Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

4.3.10 Die Verifikation rekursiver Routinen
In den bisherigen Abschnitten haben wir alle Arten von Anweisungen besprochen und Regeln aufgestellt, wie
ihre Korrektheit zu beweisen ist. Bei diesen Betrachtungen haben wir jedoch einen Sonderfall außer Acht
gelassen, der bei der Verifikation noch Schwierigkeiten erzeugen kann, nämlich Routinen die sich selbst direkt
oder indirekt wieder aufrufen. Unser Programmstück zur Berechnung der Fakultät (siehe Beispiel 4.3.9 auf
Seite 161) hätten wir zum Beispiel auch durch folgende rekursive Funktion ausdrücken können.
fak berechnung(n:INTEGER):INTEGER is
require n>0
do
if n=1 then Result := 1
else Result := n * fak berechnung(n-1)
end
end
Dies spiegelt einen Gedankengang der Mathematik wieder, die Fakultätsfunktion statt durch eine Interation
durch zwei Gleichungen 1!=1 ∧ n!=n*(n-1)! auszudrücken, und ist um einiges eleganter (und leichter zu
verifizieren) als die Schleife. Dennoch tauchen rekursive Routinen tauchen in der Praxis recht selten auf, da
der gleiche Effekt mit Schleifen oft effizienter zu erreichen ist. In manchen Fällen ist dies allerdings recht
schwierig und deshalb kann man auf die Möglichkeit rekursiver Routinenaufrufe nicht sinnvoll verzichten.
So gibt es zum Beispiel Sortierprogramme für Felder, die zunächst einen “Mittelwert” bestimmen, das Feld
in zwei Teile zerlegen, die nur größere bzw. nur kleinere Werte enthalten, und dann in jeden Teil wieder
nach dem gleichen Verfahren sortieren, bis es nichts mehr zu teilen gibt. Eine rekursive Beschreibung dieses
sehr effizienten Verfahrens (“Quicksort”) ist auf Grundlage dieser Beschreibung sehr leicht zu geben. Ein
Programm, welches dasselbe nur durch Einsatz von Schleifen erreicht, ist dagegen nicht so leicht zu finden.
Darüber hinaus gibt es arithmetische Funktionen, die nur durch rekursive Gleichungen spezifiziert werden
können. Ein beliebtes Beispiel hierfür sind die Fibonaccizahlen, die wie folgt beschrieben sind.
Die erste Fibonaccizahl ist 1, die zweite ebenfalls.
Alle größeren Fibonaccizahlen ergeben sich aus der Summe ihrer beiden Vorgänger.
Bezeichnet man die n-te Fibonaccizahl mit fib(n), so kann man dies durch zwei Gleichungen ausdrücken:
fib(1)=fib(2)=1, fib(n+2)=fib(n+1)+fib(n).
Ein rekursives Programm für die Fibonaccizahlen ist leicht zu schreiben. Wir müssen nur jede Eingabe einheitlich
durch den Parameter n beschreiben, die Fälle n=1, n=2 und n>2 unterscheiden und die zweite Gleichung
durch eine Indextransformation n → n-2 umschreiben.
fib(n:INTEGER):INTEGER is
require n>0
do
if n