10 Endliche Automaten

10 Endliche Automaten
10.1 Einführungsbeispiele
Beispiel 1:
Warenautomat
Ein Flasche Cola kostet 1,50 €. Münzen zu 1 €
und 50 ct werden angenommen. Cola und evtl.
Restgeld werden ausgegeben. Auch der
Rückgabeknopf funktioniert.
Beispiel 2:
erkennender Automat
23
55,782
-0,554
-444777
+12,73849506
-1
0
sind Beispiele für gültige Fließkomma - Konstanten
ohne Exponent (real bzw. double)
,89
+
34,4,5
+250,
sind in diesem Sinne keine gültigen Zeichenfolgen.
Ein Automat soll eine Zeichenfolge daraufhin
untersuchen, ob sie gültig ist.
Der Versuche einer Programmierung mit if – then – Kaskaden wird schon bei diesen einfach gehaltenen
Bespielen misslingen.
Die Reaktion des Automaten auf eine weitere Eingabe (Geldstück oder Ziffer/Zeichen) hängt offensichtlich
davon ab, was vorher geschah.
Man muss also Zustände betrachten, die von der Eingabe verändert werden.
Diese Übergänge kann man als Graph veranschaulichen.
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10.2 Zustandsdiagramme
Beim Cola – Automat wird als Zustand angeben, wie viel Geld man eingeworfen hat:
50
100 oder R
Z O Ausg. Cola / 50
100
Z 50
50 oder 100 oder R
Ausg. Cola / Cola + 50 / 100 Z 100
An den Pfeilen notiert man die Eingaben (und die jeweiligen Ausgaben)
Beim Fließkomma – Konstanten – Erkenner gibt man an, was bereits erkannt worden ist:
+ / - Z + - Ziffer
Z O Z Int Z Komma Z Real
Ziffer Komma Ziffer
Ziffer steht für 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (eigentlich 10 Pfeile)
50
Ziffer Ziffer
Für die Realisierung ist noch ein Fehlerzustand wichtig, der bei allen nicht erlaubten Eingaben aufgesucht wird
und in dem der Prozess dann verbleibt.
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10.3 Definition
Unter einem deterministischen endlichen Automaten versteht man ein Konstrukt bestehend aus
a) einer (endlichen) Menge von Eingabezeichen (Eingabe-Alphabet),
In den Beispielen sind das
„100“, „50“, „R“ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, Komma
b) einer (endliche) Menge von Zuständen,
In den Beispielen sind das
Z0 , Z50, Z100 Z0, Z+ - , ZInt , ZKomma , ZReal , ZFehler
c) einer Überführungsfunktion, die für jeden Zustand und für jedes Eingabezeichen den Folgezustand
angibt.
Die Überführungsfunktion wird durch den Zustandsgraphen dargestellt; daraus kann man etwa ablesen:
Z 50 , 100 Z O (+Ausgabe Cola) Z + - , 9 Z Int
d) einem Anfangszustand Z 0 (im Zustandgraph durch einen Pfeil dargestellt),
e) einer Menge von Endzuständen (Doppelkreise im Zustandsgraph)
In den Beispielen sind das
kein Endzustand vorhanden Z Int und Z Real
f) einer (endliche) Menge von Ausgabezeichen (Ausgabe-Alphabet)
In den Beispielen sind das
Cola, 50, 100, nichts keine Ausgabe
g) einer Ausgabefunktion, die für jeden Zustand und für jedes Eingabezeichen das Ausgabezeichen
angibt.
Aus dem Zustandsgraphen kann man etwa ablesen:
Z100 , 50 Cola keine Ausgabe
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10.4 Klassen von Automaten
Bei endlichen Automaten werden verschiedene Klassen unterschieden:
Deterministischer (determinierter) endlicher
Automat ohne Ausgabe: Akzeptor
Deterministischer (determinierter) endlicher
Automat mit Ausgabe: Übersetzer, Scanner
Nichtdeterministischer (nichtdeterminierter)
endlicher Automat ohne Ausgabe: Akzeptor
Nichtdeterministischer (nichtdeterminierter)
endlicher Automat mit Ausgabe: Übersetzer
Deterministisch (determiniert) nennt man einen endlichen Automaten, wenn eine Eingabe einen
eindeutigen Zustandsübergang aus einem Zustand bewirkt.
Nichtdeterministisch (nichtdeterminiert) nennt man einen endlichen Automaten, bei dem spontane
Zustandsübergänge ohne Eingaben möglich sind bzw. der Übergang von einem Zustand über eine
Eingabe in einen neuen Zustand nicht eindeutig ist. Es handelt sich dann nicht um eine
Überführungsfunktion, sondern allgemeiner um eine Relation.
