Die Laplace-Transformation und ihre Anwendung in der ... - GSI
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<strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong><br />
<strong>und</strong> <strong>ihre</strong> <strong>Anwendung</strong> <strong>in</strong> <strong>der</strong><br />
Elektrotechnik<br />
Jürgen Struckmeier<br />
j.struckmeier@gsi.de, www.gsi.de/˜struck<br />
Vortrag im Rahmen des W<strong>in</strong>tersem<strong>in</strong>ars<br />
” Aktuelle Probleme <strong>der</strong> Beschleuniger- <strong>und</strong> Plasmaphysik“<br />
des Instituts für Angewandte Physik<br />
<strong>der</strong> Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Ma<strong>in</strong><br />
Riezlern, 3.–7. März 2008<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 1
Überblick<br />
• Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen <strong>der</strong><br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> (LT)<br />
• Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen<br />
mit konstanten Koeffizienten<br />
• Beispiel 1: LRC-Stromkreis<br />
• Beispiel 2: Netzwerk-Analyse<br />
• Ausblicke: Lösung von speziellen Typen von<br />
gewöhnlichen Differentialgleichungen<br />
mit variablen Koeffizienten<br />
• <strong>Transformation</strong> von partiellen Differentialgleichungen<br />
<strong>in</strong> gewöhnliche Differentialgleichungen<br />
• Zusammenfassung<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 2
Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Def<strong>in</strong>ition 1: E<strong>in</strong>e Abbildungsvorschrift T , die je<strong>der</strong><br />
gegebenen Funktion f(t) e<strong>in</strong>deutig e<strong>in</strong>e Funktion F(s)<br />
zuordnet, heißt Funktionaltransformation:<br />
f(t)<br />
T<br />
−→ F(s) ⇐⇒ T {f(t)} = F(s)<br />
t bezeichnet die unabhängige Variable im Orig<strong>in</strong>alraum,<br />
s die unabhängige Variable im Bildraum.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 3
Mathematische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Def<strong>in</strong>ition 1: E<strong>in</strong>e Abbildungsvorschrift T , die je<strong>der</strong><br />
gegebenen Funktion f(t) e<strong>in</strong>deutig e<strong>in</strong>e Funktion F(s)<br />
zuordnet, heißt Funktionaltransformation:<br />
f(t)<br />
T<br />
−→ F(s) ⇐⇒ T {f(t)} = F(s)<br />
t bezeichnet die unabhängige Variable im Orig<strong>in</strong>alraum,<br />
s die unabhängige Variable im Bildraum.<br />
Def<strong>in</strong>ition 2: E<strong>in</strong>e Funktionaltransformation heißt <strong>Laplace</strong>-<br />
<strong>Transformation</strong> L, wenn je<strong>der</strong> Funktion f(t), t ∈Ê, die<br />
für t > 0 def<strong>in</strong>iert ist, e<strong>in</strong>e komplexwertige Funktion<br />
F(s), s ∈nach folgendem Muster zugeordnet wird:<br />
∞<br />
L {f(t)} = F(s) = f(t) e −st dt<br />
0<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 3
• <strong>Die</strong>s ist e<strong>in</strong> uneigentliches Integral!<br />
❀Für s ∈existiert die <strong>Laplace</strong>-Transformierte von<br />
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 4
• <strong>Die</strong>s ist e<strong>in</strong> uneigentliches Integral!<br />
❀Für s ∈existiert die <strong>Laplace</strong>-Transformierte von<br />
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.<br />
• <strong>Die</strong> Menge dieser Punkte s ∈bildet das<br />
Def<strong>in</strong>itionsgebiet <strong>der</strong> Funktion F(s). Für physikalisch<br />
s<strong>in</strong>nvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals<br />
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 4
• <strong>Die</strong>s ist e<strong>in</strong> uneigentliches Integral!<br />
❀Für s ∈existiert die <strong>Laplace</strong>-Transformierte von<br />
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.<br />
• <strong>Die</strong> Menge dieser Punkte s ∈bildet das<br />
Def<strong>in</strong>itionsgebiet <strong>der</strong> Funktion F(s). Für physikalisch<br />
s<strong>in</strong>nvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals<br />
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.<br />
