Grundlagen der Informatik I “Programmierung”

Definition 4.2.3 (Korrektheit von Routinen)
1. Ist r eine Routine, so bezeichnet prer die Vorbedingung von r, postr die Nachbedingung von r und Br
den Anweisungsteil (Body) von r.
Die gültigen Argumente von r sind alle Werte, die für die formalen Argumente unter Einhaltung der
Typbedingungen eingesetzt werden dürfen.
2. Eine Routine r heißt genau dann (total) korrekt, wenn für alle gültigen Argumente xr der Satz
{ prer(xr)} Br { postr(xr)}
ein wahrer Satz des Kalküls für Programmbeweise ist.
Ebenso läßt sich nun auch die Korrektheit einer ganzen Klasse präzise definieren. Eine Klasse K ist genau
dann korrekt, wenn ihre durch die Anweisungsteile der Routinen gegebene Implementierung mit der durch
Invariante, Vor- und Nachbedingungen gegebenen Spezifikation konsistent ist.
Definition 4.2.4 (Korrektheit von Klassen)
Eine Klasse K mit Invariante INV heißt genau dann korrekt, wenn gilt
1. Für jede exportierte Routine r von K und alle gültigen Argumente xr ist der Satz
{ INV ∧ prer(xr)} Br { INV ∧ postr(xr)}
ein wahrer Satz des Kalküls für Programmbeweise.
2. Bezeichnet DefaultK die Zusicherung, daß alle Attribute von K die Initialwerte ihrer Typen tragen,
so gilt für jede Initialisierungsprozedur i von K und alle gültigen Argumente xi der Satz
{ DefaultK ∧ prei(xi)} Bi { INV ∧ posti(xi)}
Gibt es keine Initialisierungsprozedur, so bedeutet die zweite Bedingung schlicht, daß DefaultK die Invariante
INV impliziert, d.h. daß alle Initialwerte die Invariante erfüllen.
Die Notation des Hoare-Kalküls erlaubt es, schrittweise Aussagen über die Wirkungen einzelner und durch
Programmkonstrukte zusammengesetzter Anweisungen als mathematischen Satz eines formalen Kalküls zu
formulieren und zu beweisen. Zur Formulierung steht uns die volle Sprache der Prädikatenlogik, ergänzt um
boolesche Ausdrücke von Eiffel, zur Verfügung und zum Beweis der Ableitungskalkül der Prädikatenlogik
(Seite 49), ergänzt um Regeln für jedes einzelne Programmierkonstrukt. Letztere werden wir im Detail in
Sektion 4.3 besprechen, wenn wir die verschiedenen Programmierkonstrukte von Eiffel vorstellen.
4.2.2 Ein Kalkül für Verifikation
Die obige Definition der Wahrheit von Sätzen des Kalküls für Programmbeweise ist für die Durchführung von
Beweisen unhandlich, da sie die Auswertung der Semantik benötigt, was im allgemeinen sehr aufwendig ist.
Aus diesem Grunde hat man – analog zur Prädikatenlogik – einen Ableitungskalkül entwickelt, durch den die
Beweisführung auf die Anwendung formaler syntaktischer Manipulationen (Beweisregeln) reduziert werden
kann. Die konkreten Regeln lassen sich aus der genauen Definition der Semantik beweisen, was aber nicht
Thema dieser Einführungsveranstaltung sein soll.
Ein weiterer Zweck dieses Kalküls ist es, eine allgemein akzeptable Prüfung zu erlauben, ob für einen vorgegebenen
Programmteil instructions die Korrektheit bezüglich seiner Spezifikation durch pre und post
garantiert ist. Dies ist sinnvoll für Gruppen, die nicht in die Entwicklung involviert sind, wie zum Beispiel
die innerbetrieblichen Qualitätskontrolle oder den TÜV, der in den kommenden Jahren immer mehr für eine
außerbetriebliche Softwarekontrolle eingesetzt werden soll. Diese Gruppen interessieren sich nicht für den
Entwicklungsprozeß, sondern nur für die Korrektheit des Ergebnisses. Für die Entwickler selbst ist die Trennung
von Programmentwicklung und Verifikation unsinnig, da hierbei zweimal über dasselbe Programmstück
nachgedacht werden muß. 14