Nichtdeterministische Automaten ermöglichen es im Gegensatz zu deterministischen Automaten,
grundsätzlich mit einem Ende - Zustand auszukommen. Dies ist für die theoretische Informatik
eine bedeutsame Vereinfachung, vor allem, da Automaten leicht hintereinander geschaltet werden
können.
Bedeutung haben Nichtdeterministische Automaten vor allem in dem Zusammenhang, dass mit
ihnen eine schnelle Übertragung einer regulären Grammatik in einen Automaten möglich ist. Sie
lassen sich jedoch nicht ohne Weiteres auf einem Computer darstellen.
Akzeptoren sind endliche Automaten, die sich entweder am Ende einer Eingabefolge in einem
Ende - Zustand befinden und damit die Eingabefolge akzeptieren oder sich am Ende einer
Eingabefolge nicht in einem Ende - Zustand befinden und damit die Eingabefolge nicht
akzeptieren.
Übersetzer oder Scanner sind endliche Automaten, die zusätzlich zum Akzeptieren Ausgaben
erzeugen.
Bei Akzeptoren entfallen natürlich Ausgabe-Alphabet und Ausgabefunktion.
Demnach handelt es sich bei dem Cola – Automaten um einen „Übersetzer“, der Geld in Cola
„umwandelt“ und bei dem Fließkomma – Konstanten – Erkenner um einen Akzeptor.
Beide Automaten sind deterministisch.
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10.5 Aufgaben
Entwerfen Sie für die folgenden Spracherkennungsprobleme Automaten (Akzeptoren). Notieren sie
die Bestandteile a) – e) aus der Definition.
An Stelle von c) zeichnen Sie den Übergangsgraphen.
1) Alle Bitstrings, in denen eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt.
2) Alle Bitstrings, in denen keine zwei Einsen aufeinander folgen.
3) Alle Bitstrings, die gerade Länge haben.
4) Alle Bitstrings, die – interpretiert als Dualzahl – durch zwei teilbar sind.
5) Bei der seriellen Datenübertragung kommen Fehler vor. Um eine gewisse Kontrolle zu
ermöglichen, sendet man nach einer bestimmten Anzahl von Bits ein Kontrollbit. Man kann dieses
z.B. so wählen, dass die Anzahl der Zeichen 1 im Datenwort immer gerade ist. Hat das Datenwort
z.B. die Länge 4, so wird die Information 110 durch das Zeichen 0 ergänzt, während 010 durch 1
vervollständigt wird. Es soll nun ein Automat angegeben werden, der die Korrektheit des
übertragenen Wortes prüft.
6) Bezeichner (in einer Programmiersprache) beginnen mit einem Buchstaben und dürfen nur
Buchstaben und Ziffern enthalten. Geben Sie einen Akzeptor an, der prüft, ob es sich bei einer
Zeichenkette um einen Bezeichner handelt.
10.6 Überführungsfunktion als Tabelle
beim Cola-Automaten bei dem Fließkomma – Konstanten – Erkenner
50 100 R
Z0 Z50 Z100 Z0
Z50 Z100 Z0 Z0
Z100 Z0 Z0 Z0
Hier noch die Ausgabefunktion:
50 100 R
Z0 Nichts Nichts Nichts
Z50 Nichts Cola 50
Z100 Cola Cola+50 100
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 +, - Komma
Z0 Z Int Z + , - ZFehler
Z + , - Z Int ZFehler ZFehler
Z Int Z Int ZFehler ZKomma
ZKomma ZReal ZFehler ZFehler
ZReal ZReal ZFehler ZFehler
ZFehler ZFehler ZFehler ZFehler
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10.7 Implementation
Eingabealphabet, Ausgabealphabet und Zustandsmenge
In Delphi kann man diese Mengen als Aufzählungstypen darstellen:
Warenautomat
type
tEingabe = (e50, e100, eR);
tAusgabe = (a50, a100, aCola, aNichts, aCola50);
tZustand = (z0, z50, z100);
Fließkomma – Konstanten – Erkenner
type
tEingabe = (e0, e1,.., e9, ePlus, eMinus, eKomma);
tZustand = (z0, zPlusMinus, zInt, zKomma, zReal, zFehler);
Überführungsfunktion und Ausgabefunktion
Im Interface werden die Funktionen definiert:
interface
type tAutomat = class(tObject)
Zustand :tZustand;
Constructor Create;
Destructor Destroy; override;
function Ueberfuehrung (pZustand:tZustand; pEingabe:tEingabe) : tZustand;
function Ausgabefunktion (pZustand:tZustand; pEingabe:tEingabe) :tAusgabe;
end;
für die Implementation gibt es zwei Möglichkeiten:
a) die Tabelle der Überführungsfunktion als Array darstellen
implementation
function tAutomat.Ueberfuehrung (pZustand:tZustand; pEingabe:tEingabe) : tZustand;
Const Tabelle: Array[tZustand, tEingabe] OF tZustand
= ((z50,z100,z0),(z100,z0,z0),(z0,z0,z0));
Begin
Ueberfuehrung := Tabelle [pZustand,pEingabe];
End;
b) geschachtelte case – Anweisungen verwenden:
implementation
function tAutomat.Ueberfuehrung (pZustand:tZustand; pEingabe:tEingabe) : tZustand;
Begin
case pEingabe OF
E50: case pZustand OF
z0: Ueberfuehrung:=z50;
z50: Ueberfuehrung:=z100;
z100: Ueberfuehrung:=z0;
end;
E1: case pZustand OF
z0: Ueberfuehrung:=z100;
z50,z100: Ueberfuehrung:=z0;
end;
ERueck: Ueberfuehrung:=z0;
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End;
End;
End;
Die Implementation der Ausgabefunktion erfolgt entsprechend.