• Als Folge <strong>der</strong> Konvergenz des Integrals geht <strong>in</strong><br />
diesem Gebiet <strong>der</strong> Integrand mit t → ∞ gegen Null:<br />
lim<br />
t→∞ f(t) e−st = 0 ⇒ ℜs !<br />
> 0.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 4
• <strong>Die</strong>s ist e<strong>in</strong> uneigentliches Integral!<br />
❀Für s ∈existiert die <strong>Laplace</strong>-Transformierte von<br />
f(t) nur dann, wenn das Integral konvergiert.<br />
• <strong>Die</strong> Menge dieser Punkte s ∈bildet das<br />
Def<strong>in</strong>itionsgebiet <strong>der</strong> Funktion F(s). Für physikalisch<br />
s<strong>in</strong>nvolle Funktionen f(t) ist dieses Gebiet niemals<br />
leer, jedoch muss ℜs > 0 gelten.<br />
• Als Folge <strong>der</strong> Konvergenz des Integrals geht <strong>in</strong><br />
diesem Gebiet <strong>der</strong> Integrand mit t → ∞ gegen Null:<br />
lim<br />
t→∞ f(t) e−st = 0 ⇒ ℜs !<br />
> 0.<br />
• <strong>Die</strong> reellwertige Funktion f(t) stellt i.a. e<strong>in</strong>e messbare<br />
Größe dar; die unabhängige Variable t ist dann die<br />
Zeit. Ihr wird durch die <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> e<strong>in</strong>e<br />
komplexwertige Funktion F(s) zugeordnet, die e<strong>in</strong>er<br />
anschaulichen Deutung i.a. nicht zugänglich ist.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 4
Def<strong>in</strong>ition 3: <strong>Die</strong> Umkehroperation bezeichnet man als<br />
<strong>in</strong>verse <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>:<br />
L −1 {F(s)} = f(t).<br />
<strong>Die</strong> direkte Berechnung <strong>der</strong> <strong>in</strong>versen <strong>Laplace</strong>-<br />
Transformierten von F(s) erfor<strong>der</strong>t i.a. e<strong>in</strong>e aufwändige<br />
Integration <strong>in</strong> <strong>der</strong> komplexen Ebene. In <strong>der</strong> Praxis können<br />
für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t)<br />
aus Tafeln entnommen werden.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 5
Def<strong>in</strong>ition 3: <strong>Die</strong> Umkehroperation bezeichnet man als<br />
<strong>in</strong>verse <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>:<br />
L −1 {F(s)} = f(t).<br />
<strong>Die</strong> direkte Berechnung <strong>der</strong> <strong>in</strong>versen <strong>Laplace</strong>-<br />
Transformierten von F(s) erfor<strong>der</strong>t i.a. e<strong>in</strong>e aufwändige<br />
Integration <strong>in</strong> <strong>der</strong> komplexen Ebene. In <strong>der</strong> Praxis können<br />
für die Funktionen F(s) die transformierten Funktionen f(t)<br />
aus Tafeln entnommen werden.<br />
Folgerung 1: Aus <strong>der</strong> L<strong>in</strong>earität <strong>der</strong> Integrationsoperation<br />
ergibt sich die L<strong>in</strong>earität <strong>der</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>:<br />
L {af(t) + bg(t)} = a L {f(t)} + b L {g(t)}.<br />
❀Man kann jeden Summanden e<strong>in</strong>er Gleichung e<strong>in</strong>zeln<br />
für sich transformieren.<br />
❀Konstante Faktoren bleiben unverän<strong>der</strong>t.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 5
Folgerung 2: Als <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> abgeleiteten<br />
Funktion f ′ (t) folgt mittels partieller Integration:<br />
L {f ′ (t)} =<br />
∞<br />
0<br />
f ′ (t) e −st dt<br />
= f(t) e −st<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
t=0<br />
+ s<br />
∞<br />
0<br />
f(t) e −st dt<br />
= lim<br />
t→∞ f(t) e −st − f(0) + s L {f(t)}.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 6
Folgerung 2: Als <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> abgeleiteten<br />
Funktion f ′ (t) folgt mittels partieller Integration:<br />
L {f ′ (t)} =<br />
∞<br />
0<br />
f ′ (t) e −st dt<br />
= f(t) e −st<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
t=0<br />
+ s<br />
∞<br />
0<br />
f(t) e −st dt<br />
= lim<br />
t→∞ f(t) e −st − f(0) + s L {f(t)}.<br />
Der Grenzwertterm verschw<strong>in</strong>det im Def<strong>in</strong>itionsgebiet von<br />
F(s), wie oben festgestellt. Als En<strong>der</strong>gebnis erhält man<br />
