semantik-Funktionen sehr viel einfacher. Man muß
sich jedoch, wenn man auf die Klammern verzichtet, immer über die Priorität der Operatoren klar sein,
insbesondere bei der Bestimmung bei der Bestimmung der Semantik eines Ausdruckes. Wenn im folgenden
die Rede von Aussagen ist, dann sind immer solche gemeint, die obiger Syntax entsprechen. Beispiele für
syntaktisch korrekte Aussagen sind T und (b ∨ c). Der folgende Ableitungsbaum zeigt, daß dies auch für
¬a ∧b ∨c ⇒ d ⇔ e gilt.
Aussage
Aussage ⇔ Imp-Ausdruck
Imp-Ausdruck Ausdruck
Imp-Ausdruck ⇒ Ausdruck Term
Ausdruck Term Faktor
Ausdruck ∨ Term Faktor e
Term Faktor d
Term ∧ Faktor c
Faktor b
¬ Faktor
a
Wir möchten nochmals darauf hinweisen, daß trotz der teilweise recht suggestiven Namensgebung die Sätze
über unserer Grammatik noch keine Bedeutung haben. Dies gilt insbesondere auch für die Symbole T und F.