Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Beispiel 4.5.15 (Vertauschen von Sektionen in Feldern)
In einem Array a mit Grenzen lower und upper sollen zwei Sektionen Sl ≡ alower,alower+1,...,ap−1
und Sr ≡ ap,ap+1,...,aupper miteinander vertauscht werden. D.h. aus dem Feld
soll das Feld
alower,alower+1,...,ap−1 ap,ap+1,...,aupper
ap,ap+1,...,aupper alower,alower+1,...,ap−1
entstehen. Da das ursprüngliche Feld sehr groß sein kann, kommt als zusätzliche Einschränkung hinzu,
daß der zusätzlich verbrauchte Speicherplatz nur eine konstante Größe haben darf, also nicht etwa ein
zweites Feld für Kopierzwecke zur Verfügung steht.
Diese Aufgabe wäre sehr einfach zu lösen, wenn die beiden Sektionen gleich groß wären. In diesem Fall
könnte man nämlich einfach alower mit ap tauschen, alower+1 mit ap+1, usw. Es ist also nicht sehr schwer,
eine Routine swapequals zu schreiben, welche Sektionen gleicher Größe tauscht.
Die Tatsache, daß ein Spezialfall unseres Problems leicht zu lösen ist, wollen wir uns bei der Konstruktion
eines Algorithmus zunutze machen. Nehmen wir einmal an, die linke Sektion Sl 51 wäre größer als die
rechte Sr (andernfalls läßt sich das Argument umkehren). Dann können wir sie aufspalten in zwei Teile
Sl1 und Sl2, von denen der erste genauso groß ist wie Sr:
Sl1 Sl2 Sr
Wir tauschen nun Sl1 und Sr mithilfe der Routine swapequals und erhalten
Sr Sl2 Sl1 .
Da Sr nun an der richtigen Stelle steht, brauchen wir nur noch das Sl2 und Sl1 zu tauschen. Dies ist das
selbe Problem wie das ursprüngliche, wobei jedoch die zu tauschenden Sektionen kleiner geworden sind.
Wir können also das gleiche Verfahren erneut aufrufen und tun dies solange, bis die Sektionen gleich
lang sind, was spätestens dann eintritt, wenn die Sektionen die Länge Eins erreicht haben.
Damit ist die wesentliche Idee des Algorithmus – der übrigens eine sehr starke Verwandtschaft zu der
Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen hat – klar. Beim vollständigen Ausprogrammieren
muß man nur noch berücksichtigen, daß sich bei jedem Schritt die Feldgrenzen ändern und
ebenso der Index, an dem die beiden Sektionen aneinanderstoßen.
Das Beispiel illustriert die Grundidee der folgenden Strategie
Entwurfsprinzip 4.5.16 (Entwurf durch Reduktion auf leichtere Probleme)
Versuche, ein Problem so aufzuspalten, daß zunächst die Lösung eines bereits bekannten einfacheren
Problems angewandt werden kann und der Rest eine (kleinere) Variante des ursprünglichen Problems
beschreibt.
Je nach Problemstellung kann “einfacher” dabei sehr verschiedene Bedeutungen haben. Im obigen Beispiel
handelte es sich um einen Spezialfall, d.h. daß Problem wurde zusätzlich auf Sektionen gleicher Länge beschränkt.
Im Beispiel 4.5.2 der maximalen Segmentsumme (Seite 179) hat es sich gelohnt, das Problem dahingehend
zu erweitern, daß gleichzeitig die maximale Sume von Segmenten berechnet wurde, die bis zum rechten
Ende des Feldes reichen – das Problem wurde dadurch leichter. Ein Problem mag einfacher werden, wenn man
es zunächst verallgemeinert (einige Beschränkungen aufhebt) und aus der allgemeinen Lösung die Gesuchte
als Spezialfall ansieht. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn man die Reihenfolge der Elemente eines Feldes
a1,...,an Elementen umdrehen möchte: man schreibt zunächst eine Prozedur, welche beliebige Segmente
mit Grenzen links und rechts umdreht, und wendet diese dann an auf die Grenzen 1 und n. 52
51 Bei kompliziert zu beschreibenden Sachverhalten lohnt es sich immer, Namen zur Abkürzung einzuführen und auf die genaue
Definition erst dann zuzugreifen, wenn Detailfragen gelöst werden müssen. Die Beschreibung der Grundidee des Algorithmus
wäre erheblich undurchsichtiger, wenn wir die Indizes die ganze Zeit mitschleppen würden.
52 Ein immer noch sehr empfehlenswertes Buch über allgemeine Methoden zum Lösen von Problemen ist [Polya, 1945].