somit:<br />
L {f ′ (t)} = s L {f(t)} − f(0) = sF(s) − f(0).<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 6
Folgerung 3: <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> zweifach<br />
abgeleiteten Funktion f ′′ (t) folgt durch zweifaches<br />
Anwenden dieser Regel:<br />
L {f ′′ (t)} = s 2 L {f(t)} − sf(0) − f ′ (0).<br />
Entsprechend können die <strong>Laplace</strong>-Transformierten aller<br />
höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden.<br />
❀<strong>Die</strong> Anzahl <strong>der</strong> e<strong>in</strong>gehenden Anfangsbed<strong>in</strong>gungen ist<br />
gleich dem Grad <strong>der</strong> Ableitung <strong>der</strong> zu transformierenden<br />
Funktion.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 7
Folgerung 3: <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> zweifach<br />
abgeleiteten Funktion f ′′ (t) folgt durch zweifaches<br />
Anwenden dieser Regel:<br />
L {f ′′ (t)} = s 2 L {f(t)} − sf(0) − f ′ (0).<br />
Entsprechend können die <strong>Laplace</strong>-Transformierten aller<br />
höheren Ableitungsfunktionen gebildet werden.<br />
❀<strong>Die</strong> Anzahl <strong>der</strong> e<strong>in</strong>gehenden Anfangsbed<strong>in</strong>gungen ist<br />
gleich dem Grad <strong>der</strong> Ableitung <strong>der</strong> zu transformierenden<br />
Funktion.<br />
Folgerung 4: Als <strong>Laplace</strong>-Transformierte des E<strong>in</strong>heitssprungs<br />
Θ(t) = 0,t ≤ 0, Θ(t) = 1,t > 0 erhalten wir:<br />
L {Θ(t)} =<br />
∞<br />
0<br />
1 e −st dt = − 1<br />
s e−st<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
∞<br />
t=0<br />
= 1<br />
s<br />
für ℜs > 0.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 7
Folgerung 5: <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong><br />
Integralfunktion von f(t) kann aus den Folgerungen 2<br />
<strong>und</strong> 4 ermittelt werden. Mit φ ′ (t) = f(t) folgt e<strong>in</strong>erseits:<br />
L {φ(t)} = 1 1<br />
L {f(t)} +<br />
s s φ(0).<br />
An<strong>der</strong>erseits folgt aus <strong>der</strong> L<strong>in</strong>earität <strong>der</strong> LT:<br />
⎧ ⎫<br />
⎨t<br />
⎬<br />
L f(τ)dτ = L {φ(t) − φ(0)Θ(t)}<br />
⎩ ⎭<br />
0<br />
⎧<br />
⎨<br />
L<br />
⎩<br />
0<br />
t<br />
⎫<br />
⎬<br />
f(τ)dτ<br />
⎭<br />
= L {φ(t)} − φ(0) L {Θ(t)}<br />
<br />
=s −1<br />
= 1<br />
s<br />
= 1<br />
s<br />
1 1<br />
L {f(t)} + φ(0) −<br />
s s φ(0)<br />
L {f(t)} = F(s)<br />
s .<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 8
<strong>Die</strong> Ableitung <strong>und</strong> das Integral e<strong>in</strong>er gegebenen Funktion<br />
f(t) ersche<strong>in</strong>t im Raum <strong>der</strong> <strong>Laplace</strong>-transformierten<br />
Funktionen als Multiplikations- bzw. Divisionsoperation.<br />
❀Wir können dies bei <strong>der</strong> Lösung von Differentialgleichungen<br />
auszunutzen, d.h. sie mittels <strong>Laplace</strong>-<br />
<strong>Transformation</strong> <strong>in</strong> algebraische Gleichungen überführen:<br />
g f(t),f ′ (t),...,f (n) (t) = 0<br />
L<br />
−→ h<br />
<br />
s,F(s)<br />
Letztere lassen sich i.a. leicht nach <strong>der</strong> Funktion F(s)<br />
auflösen. <strong>Die</strong> gesuchte Lösungsfunktion f(t) <strong>der</strong> Dgl.<br />
ergibt sich daraus durch die <strong>in</strong>verse LT:<br />
f(t) = L −1 {F(s)}.<br />
= 0.<br />
Hierbei wird die Tatsache ausgenutzt, dass die <strong>in</strong>verse<br />
<strong>Laplace</strong>-Transformierte e<strong>in</strong>deutig bestimmt ist, wenn wir<br />
Null-Funktionen ausschließen.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 9
Der direkte Weg zur Lösung e<strong>in</strong>er <strong>in</strong>homogenen l<strong>in</strong>earen<br />
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht<br />
aus drei Schritten:<br />
• Bestimmung <strong>der</strong> allgeme<strong>in</strong>en Lösung <strong>der</strong><br />
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 10
Der direkte Weg zur Lösung e<strong>in</strong>er <strong>in</strong>homogenen l<strong>in</strong>earen<br />
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht<br />
