Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

3. m=n ⇒ ( GGT(m,n,t) ⇔ (t=m) )
“GGT(m,n,t) ist genau dann wahr, wenn t=m ist, falls m gleich n ist”.
Diese drei Regeln sind bereits ein Logik-Programm. Sie sind konstruktiv, denn sie erklären, daß die Überprüfung
der Wahrheit von GGT(m,n,t) sich auf die Überprüfung von GGT mit kleineren Argumenten m-n bzw n-m
zurückführen läßt, falls m ungleich n ist. Da m und n natürliche Zahlen sind, muß diese Reduktion auf kleinere
Argument einmal mit der Aussage, nun ist m=n, abbrechen. Dann haben wir aber das Ergebnis. Die Tatsache,
daß zur Erklärung des GGT’s wiederum der GGT benutzt wird, wird als Rekursion bezeichnet. GGT ist also
rekursiv definiert.
1.2.1.2 Maschinelle Interpretation des logischen Programms
Hier setzt nun ein maschinell durchführbares Verfahren für die Interpretation auf. Man versucht für gegebene
Argumente, diese Argumente mit Hilfe der Eigenschaften (Regeln) solange über die Gleichungen zu reduzieren,
bis man das Ergebnis erhält.
Beispiel 1.2.1 Gesucht ist ein t für das GGT(12,15,t) wahr ist. Das Verfahren ist hier sehr einfach: Wir
prüfen, welche Regel überhaupt anwendbar ist. Da sich die Bedingungen für m und n gegenseitig ausschließen,
kann jeweils nur eine Gleichung zur Reduktion verwendet werden:
Nach (2) gilt GGT(12, 15 ,t) ⇔ GGT(12, 3, t)
(1) GGT(12, 3, t) ⇔ GGT(9, 3, t)
(1) GGT(9, 3, t) ⇔ GGT(6, 3, t)
(1) GGT(6, 3, t) ⇔ GGT(3, 3, t)
(3) GGT(3, 3, t) ⇔ (t=3)
Also gilt (t=3) ⇔ GGT(3,3,3) ⇔ GGT(6,3,3) ⇔ ... ⇔ GGT(12,15,3). Wir haben eine Lösung gefunden.
Beispiel 1.2.2 Komplizierter wird der Fall für GGT(m,4,2). Hier gilt nicht mehr, daß sich die einzelnen
Regeln gegenseitig ausschließen, da ja der Wert von m unbekannt ist und daher alle drei Regeln verfolgt werden
müssen. Wir wenden nun stets alle drei Regeln an und notieren uns bei jeder, unter welchen Voraussetzungen
die Gleichung angewandt wurde:
GGT(m, 4, 2)
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(1) m>4 (2) m