Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Als Initalanweisung genügt es, i mit der unteren Feldgrenze zu belegen und die Summe sum entsprechend
auf item(i) zu setzen. Danach gilt die Invariante und die Variante ist nicht negativ.
Init ≡ i:=p ; sum:=item(i).
Als nächstes bestimmen wir die Abbruchbedingung der Schleife. Da Inv ∧Abbruch ⇒ post gelten
muß, vergleichen wir die Invariante mit der Nachbedingung und kommen zu dem Schluß, daß i=q
(oder auch i≥q) für diesen Zweck genügt.
Abbruch ≡ i=q.
Zum Schluß bestimmen wir die Schleifenanweisung. Diese muß die Variante verringern, um Terminierung
zu erreichen, und die Invariante erhalten, um Korrektheit zu garantieren. Um die Variante zu
verringern, müssen wir i erhöhen, weil wir p und q nicht ändern können. Der Schritt i:=i+1 alleine
würde allerdings die Invariante zerstören. Um diese wieder herzustellen, müssen wir den Summenwert
anpassen. Wegen i+1
k=p ak = i k=p ak + ai+1 reicht es, ai+1 aufzuaddieren. Wir erhalten
Anweisung ≡ i := i+1; sum := sum+item(i)
und haben damit alle Komponenten der Schleife beisammen. Insgesamt ergibt sich also folgendes Programmstück
zur Berechnung der Summe der Elemente einer Folge a von ganzen Zahlen.
from i := p ;
sum := item(i)
until i = q
loop
i := i+1;
sum := sum+item(i)
end
In diesem Beispiel wird das angestrebte Gleichgewicht zwischen Formalismus und Intuition besonders deutlich.
Vor- und Nachbedingung sowie Variante und Invariante wurden formal präzise beschrieben. Die Entwicklung
der einzelnen Programmteile geschah dagegen weniger formal, orientierte sich aber an den durch die Verifikationsregel
für Schleifen (Abbildung 4.11 auf Seite 161) vorgegebenen Randbedingungen.
Darüber hinaus illustriert das Beispiel aber auch eine einfache Methode, um Schleifen zu entwickeln: die
Abbruchbedingung sollte vor der Schleifenanweisung festgelegt werden und innerhalb der Schleifenanweisung
sollte zunächst die Verringerung der Variante angestrebt werden. Diese Methodik haben wir auch schon bei
der Berechnung der Fakultät mittels einer Schleife im Beispiel 4.3.9 auf Seite 156 angewandt.
Entwurfsprinzip 4.5.12 (Strategie zur Erzeugung von Schleifen)
Ein Programmstück sei spezifiziert durch eine Vorbedingung pre und die Nachbedingung post. Eine Verfeinerung
dieses Programmstücks zu einer Schleife kann durch folgende Strategie erzielt werden.
1. Ausgehend von einer groben Beweisidee lege die Invariante Inv und die Variante Var fest.
2. Bestimme eine Initialanweisung Init , welche die Invariante erfüllt.
3. Wähle eine Abbruchbedingung Abbruch, für die gilt Inv ∧Abbruch ⇒ post.
4. Bestimme eine Schleifenanweisung Anweisung, welche die Variante verringert und die Invariante erhält.
Die Verringerung der Variante sollte als erstes verfolgt werden.
5. Erzeuge das Programm from Init until Abbruch loop Anweisung end
Offen ist allerdings noch die Frage, wie denn die Invariante und die Variante aus einer vorgegebenen Problemstellung
abgeleitet werden kann. Auch hier lohnt sich ein zielorientiertes Vorgehen.
Da wir wissen, daß die Invariante zusammen mit der Abbruchbedingung die Nachbedingung implizieren muß,
können wir die Invariante als eine Abschwächung der Nachbedingung ansehen. Wir werden also versuchen, die
Nachbedingung so abzuschwächen, daß wir eine Invariante erhalten können. Hierzu gibt es eine Reihe von
Möglichkeiten.