aus drei Schritten:<br />
• Bestimmung <strong>der</strong> allgeme<strong>in</strong>en Lösung <strong>der</strong><br />
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.<br />
• Berechnung e<strong>in</strong>er speziellen Lösung <strong>der</strong><br />
<strong>in</strong>homogenen Differentialgleichung (z.B. mit <strong>der</strong><br />
Methode <strong>der</strong> Variation <strong>der</strong> Konstanten). <strong>Die</strong><br />
L<strong>in</strong>earkomb<strong>in</strong>ation dieser beiden Lösungen stellt die<br />
allgeme<strong>in</strong>e Lösung <strong>der</strong> <strong>in</strong>homogenen Gleichung dar.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 10
Der direkte Weg zur Lösung e<strong>in</strong>er <strong>in</strong>homogenen l<strong>in</strong>earen<br />
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten besteht<br />
aus drei Schritten:<br />
• Bestimmung <strong>der</strong> allgeme<strong>in</strong>en Lösung <strong>der</strong><br />
zugehörigen homogenen Differentialgleichung.<br />
• Berechnung e<strong>in</strong>er speziellen Lösung <strong>der</strong><br />
<strong>in</strong>homogenen Differentialgleichung (z.B. mit <strong>der</strong><br />
Methode <strong>der</strong> Variation <strong>der</strong> Konstanten). <strong>Die</strong><br />
L<strong>in</strong>earkomb<strong>in</strong>ation dieser beiden Lösungen stellt die<br />
allgeme<strong>in</strong>e Lösung <strong>der</strong> <strong>in</strong>homogenen Gleichung dar.<br />
• E<strong>in</strong>setzen <strong>der</strong> Anfangsbed<strong>in</strong>gungen, d.h. Anpassen<br />
<strong>der</strong> Integrationskonstanten <strong>der</strong> allgeme<strong>in</strong>en Lösung<br />
<strong>der</strong> Differentialgleichung.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 10
Der Weg über die <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> verläuft<br />
demgegenüber folgen<strong>der</strong>maßen:<br />
• <strong>Die</strong> Differentialgleichung wird zusammen mit den<br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gungen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e algebraische Gleichung<br />
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung<br />
somit im H<strong>in</strong>blick auf die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
spezialisiert.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 11
Der Weg über die <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> verläuft<br />
demgegenüber folgen<strong>der</strong>maßen:<br />
• <strong>Die</strong> Differentialgleichung wird zusammen mit den<br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gungen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e algebraische Gleichung<br />
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung<br />
somit im H<strong>in</strong>blick auf die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
spezialisiert.<br />
• Das Auflösen <strong>der</strong> Gleichung im Bildraum, d.h. die<br />
explizite Darstellung <strong>der</strong> Funktion F(s), ist nur e<strong>in</strong><br />
algebraisches Problem.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 11
Der Weg über die <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> verläuft<br />
demgegenüber folgen<strong>der</strong>maßen:<br />
• <strong>Die</strong> Differentialgleichung wird zusammen mit den<br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gungen <strong>in</strong> e<strong>in</strong>e algebraische Gleichung<br />
überführt. Schon im ersten Schritt wird die Lösung<br />
somit im H<strong>in</strong>blick auf die Anfangsbed<strong>in</strong>gungen<br />
spezialisiert.<br />
• Das Auflösen <strong>der</strong> Gleichung im Bildraum, d.h. die<br />
explizite Darstellung <strong>der</strong> Funktion F(s), ist nur e<strong>in</strong><br />
algebraisches Problem.<br />
• <strong>Die</strong> Rücktransformationen müssen i.a. nicht „zu Fuß“<br />
berechnet werden, da die rücktransformierten<br />
Funktionen f(t) für gegebenes F(s) <strong>in</strong> Tafeln<br />
nachgeschlagen werden können.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 11
