Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

{ pre} Anweisung1 { p} , { p} Anweisung2 { post}
{ pre} Anweisung1 ; Anweisung2 { post}
wp(Anweisung1;Anweisung2 , post) ≡ wp(Anweisung1 , wp(Anweisung2, post))
Abbildung 4.6: Verifikationsregel und Prädikatentransformer für zusammengesetzte Anweisungen
Beispiel 4.3.6 (Weakest Precondition zusammengesetzter Anweisungen)
1. wp(n:=n+1;x:=x*n , x=n!) ≡
wp(n:=n+1 , wp(x:=x*n, x=n!) ) ≡
wp(n:=n+1 , x*n = n! ) ≡
x=n! (Vergleiche Beispiel 4.3.2 auf Seite 146)
Das bedeutet, die schwächste Vorbedingung von x=n! für n:=n+1; x:=x*n wieder die Bedingung x=n!
ist. Diese Bedingung ist als invariant gegenüber der Ausführung der beiden Anweisungen. Diese Tatsache
werden wir später bei der Verifikation einer Funktion zur Berechnung der Fakultätsfunktion (siehe
Beispiel 4.3.9 auf Seite 161) ausnutzen.
2. Es sei P ein beliebiges Prädikat mit zwei freien Variablen. Dann gilt:
wp(hilf:=a; a:=b; b:=hilf , P(a,b)) ≡
wp(hilf:=a, wp(a:=b; b:=hilf , P(a,b))) ≡
wp(hilf:=a, wp(a:=b, wp(b:=hilf, P(a,b) ) ) ) ≡
wp(hilf:=a, wp(a:=b, P(a,hilf) ) ) ≡
wp(hilf:=a, P(b,hilf) ) ≡
P(b,a)
Da wir für P alles einsetzen dürfen, haben wir allgemein bewiesen, daß hilf:=a; a:=b; b:=hilf die
Werte von a und b vertauscht.
Zum Zweck der besseren Lesbarkeit werden wir in Beispielen ab jetzt immer die Zusicherungen direkt in unser
Programm einfügen und dabei das auf Seite 140 vorgestellte Schema benutzen.
{ pre}
Anweisung1; { p1}
Anweisung2; { p2}
.
Anweisungn
{ post}
Diese Notation hat folgende Bedeutung: stehen zwei Zusicherungen { p} und { q} untereinander, so sind
sie nach den Regeln der Prädikatenlogik oder nach anwendungsspezifischen Regeln (z.B. der Arithmetik)
ableitbar. Steht zwischen zwei Zusicherungen { p} und { q} eine Anweisung Anweisung, so bedeutet dies,
daß { p} Anweisung { q} aufgrund der entsprechenden Ableitungsregel des Hoare-Kalküls gilt. Wir haben
diese Notation bereits in füheren Beispielen verwendet, um Sätze des Hoare-Kalküls mit logischen Regeln
zu modifizieren. Erst die Verifikationsregel für zusammengesetzte Anweisungen jedoch rechtfertigt es, auch
mehrere Anweisungen hintereinander zu verwenden.
Beispiel 4.3.7 (Verifikation zusammengesetzter Anweisungen)
Programm Zusicherungen Prämissen
{ P(b,a)}
hilf:=a; { P(b,hilf)}
a:=b; { P(a,hilf)}
b:=hilf { P(a,b)}