Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Beispiel 4.3.5 (Funktionsaufrufe in Anweisungen)
• Die Funktion sqr habe als formales Argument x, als Vorbedingung x>5 und als Nachbedingung Result>25.
Die Nachbedingung der Anweisung y:=sqr(y) sei y>20. Dann führt folgende Argumentationskette zu
einer Vorbedingung:
Programm Zusicherungen Prämissen
{ y>5} y>5 ⇒ sqr(y)>25
{ sqr(y)>25} sqr(y)>25 ⇒ sqr(y)>20
{ sqr(y)>20}
y:=sqr(y)
{ y>20}
• Die Funktion dbl pos habe als formales Argument x, als Vorbedingung x>0 und als Nachbedingung
Result=2x. Die Prozedur r habe als formales Argument x, als Vorbedingung x>10 und als Nachbedingung
b>2x. Die Nachbedingung der Anweisung a.r(dbl pos(6)) sei a.b>20. Dann führt folgende
Argumentationskette zu einer Vorbedingung:
Programm Zusicherungen Prämissen
{ } true ⇒ 6>0 (Arithmetik)
{ 6>0} 6>0 ⇒ dbl pos(6)=2*6
{ dbl pos(6)=12} dbl pos(6)=12 ∧ 12>10 ⇒ dbl pos(6)>10 (Arithmetik)
{ dbl pos(6)>10}
a.r(dbl pos(6))
{ a.b>2*dbl pos(6)} dbl pos(6)=12 ∧ a.b>2*dbl pos(6) ⇒ a.b>24
{ a.b>24} a.b>24 ⇒ a.b>20
{ a.b>20}
Eine weitere Formalisierung würde versuchen, die angegebenen Prämissen, soweit sie nicht auf reiner Arithmetik
beruhen, um den Namen der zugehörigen logischen Regel zu ergänzen. Auf diese Art erhält man einen
Beweis, der maschinell geprüft werden kann.
4.3.3 Zusammengesetzte Anweisungen
Folgen von Anweisungen haben wir bereits ausgiebig benutzt. Sie ermöglichen, einen komplexen Ablauf in
eine Serie Einzelschritte zu zerlegen, die hintereinander ausgeführt werden. Die Syntax hierfür ist einfach: die
Folge wird – durch Semikolon getrennt (optional, aber empfehlenswert) – hintereinandergeschrieben.
Anweisung1 ;...; Anweisungn
Die Bedeutung dieser Folge von Anweisungen ist naheliegend. Zuerst wird Anweisung1 ausgeführt, danach
Anweisung2 usw. bis schließlich Anweisungn ausgeführt ist.
Für eine mathematische Charakterisierung solcher Folgen von Anweisungen ist es hilfreich zu wissen, daß
jede einzelne Anweisung wiederum beliebig komplex sein darf, insbesondere also auch eine weiterere Folge von
Anweisungen. Dies erlaubt es, jede Folge von Anweisungen als Komposition zweier Anweisungen auszudrücken
und mit einer einzigen Verifikationsregel für Anweisungsfolgen auszukommen (die bei längeren Folgen dann
mehrmals angewandt werden muß). Die Regel ist verhältnismäßig einfach, da sie genau die intuitive Vorstellung
des Zusammensetzens von Anweisungen beschreibt.
Ist pre eine Vorbedingung von p für eine Instruktion Anweisung1 (also eine Vorbedingung dafür,
daß p nach Ausführung von Anweisung1 gilt,) und p seinerseits eine Vorbedingung von post für
Anweisung2, dann ist pre eine Vorbedingung von post für die zusammengesetzte Instruktion.
Man beachte, daß diese Regel – im Gegensatz zu den Regeln für Wertzuweisungen und Prozeduraufrufe – zwei
gültige (abgeleitete) Sätze als Prämissen benötigt, um einen neuen gültigen Satz des Hoare-Kalküls abzuleiten.
Die schwächste Vorbedingung wp für eine zusammengesetzte Instruktion ergibt sich entsprechend durch eine
Komposition der einzelnen schwächsten Vorbedingungen.