L<strong>in</strong>eare Schaltungen bestehen aus parallel <strong>und</strong><br />
h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>an<strong>der</strong> geschalteten Komb<strong>in</strong>ationen von<br />
Ohmschen Wi<strong>der</strong>ständen R, Induktivitäten L <strong>und</strong><br />
Kapazitäten C:<br />
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)<br />
dt<br />
, u(t) = 1<br />
C<br />
t<br />
0<br />
i(τ)dτ.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 12
L<strong>in</strong>eare Schaltungen bestehen aus parallel <strong>und</strong><br />
h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>an<strong>der</strong> geschalteten Komb<strong>in</strong>ationen von<br />
Ohmschen Wi<strong>der</strong>ständen R, Induktivitäten L <strong>und</strong><br />
Kapazitäten C:<br />
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)<br />
dt<br />
Im s-Raum heißt das:<br />
, u(t) = 1<br />
C<br />
t<br />
0<br />
i(τ)dτ.<br />
U(s) = R I(s), U(s) = sLI(s), U(s) = I(s)<br />
sC .<br />
Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung <strong>und</strong><br />
Strom, haben wir somit:<br />
ZR(s) = R, ZL(s) = sL, ZC(s) = 1<br />
sC .<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 12
L<strong>in</strong>eare Schaltungen bestehen aus parallel <strong>und</strong><br />
h<strong>in</strong>tere<strong>in</strong>an<strong>der</strong> geschalteten Komb<strong>in</strong>ationen von<br />
Ohmschen Wi<strong>der</strong>ständen R, Induktivitäten L <strong>und</strong><br />
Kapazitäten C:<br />
u(t) = R i(t), u(t) = L di(t)<br />
dt<br />
Im s-Raum heißt das:<br />
, u(t) = 1<br />
C<br />
t<br />
0<br />
i(τ)dτ.<br />
U(s) = R I(s), U(s) = sLI(s), U(s) = I(s)<br />
sC .<br />
Als Impedanzen, also den Quotienten von Spannung <strong>und</strong><br />
Strom, haben wir somit:<br />
ZR(s) = R, ZL(s) = sL, ZC(s) = 1<br />
sC .<br />
Alle diese Schaltungselemente können nun auf gleiche<br />
Weise nach den Kirchhoffschen Gesetzen (Knoten- <strong>und</strong><br />
Maschenregel) behandelt werden.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 12
Beispiel 1:<br />
<br />
LRC-Stromkreis<br />
C =<br />
R = 16 Ω<br />
1 <br />
i(t)<br />
gegeben : u(t), sowie die Konstanten L,R,C<br />
gesucht : i(t)<br />
1. Schritt: Aufstellen <strong>der</strong> Dgl. für i(t) mittels Maschenregel.<br />
50 F<br />
u(t) = 30 V, t > 0<br />
£L =<br />
2 H<br />
Für die Summe aller Spannungsabfälle ui(t) entlang e<strong>in</strong>er<br />
Masche gilt: <br />
ui(t) = 0.<br />
i<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 13
Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das:<br />
L di(t)<br />
dt<br />
+ R i(t) + 1<br />
C<br />
t<br />
0<br />
i(τ)dτ − u(t) = 0.<br />
Der Zeitpunkt t = 0 wird so def<strong>in</strong>iert, dass als<br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gung gesetzt werden kann:<br />
i(t) = 0 für t ≤ 0.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 14
Für den Fall des Fall LRC-Stromkreises heißt das:<br />
L di(t)<br />
dt<br />
+ R i(t) + 1<br />
C<br />
t<br />
0<br />
i(τ)dτ − u(t) = 0.<br />
Der Zeitpunkt t = 0 wird so def<strong>in</strong>iert, dass als<br />
Anfangsbed<strong>in</strong>gung gesetzt werden kann:<br />
i(t) = 0 für t ≤ 0.<br />
2. Schritt: <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> <strong>der</strong> obigen Dgl.<br />
ergibt mit den Bezeichnungen I(s) = L {i(t)} <strong>und</strong><br />
U(s) = L {u(t)}:<br />
L [sI(s) − i(0) ] + R I(s) +<br />
<br />
=0<br />
1<br />
Cs<br />
I(s) = U(s).<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 14
Im Bildraum erhält man also e<strong>in</strong>e Gleichung von <strong>der</strong> Form<br />
des Ohmschen Gesetzes:<br />
Z(s)I(s) = U(s),<br />
wenn mit Z(s) die Summe <strong>der</strong> Impedanzen bezeichnet<br />
wird:<br />
Z(s) = Ls + R + 1<br />
Cs .<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 15
Im Bildraum erhält man also e<strong>in</strong>e Gleichung von <strong>der</strong> Form<br />
des Ohmschen Gesetzes:<br />
Z(s)I(s) = U(s),<br />
wenn mit Z(s) die Summe <strong>der</strong> Impedanzen bezeichnet<br />
wird:<br />
Z(s) = Ls + R + 1<br />
Cs .<br />