In einem Delphi – Programm werden die beiden Funktionen von Ereignisbehandlungsmethoden
(bt50Click o. ä.) aufgerufen – immer zuerst die Ausgabefunktion aufrufen, da die
Überführungsfunktion den Zustand ändert !! – der aktuelle Zustand wird gespeichert und aufgrund der
Ausgabe werden entsprechende Reaktionen (Colaflasche kommt) programmiert.
Beispiele: Colaautomat, Kaffeeautomat als Delphi – Projekte
10.8 Pattern – Matching
als Anwendung endlicher Automaten
Unter dem Problem des Pattern-Matching versteht man die Suche nach einem oder allen Vorkommen
eines Suchwortes in einem Text.
bzw.:
Gesucht werden ein oder alle Vorkommen der Zeichenkette y in einer Zeichenkette x.
Beispiel: Wir suchen das Suchwort „1101“ im Text „1100101011011101000011011010101“.
Ein erster Ansatz („brute force“) wird den Beginn des Suchwortes an jeder Stelle des Textes
vermuten und mit geschachtelten Schleifen arbeiten:
for i := 1 to length(Text) do begin
gefunden := true;
for j := 1 to length(Suchwort) do
if Text[i+j-1] Suchwort[j] then gefunden := false;
if gefunden then Ausgabe(i-j);
end;
Der Aufwand des Verfahrens liegt dabei in der Größenordnung Länge(Text) * Länge(Suchwort).
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Wir konstruieren nun einen endlichen Automaten für die Suche nach „1101“.
Dazu notieren wir, wie viele passende Zeichen wir schon gefunden haben:
0
z0 z1 z2 z3
1 1 0
0 1
0
1 / (Ausgabe „gefunden“)
Ein Programm mit diesem Automaten wird jedes Zeichen des Textes nur einmal vergleichen
(Aufwand in der Größenordnung „Länge(Text)“) und zu dem jeweiligen Zustand wechseln.
Aufgaben:
1. Entwerfen Sie einen Automaten für das Suchwort „101011“
2. In der Anlage finden sie ein Programm, das zu einem Suchwort einen Automaten erzeugt und
für die Suche benutzt. Die Überführungstabelle wird in einem Memo-Feld dargestellt. Auch
hierzu eine Aufgabe: Erweitern Sie das Programm dahingehend, dass auch überlappende
Vorkommen des Suchwortes gefunden werden.
3. Konstruieren Sie einen endlichen deterministischen Automaten, der das Wort „ANANAS“ in
einem beliebigen Skript erkennt...
4. Entwerfen Sie einen Automaten, der Wörter der Form „Donau*schaft“ erkennt.
Bemerkungen zu den Aufgaben:
Wenn es darum geht Wörter in einem Text zu finden, gibt es effizientere Algorithmen (Boyer - Moore)
Wörter mit Wildcards wie „*“ lasssen sich auch als reguläre Ausdrücke formulieren. Reguläre
Ausdrücke definieren reguläre Sprachen und diese kann man als endliche Automaten realisieren.
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10.9 Kellerautomaten
Wie überprüft man, ob in einem Programm die „begin – end“ – Schachtelung (bzw. „{„ – „}“-
Schachtelung) korrekt ist ? Wie stellt man fest, ob in einem Term jede geöffnete Klammer wieder
geschlossen wird ?
Beide Probleme sind auf das Erkennen einer Sprache L = { 0 n 1 n | n≥ 1 } zurückzuführen.
Diese Sprache ist nicht regulär; sie kann von endlichen Automaten nicht erkannt werden, weil ein
solcher Automat beliebig viele (n) Zustände haben müsste, und dort die Anzahl etwa der geöffneten
Klammern zu speichern.
