Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Atomare Aussagen sind zum Beispiel:
• Berlin ist die Hauptstadt der Bundesrepublik Deutschland
• Ich bin Nichtraucher
• Es regnet
• 17 ist eine Primzahl
Demgegenüber sind folgende Sätze keine Aussagen im Sinne der Aussagenlogik, weil ihnen kein Wahrheitswert
zugewiesen werden kann:
• Guten Morgen
• Warum immer ich ?
Bei den Beispielen für die atomaren Aussagen zeigt sich, daß obige Definition zumindest problematisch ist,
da die Korrektheit des zweiten Beispiels von demjenigen abhängt, der behauptet, er rauche nicht. Wir gehen
im folgenden davon aus, daß wir atomaren Aussagen immer eindeutig einen Wahrheitswert zuordnen können.
Die Zusammensetzung der Teilaussagen erfolgt mittels Junktoren. Beispiele hierfür sind:
• Jan hat grüne Stiefel, und Johanna hat blaue Stiefel
• München hat am 2.6.91 1700000 Einwohner, und die Ostsee ist an ihrer tiefsten Stelle 6 Meter tief
Wir werden im folgenden Aussagen wie ’Jan hat grüne Stiefel’ z.B. mit A benennen. Es ist nämlich zum einen
sehr mühsam, immer ’Jan hat grüne Stiefel’ schreiben zu müssen (A ist viel kürzer) und zum zweiten ist der
eigentliche Inhalt der Aussage für die Aussagenlogik insoweit uninteressant, als daß wir nur wissen müssen,
ob die atomare Aussage wahr oder falsch ist. Diese Entscheidung fällt aber nicht in das Aufgabengebiet der
formalen Logik.
Da wir die Aussagenlogik als formales System begreifen wollen, werden wir zunächst die Syntax festlegen und
im Kapitel Semantik den zusammengesetzten Aussagen eine eindeutige Bedeutung geben.
Startsymbol: Aussage
Alphabet:
Grundmengen Bezeichner
Sonstige Symbole ¬, ∧, ∨, ⇒ , ⇔ , (, ), T, F
Syntax: Aussage ::= Atomaraussage
| (¬ Aussage)
| (Aussage ∧ Aussage) | (Aussage ∨ Aussage)
| (Aussage ⇒ Aussage) | (Aussage ⇔ Aussage)
Atomaraussage ::= T | F | Bezeichner
Abbildung 2.5: Syntax der Aussagenlogik (mit voller Klammerung)
Für die eingeführten Operatoren wird die folgende Terminologie verwendet. ∧ wird als Konjunktion bezeichnet,
∨ als Disjunktion, ¬ als Negation, ⇒ als Implikation und ⇔ als Äquivalenz. b ∧ c wird gelesen als ‘b
und c’, b ∨ c als ‘b oder c’, ¬ a als ‘nicht a’, b ⇒ c als ‘b impliziert c’ und b ⇔ c als ‘b gleich c’. 5
Der Leser möge sich selbst das hier verwendete Alphabet klarmachen. Wir treffen hier nur in soweit eine
Vereinbarung, daß Bezeichner aus einem oder einer Folge kleiner Buchstaben gewählt werden können. Jeder
Bezeichner steht für eine atomare Aussage wie die bereits dargestellten. Damit ist auch klar, daß zu jeder
Beschreibung eines Problems eine Zuordnung zwischen Bezeichnern und Aussagen zu treffen ist. Diese erfolgt
jedoch nicht mit den sprachlichen Mitteln der formalen Logik (s. auch folgende Beispiele).
5 In den meisten Programmiersprachen wird deshalb anstelle von ⇔ das Gleichheitssymbol = verwendet.