3. Schritt: <strong>Die</strong> gesuchte Stromfunktion i(t) ergibt sich<br />
schließlich durch die <strong>in</strong>verse <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>:<br />
i(t) = L −1<br />
<br />
<br />
U(s)<br />
.<br />
Ls + R + 1/Cs<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 15
Zahlenbeispiel:<br />
L = 2 H , R = 16 Ω , C = 1<br />
50<br />
F , u(t) =<br />
30 V für t > 0<br />
0 V für t ≤ 0.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 16
Zahlenbeispiel:<br />
L = 2 H , R = 16 Ω , C = 1<br />
50<br />
F , u(t) =<br />
30 V für t > 0<br />
0 V für t ≤ 0.<br />
Hieraus folgt für die transformierten Größen Z(s) <strong>und</strong> U(s)<br />
<strong>und</strong> somit für I(s):<br />
Z(s) = 2s + 16 + 50<br />
s<br />
U(s) = 30<br />
s<br />
=⇒ I(s) =<br />
15<br />
s 2 + 8s + 25 =<br />
= 2<br />
s (s2 + 8s + 25)<br />
15<br />
(s + 4) 2 + 3 2.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 16
Aus e<strong>in</strong>er Tafel für (<strong>in</strong>verse) <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
entnehmen wir:<br />
F(s) =<br />
1<br />
(s − b) 2 1<br />
⇐⇒ f(t) =<br />
+ a2 a ebt s<strong>in</strong> at.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 17
Aus e<strong>in</strong>er Tafel für (<strong>in</strong>verse) <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
entnehmen wir:<br />
F(s) =<br />
1<br />
(s − b) 2 1<br />
⇐⇒ f(t) =<br />
+ a2 a ebt s<strong>in</strong> at.<br />
Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 <strong>und</strong> b = −4,<br />
als En<strong>der</strong>gebnis schließlich:<br />
i(t) = 5 e −4t s<strong>in</strong> 3t A<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 17
Aus e<strong>in</strong>er Tafel für (<strong>in</strong>verse) <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
entnehmen wir:<br />
F(s) =<br />
1<br />
(s − b) 2 1<br />
⇐⇒ f(t) =<br />
+ a2 a ebt s<strong>in</strong> at.<br />
Im hier gewählten Beispiel haben wir: a = 3 <strong>und</strong> b = −4,<br />
als En<strong>der</strong>gebnis schließlich:<br />
i(t) = 5 e −4t s<strong>in</strong> 3t A<br />
Der maximale Strom fließt zum Zeitpunkt<br />
<strong>und</strong> hat den Wert:<br />
tmax = 1<br />
3<br />
tan−1 3<br />
4<br />
s ≈ 0, 2145 s<br />
i(tmax) = 5 e −4tmax s<strong>in</strong> 3tmax A ≈ 1, 27215 A.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 17
i(t) [A]<br />
1.4<br />
1.2<br />
1<br />
0.8<br />
0.6<br />
0.4<br />
0.2<br />
0<br />
-0.2<br />
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3<br />
t [s]<br />
Zeitlicher Verlauf <strong>der</strong> Stromfunktion i(t).<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 18
Beispiel 2: Netzwerk-Analyse<br />
Allgeme<strong>in</strong>es Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen<br />
Impedanzen Zi:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Z1<br />
<br />
Ue(s)<br />
I1(s)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I2(s)<br />
I3(s)<br />
Ua(s)<br />
Z2<br />
Z3<br />
Z4<br />
Z5<br />
Z6<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 19
Beispiel 2: Netzwerk-Analyse<br />
Allgeme<strong>in</strong>es Netzwerk aus drei Maschen mit beliebigen<br />
Impedanzen Zi:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Z1<br />
<br />
Ue(s)<br />
I1(s)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I2(s)<br />
I3(s)<br />
Ua(s)<br />
Z2<br />
Z3<br />
Z4<br />
Z5<br />
Z6<br />
<strong>Die</strong> Maschenregel führt im Bildraum zu dem l<strong>in</strong>earen<br />
System von Gleichungen<br />
Ue(s) = a11(s)I1(s) + a12(s)I2(s) + a13(s)I3(s)<br />
0 = a21(s)I1(s) + a22(s)I2(s) + a23(s)I3(s)<br />
0 = a31(s)I1(s) + a32(s)I2(s) + a33(s)I3(s).<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 19
Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten anm <strong>und</strong><br />
den Impedanzen Zi ist:<br />
a11 = Z1 + Z2, a12 = −Z2, a13 = 0<br />
a21 = −Z2, a22 = Z2 + Z3 + Z4, a23 = −Z4<br />
a31 = 0, a32 = −Z4, a33 = Z4 + Z5 + Z6.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 20
Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten anm <strong>und</strong><br />
den Impedanzen Zi ist:<br />
a11 = Z1 + Z2, a12 = −Z2, a13 = 0<br />
