Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

möglichen Alternativen auf der rechten Seite sind mittels | getrennt. Sie werden als syntaktische Alternativen
bezeichnet. Falls auf der rechten Seite einer Regel (also auch der Startregel) ein Non-Terminalsymbol
auftritt, wird dieses durch eine der Alternativen auf der rechten Seite einer Regel ersetzt, bei der dieses
Non-Terminalsymbol links steht. Terminalsymbole werden direkt Bestandteil des zu konstruierenden Satzes.
In einem konkreten Satz erscheinen dabei konkrete Elemente der Grundmengen Namen und Kostanten. In
unserem Beispiel mit Peter und dem Apfel, wären Subjekt, Prädikat und Objekt Grundmengen, die in diesem
Satz verwendeten Elemente wären Peter (als Element der Menge Subjekt), ißt (als Element der Menge
Prädikat) und einen Apfel (als Element der Menge Objekt). Dieser Prozeß wird solange fortgeführt, bis alle
Non-Terminalsymbole durch Terminalsymbole ersetzt sind. Dabei kann jede Regel beliebig häufig (d.h. auch
gar nicht) angewandt werden, vorausgesetzt, ihre linke Seite ’paßt’. Das folgende Beispiel enthält den Nachweis,
daß der Satz a ∗ b + c eine syntaktisch korrekte Formel ist, d.h., daß er mit der obigen Grammatik ableitbar
ist. Dabei steht −→ für ’wird abgeleitet zu’ und die Nummer rechts bezeichnet die verwendete Regel).
Formel −→ Formel + Term [2]
−→ Term + Term [1]
−→ Term ∗ Faktor + Term [5]
−→ Faktor ∗ Faktor + Term [4]
−→ a ∗ Faktor + Term [8]
−→ a ∗ b + Term [8]
−→ a ∗ b + Faktor [4]
−→ a ∗ b + c [8]
In diesem Beispiel werden die mathematischen Ausdrücke in der sogenannten Infix-Notation dargestellt. Hierbei
steht der Operator zwischen (in) den Operanden. a+b wäre ein typisches Beispiel für die Infix-Darstellung
(oder -Notation). Bei Operatoren mit mehr als zwei Operanden ist diese Schreibweise nicht mehr gut verwendbar.
Stattdessen wird in solchen Fällen die Prefix-Darstellung, der Operator steht vor den Operanden,
verwendet. In der Prefix-Darstellung könnte die zwei-stellige Vergleichsoperation ≥ mit den Parametern a
und b als ≥(a, b) geschrieben werden.
Wenn hier von Syntax die Rede ist, dann gehen wir immer davon aus, daß eindeutig zu identifizieren ist,
welcher Art Objekt ein Wort der Sprache ist, d.h. zu welcher Grundmenge es gehört. Dies ist, was die natürliche
Sprache betrifft u.U. eine unzulässige Annahme, wie das folgende Beispiel zeigt:
Peter zieht gerade Linien
Hier ist nicht klar zu entscheiden, ob gerade ein Adjektiv oder eine zeitliche Bestimmung ist; sind die Linien, die
Peter zieht, gerade, oder ist er just in diesem Augenblick dabei Linien (u.U. krumme) zu ziehen? Ein ähnliches
Problem ergibt sich auch im Fall mehr formaler Sprachen, z.B. Programmiersprachen. Die Anweisung
if a ≤ b then if b ≤ c then x := a else x := c
ist mehrdeutig, da unklar ist, zu welcher if-Anweisung das else gehört. Mithin stellt sich im Fall von a > b
die Frage nach dem Wert von x. Hier muß die Struktur der Anweisung eindeutig interpretierbar sein. Wir
gehen hier immer davon aus, daß die Elemente unserer Grundmengen disjunkt sind, d.h., daß jedem Element
des Alphabetes genau eine Menge zugeordnet werden kann und daß die Struktur unserer Sätze eindeutig
erkennbar ist. Letzteres bedeutet, daß die Grammatik die Möglichkeit bieten muß, den Ableitungsprozeß zu
rekonstruieren, d.h. einen Ableitungsbaum zu erstellen.
Ein Ableitungsbaum ist eine Darstellung der Ableitung unabhängig von der Ersetzungsauswahl. Der Ableitungsbaum
zeigt deutlich die Bindungsregeln, die durch die Grammatikstruktur vorgegeben sind. Falls es zur
Erzeugung eines bestimmten Wortes über einer Grammatik nur eine Folge von Regelanwendungen gibt, dann
bezeichnen wir die Herleitung als eindeutig. Eine eindeutige Herleitung erzwingt dabei auch einen eindeutigen
Ableitungsbaum, während es zu einem Ableitungsbaum durchaus auch mehrere Herleitungen geben kann.
Diese unterscheiden sich dann nur in der Reihenfolge ihrer Regelanwendungen. In unserem Herleitungsbeispiel
hatten wir z.B. immer das am weitesten links stehende Non-Terminal-Symbol expandiert, wir hätten