Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

• Die Variante einer rekursiven Routine muß ausdrücken, daß die Routine nur endlich oft aufgerufen
werden kann. Wie bei den Schleifen benötigt man hierzu einen Integer-Ausdruck, der stets größer gleich
Null ist und bei jedem rekursiven Aufruf mindestens um eins kleiner wird. Anders als bei der Schleife
muß diese aber durch einen Ausdruck beschrieben werden, der nichts über die inneren Eigenschaften der
Routine sagt, sondern nur von den äußeren Merkmalen abhängt – also den formalen Parametern, dem
untersuchten Objekt und ggf. dem Resultat. Wir müssen die Variante also im Extremfall durch einen
Integer-Ausdruck Var(yr,actual) beschreiben, um alle möglichen Abhängigkeiten zu berücksichtigen.
In unserem Beispiel fak berechnung ist die Variante ein sehr einfacher Ausdruck, nämlich der Parameter
n selbst. Aufgrund der Vorbedingung n>0 ist die Variante stets größer gleich Null. Bei jedem rekursiven
Aufruf wird sie geringer, da fak berechnung(n-1) der einzige rekursive Aufruf ist. In den meisten
rekursiven Routinen ist die Variante zum Glück ähnlich einfach und offensichtlich wie hier.
Eine Komplikation, welche das Aufstellen einer formalen Verifikationsregel erheblich erschwert, ist die Tatsache,
daß eine Routine beliebig viele rekursive Aufrufe haben darf und diese beliebig tief in anderen Programmkonstrukten
eingebaut sein dürfen. Da Rekursion aber als eine Art Gegenstück zu Schleifen anzusehen
ist, macht es wenig Sinn, rekursive Aufrufe innerhalb einer Schleife zu plazieren. Auch würde ein Korrektheitsbeweis
dadurch nahezu unmöglich. Daher darf man davon ausgehen, daß rekursive Aufrufe – wie in unserem
Beispiel – nur innerhalb von bedingten Anweisungen oder Fallunterscheidungen vorkommen. Somit kann man
zu jedem rekursiven Aufruf eine Bedingung angeben, die besagt, wann dieser Aufruf überhaupt ausgeführt
werden soll. Die Existenz einer solchen Bedingung ist wichtig für einen Terminierungsbeweis, da ohne diese
Bedingung die Routine sich unendlich oft aufrufen würde.
Die in Abbildung 4.15 angegebene Verifikations-“regel” für rekursive Routinen beschreibt eine Beweismethodik,
welche das oben Gesagte etwas stärker präzisiert und sich an der Schleifenregel (Abbildung 4.11)
orientiert.
Es sei r eine Routine mit formalen Argumenten yr und abstrakten Vor- und Nachbedingungen
prer bzw. postr. Der Anweisungsteil Br enthalte insgesamt m rekursive Aufrufe der Form
entityi.r(Ai(yr)) , wobei jeweils entityi ein Objekt und Ai(yr) Ausdrücke für aktuelle Argumente
beschreibt. Bedi(yr) beschreibe die Bedingung für den i-ten rekursiven Aufruf.
Die Routine r ist genau dann total korrekt, wenn gilt
Partielle Korrektheit: Unter der Annahme, daß alle rekursiven Aufrufe die Spezifikation von r
erfüllen, kann mithilfe der Verifikationsregeln 38 gezeigt werden
{ prer(yr)} Br { postr(yr)}
Terminierung: Es gibt einen Integer-Ausdruck Var, der nur von den Argumenten yr und dem
aktuellen Objekt abhängt und für den gezeigt werden kann
prer(yr) ⇒ Var(yr,Current)≥0
und für jeden rekursiven Aufruf entityi.r(Ai(yr))
prer(yr) ∧ Bedi(yr) ⇒ prer(Ai(yr)) ∧ Var(Ai(yr),entityi)