a21 = −Z2, a22 = Z2 + Z3 + Z4, a23 = −Z4<br />
a31 = 0, a32 = −Z4, a33 = Z4 + Z5 + Z6.<br />
Das Gleichungssystem kann nun mit Hilfe <strong>der</strong> Cramerschen<br />
Regel nach den Strömen Ij(s) aufgelöst werden.<br />
Zwei charakteristische Systemgrößen s<strong>in</strong>d die<br />
E<strong>in</strong>gangsimpedanz Ze(s) <strong>und</strong> die dimensionslose<br />
Übertragungsfunktion ZT(s)<br />
wobei<br />
Ze(s) = Ue(s)<br />
I1(s) , ZT(s) = Ua(s)<br />
Ue(s) ,<br />
Ua(s) = Z6(s)I3(s).<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 20
Pol-Nullstellen Diagramm<br />
<strong>Die</strong> Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),<br />
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm<br />
(PN-Plan) dargestellt.<br />
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für<br />
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:<br />
• e<strong>in</strong>facher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 21
Pol-Nullstellen Diagramm<br />
<strong>Die</strong> Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),<br />
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm<br />
(PN-Plan) dargestellt.<br />
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für<br />
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:<br />
• e<strong>in</strong>facher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom<br />
• imag<strong>in</strong>äre Pole: S<strong>in</strong>uswelle konstanter Amplitude<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 21
Pol-Nullstellen Diagramm<br />
<strong>Die</strong> Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),<br />
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm<br />
(PN-Plan) dargestellt.<br />
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für<br />
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:<br />
• e<strong>in</strong>facher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom<br />
• imag<strong>in</strong>äre Pole: S<strong>in</strong>uswelle konstanter Amplitude<br />
• komplexe Pole <strong>in</strong> <strong>der</strong> l<strong>in</strong>ken Halbebene: exponentiell<br />
abkl<strong>in</strong>gende S<strong>in</strong>uswelle (E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gvorgänge)<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 21
Pol-Nullstellen Diagramm<br />
<strong>Die</strong> Systemfunktionen, z.B. die Stromfunktionen Ij(s),<br />
werden üblicherweise als Pol-Nullstellen-Diagramm<br />
(PN-Plan) dargestellt.<br />
Pole bestimmen das Zeitverhalten des Systems. Für<br />
Strom-Funktionen Ij(s) bedeutet:<br />
• e<strong>in</strong>facher Pol am Ursprung: stationärer Gleichstrom<br />
• imag<strong>in</strong>äre Pole: S<strong>in</strong>uswelle konstanter Amplitude<br />
• komplexe Pole <strong>in</strong> <strong>der</strong> l<strong>in</strong>ken Halbebene: exponentiell<br />
abkl<strong>in</strong>gende S<strong>in</strong>uswelle (E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gvorgänge)<br />
• Nullstelle: bei <strong>der</strong> Übertragungsfunktion bewirkt e<strong>in</strong>e<br />
Nullstelle e<strong>in</strong>en Anstieg des Betrages, sowie e<strong>in</strong>e<br />
Phasendrehung um +90 ◦ bei <strong>der</strong> zu <strong>der</strong> Nullstelle<br />
gehörenden Frequenz. <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 21
Spezielle variable Koeffizienten<br />
Folgerung 6: Als <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> Funktion tf(t)<br />
folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen:<br />
dF(s)<br />
=<br />
ds<br />
d<br />
∞<br />
f(t) e<br />
ds<br />
−st ∞<br />
∂<br />
dt =<br />
∂s f(t) e−st dt<br />
<br />
= −<br />
0<br />
∞<br />
L {tf(t)} = − dF(s)<br />
ds .<br />
0<br />
tf(t) e −st dt = −L {tf(t)}<br />
0<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 22
Spezielle variable Koeffizienten<br />
Folgerung 6: Als <strong>Laplace</strong>-Transformierte <strong>der</strong> Funktion tf(t)<br />
folgt mittels Differentiation unter dem Integralzeichen:<br />
dF(s)<br />
=<br />
ds<br />
d<br />
∞<br />
f(t) e<br />
ds<br />
−st ∞<br />
∂<br />
dt =<br />
∂s f(t) e−st dt<br />
<br />
