Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Der vollständige Korrektheitsbeweis ergibt sich direkt aus einer Umsetzung des obigen Argumentes und
ist daher nicht mehr sehr schwer. Darüber hinaus ist der Algorithmus auch viel effizienter. Die Anzahl
der Rechenschritte für Folgen der Länge n liegt nun in der Größenordnung von n – also nur etwa 300
für Folgen der Länge 100.
Das obige Beispiel zeigt, daß man durch das Prinzip, den Beweis als Leitlinie zur Implementierung zu verwenden,
zu erheblich effizienteren und auch leichter zu verifizierenden Lösungen kommt. 46 Am folgenden Beispiel
wollen wir nun demonstrieren, daß manche Probleme überhaupt nicht gelöst werden können, wenn man sich
nicht zuvor eine Beweisidee zurechtlegt.
Beispiel 4.5.3 (Das Kaffebohnen Problem)
In einer Kaffedose befinden sich helle und dunkle Kaffebohnen. Aus dieser greife man sich zufällig zwei
Bohnen heraus. Sind sie gleich, so werden beide herausgenommen und eine dunkle wieder hineingetan
(es sind genügend dunkle Bohnen vorhanden). Sind sie unterschiedlich, so wird die helle zurückgelegt
und die dunkle herausgenommen. Das Ganze wird wiederholt, bis nur noch eine Bohne in der Dose ist.
Die Frage lautet nun, wie die Anzahl der hellen und dunklen Bohnen damit zusammenhängt, welche
Farbe die letze Bohne hat. Was bleibt z.B. übrig, wenn ursprünglich 43 helle und 32 dunkle Bohnen in
der Dose waren?
Nach einigen Versuchen stellt sich heraus, daß Experimente bei der Beantwortung dieser Frage überhaupt
nicht weiterhelfen. Es gibt Leute, die Stunden damit vergeudet haben, die verschiedensten Kombinationen
durchzuprobieren, ohne zu einem tragfähigen Ergebnis zu kommen. 47
Das einzige, was hier weiter hilft, ist die Überlegung, daß es irgendeine Eigenschaft geben muß, die durch
das Herausnehmen der Bohnen nicht verändert wird, also invariant bleibt. Diese Eigenschaft, zusammen
mit der Tatsache, daß nur eine Bohne übrigbleibt, kann dann die Antwort geben.
Nun, in jedem Zug verschwinden entweder zwei helle Bohnen aus der Dose oder keine und entweder
verschwindet eine dunkle Bohne oder es kommt eine hinzu. Nach einigem Nachdenken fällt auf, daß
Zwei und Null jeweils gerade Zahlen sind. Das bedeutet, daß bei einer geraden Anzahl von hellen Bohnen
nach einem Zug wieder eine geraden Anzahl von hellen Bohnen in der Dose liegt und ähnliches für eine
ungerade Anzahl gilt. Die Eigenschaft, ob eine gerade oder ungerade Anzahl heller Bohnen vorhanden
ist, bleibt also bei jedem Zug unveränderlich.
Als Konsequenz wissen wir nun, daß zum Schluß genau dann eine dunkle Bohne übrigbleibt, wenn zu
Beginn eine gerade Anzahl von hellen Bohnen in der Dose war.
Beide Beispiele zeigen, wie wichtig es ist, die Eigenschaften derjenigen Objekte zu kennen, mit denen das
Programm zu tun haben soll. Je mehr Zusammenhänge man formulieren kann, um so größer ist die Chance,
ein gutes und effizientes Programm zu schreiben.
Entwurfsprinzip 4.5.4
Mache Dir die Eigenschaften der Objekte klar, die von einem Programm manipuliert werden sollen.
Auch wenn wir die Bedeutung von Korrektheitsbeweisen besonders hervorheben, sei dennoch darauf hingewiesen,
daß eine vollständige Formalisierung der Beweise in einem Kalkül meist weder notwendig noch
erstrebenswert ist, solange keine Werkzeuge zur Unterstützung des Kalküls bereitstehen. Zu viel Formalismus
führt dazu, daß die wesentlichen Ideen in einem Übermaß an unverständlichen Details verlorengehen.
46Man mag hier natürlich einwenden, daß man eventuell auch auf anderen Wegen zu einer ähnlich guten Lösung gekommen
wäre. Ich persönlich halte dies aber für sehr unwahrscheinlich.
47Dies sagt auch etwas aus über die Aussagekraft von Tests bei der Analyse von Programmen. Man kann Tausende von
Testläufen durchführen ohne dadurch eine sichere Aussage über die Korrektheit des Programms zu gewinnen. Man kann mit
Tests oft nicht einmal den Gründen für die Fehler auf die Spur kommen, die man am äußeren Verhalten bereits entdeckt hat.