Also benötigt man einen zusätzlichen Speicher, der in der Größe nicht begrenzt ist. Es gengt dabei,
diesen Speicher in Form eines Kellers (Stack, Stapel) zu verwalten, bei dem nur an einem Ende
Informationen eingefügt, gelesen und entfernt werden können.
Definition
Ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat besteht aus:
a) einer (endlichen) Menge E von Eingabezeichen (Eingabe-Alphabet),
b) einer (endlichen) Menge Z von Zuständen,
c) einer (endlichen) Menge K von Kellerzeichen (Keller-Alphabet),
d) einer Überführungsrelation, die für einen Zustand z1 in Verbindung mit einem Eingabezeichen
e und einem gelesenen Kellerzeichen k einen Folgezustand z2 und eine zu schreibende Folge von
Kellerzeichen kW angibt.
e) einem Anfangszustand Z 0 (im Zustandgraph durch einen Pfeil dargestellt),
f) einem Anfangskellerzeichen k 0
g) einer Menge L von Endzuständen (Doppelkreise im Zustandsgraph)
Die Elemente der Überführungsrelation nennt man auch Anweisungen und schreibt sie in der Form:
z1 e k z2 kW (KW ist ein Kellerwort – evtl. mehrere Kellerzeichen)
Da es sich um eine Relation handelt, gibt es nicht für alle z1 e k eine Anweisung (der Automat stoppt
in diesem Fall), und für manche z1 e k kann es mehrere Anweisungen geben.
Der Automat stoppt auch, wenn der Keller leer ist.
Das Eingabewort muss vollständig gelesen sein, damit es erkannt wird, und der Automat muss
anschließend in einem Endzustand stoppen.
9

Beispiel:
Ein Kellerautomat, der die oben betrachtete Sprache L = { 0 n 1 n | n ≥ 1 } erkennt, bestehe aus
a) dem Eingabe-Alphabet E = {0,1}
b) der Zustandmenge Z = { z0, z1, z2}
c) dem Keller-Alphabet K = {k0, k1},
e) dem Anfangszustand z 0
f) dem Anfangskellerzeichen k 0
g) der Endzustandsmenge L = {z2}
und
d) der Überführungsrelation mit den Anweisungen
z0 0 k0 z0 k1 k0
z0 0 k1 z0 k1 k1
z0 1 k1 z1 ε ε ist das leere Wort
z1 1 k1 z1 ε
z1 ε k0 z2 k0
Der Erkennungsablauf für das Eingabewort 000111:
Eingabe 0 0 0 1 1 1 ε
Zustand z0 z0 z0 z0 z1 z1 z1 z2
Keller k0 k1 k1 k1 k1 k1 k0 k0
k0 k1 k1 k1 k0
k0 k1 k0
k0
10

10.10 Autoedit
Kostenlos zu beziehen über http://www.genesis-x7.de/cgi-bin/genesis-x7/site.cgi?site=main&lang=de
oder in Google „Automaten autoedit“ eingeben. (Benötigt MS-XML 4.0 – kann auf der selben Seite
heruntergeladen werden)
Unter dem Menupunkt „Help“ kann man als Sprache Deutsch einstellen.
Der „Einführungsassistent“ lässt den Benutzer die Schritte zur Erstellung eines Automaten
beispielhaft durchlaufen.
DEA – Deterministischer
endlicher Automat
NEA – Nichtdeterministischer
endlicher Automat
DKA – Kellerautomat
Man kann – nach
Festlegung von Typ und
Alphabet – einen
Automaten auch durch
Zeichnen des
Übergangsgraphen
erzeugen:
Zustände (der
erste ist der
Startzustand)
Übergänge (Pfeile) durch Anklicken der beiden Zustände
Labels (Beschriftungen der Übergänge durch
Elemente des Alphabets)
Der erstellte Automat kann auf Gültigkeit überprüft
werden.
Bei der Simulation kann man den Automaten eine
Folge von Eingabezeichen abarbeiten lassen.
Beim Exportieren wird auch gleich eine
entsprechende Grammatik erzeugt
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10.11 JFLAP
Download unter www.jflap.org
(Auf meinem Rechner musste ich nach dem Auspacken von jflap.jar
noch eine Batch-Datei erzeugen mit dem Inhalt
javaw -classpath "JFLAP.jar" JFLAP
um JFLAP starten zu können)
Endliche Automaten gibt man grafisch ein
Die Simulation findet man unter
„Input“
Unter „Convert to Grammar“ kann
man die Eingabe einer passenden
Grammatik üben oder sie sich
gleich anzeigen lassen.
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