Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

∀a ∈IN. teilt(a,a) ∧ teilt(a,a*b)
Der größte gemeinsame Teiler ist nun eine Funktion ggt, die zwei Argumente aus IN auf eine Zahl aus IN
abbildet und die Eigenschaft hat: ggt(m,n) teilt m und n und jede Zahl t, die m und n teilt, ist kleiner oder
gleich ggt(m,n).
ggt:IN×IN→IN mit
∀m,n ∈IN. teilt(ggt(m,n),m) ∧ teilt(ggt(m,n),n)
∧ (∀t ∈IN. teilt(t,m) ∧ teilt(t,n) ⇒ t≤ggt(m,n) )
Diese Form der Beschreibung des größten gemeinsame Teilers ist nicht konstruktiv, denn sie gibt keinen
Hinweis, wie man für bestimmte Werte von m und n die Lösung berechnet. (Das Ausprobieren für alle t ist
natürlich keine konstruktive Verfahrensweise, da dies nicht in endlich vielen Schritten erfolgen kann.). Die
Schwierigkeit könnten wir beseitigen durch unser Wissen, daß Werte t, die größer als m oder n sind, weder
ein Teiler von m noch von n sein können. Wir können in der dritten zweiten Forderung den Bereich IN, in
dem wir die Lösung t suchen, zu dem endlichen Bereich {i ∈IN| i≤m ∧ i≤n} reduzieren:
∀t ∈{i ∈N| i≤m ∧ i≤n}. teilt(t,m) ∧ teilt(t,n) ⇒ t≤ggt(m,n)
Der Berechnungsaufwand (Komplexität) ist natürlich bei größeren Werten von m und n trotzdem erheblich,
aber wir stellen fest, daß bei endlichen Wertebereichen die Aufzählung eine maschinelle Auswertung erlaubt,
falls das verwendete Aussage teilt, stets definiert ist und ihre Prüfung beschränkten Zeitaufwand erfordert.
Mit dem Wissen aus der Zahlentheorie können wir jedoch einen Schritt weitergehen. Seit Euklid wissen wir,
daß eine Zahl t, die Teiler von m und n ist, auch m-n teilt, falls m größer als n ist, und n-m teilt, falls n größer
als m ist. Falls die Zahlen m und n gleich sind, dann ist jede von ihnen der größte gemeinsame Teiler.
teilt(t,m) ∧ teilt(t,n) ⇒ (m>n ⇒ teilt(t,m-n))
teilt(t,m) ∧ teilt(t,n) ⇒ (mn ⇒ ( GGT(m,n,t) ⇔ GGT(m-n,n,t) )
“GGT(m-n,n,t) ist genau dann wahr, wenn GGT(m,n,t) wahr ist, falls m größer als n ist”.
2. m