= −<br />
0<br />
0<br />
∞<br />
tf(t) e −st dt = −L {tf(t)}<br />
L {tf(t)} = − dF(s)<br />
ds .<br />
Differentialgleichungen mit Koeffizienten, welche die<br />
unabhängige Variable t <strong>in</strong> <strong>der</strong> Form t n f(t) enthalten,<br />
können somit <strong>in</strong> e<strong>in</strong>fachere Dgln. mit konstanten<br />
Koeffizienten transformiert werden.<br />
0<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 22
Partielle Differentialgln.<br />
Folgerung 7: Für e<strong>in</strong>e Funktion f(x,t) folgt:<br />
<br />
∂f(x,t) s.o.<br />
L = sF(x,s) − f(x, 0)<br />
∂t<br />
<br />
∂f(x,t)<br />
L<br />
∂x<br />
=<br />
∞<br />
∂f(x,t)<br />
e<br />
∂x<br />
−st dt<br />
0<br />
= d<br />
dx<br />
∞<br />
0<br />
f(x,t) e −st dt = dF<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
s<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 23
Partielle Differentialgln.<br />
Folgerung 7: Für e<strong>in</strong>e Funktion f(x,t) folgt:<br />
<br />
∂f(x,t) s.o.<br />
L = sF(x,s) − f(x, 0)<br />
∂t<br />
<br />
∂f(x,t)<br />
L<br />
∂x<br />
=<br />
∞<br />
∂f(x,t)<br />
e<br />
∂x<br />
−st dt<br />
0<br />
= d<br />
dx<br />
∞<br />
0<br />
f(x,t) e −st dt = dF<br />
dx<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
s<br />
Partielle Differentialgleichungen können somit <strong>in</strong><br />
gewöhnliche transformiert werden (bei festgehaltenem s).<br />
❀Durch Rücktransformation <strong>der</strong> Lösung <strong>der</strong> gewöhnlichen<br />
Dgl. erhalten wir die Lösung <strong>der</strong> partiellen Dgl.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 23
Zusammenfassung<br />
• <strong>Die</strong> konventionelle komplexe Wechselstromrechnung<br />
gilt nur für den Spezialfall s<strong>in</strong>usartiger Schw<strong>in</strong>gungen<br />
von Erregungen <strong>und</strong> Antworten.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 24
Zusammenfassung<br />
• <strong>Die</strong> konventionelle komplexe Wechselstromrechnung<br />
gilt nur für den Spezialfall s<strong>in</strong>usartiger Schw<strong>in</strong>gungen<br />
von Erregungen <strong>und</strong> Antworten.<br />
• Für die Theorie <strong>der</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also e<strong>in</strong>en re<strong>in</strong><br />
imag<strong>in</strong>ären Wert, zu ersetzen.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 24
Zusammenfassung<br />
• <strong>Die</strong> konventionelle komplexe Wechselstromrechnung<br />
gilt nur für den Spezialfall s<strong>in</strong>usartiger Schw<strong>in</strong>gungen<br />
von Erregungen <strong>und</strong> Antworten.<br />
• Für die Theorie <strong>der</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also e<strong>in</strong>en re<strong>in</strong><br />
imag<strong>in</strong>ären Wert, zu ersetzen.<br />
• <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> beschreibt beliebige<br />
Erregungen <strong>und</strong> Antworten. Sie liefert die<br />
allgeme<strong>in</strong>ste Lösung des Problems, welche sowohl<br />
den E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gvorgang, als auch den stationären<br />
Zustand umfasst.<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 24
Zusammenfassung<br />
• <strong>Die</strong> konventionelle komplexe Wechselstromrechnung<br />
gilt nur für den Spezialfall s<strong>in</strong>usartiger Schw<strong>in</strong>gungen<br />
von Erregungen <strong>und</strong> Antworten.<br />
• Für die Theorie <strong>der</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong>en<br />
bedeutet dies, die Variable s durch iω, also e<strong>in</strong>en re<strong>in</strong><br />
imag<strong>in</strong>ären Wert, zu ersetzen.<br />
• <strong>Die</strong> <strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> beschreibt beliebige<br />
Erregungen <strong>und</strong> Antworten. Sie liefert die<br />
allgeme<strong>in</strong>ste Lösung des Problems, welche sowohl<br />
den E<strong>in</strong>schw<strong>in</strong>gvorgang, als auch den stationären<br />
Zustand umfasst.<br />
• <strong>Die</strong>ser Vortrag kann heruntergeladen werden von<br />
“http://www.gsi.de/ ˜struck”<br />
<strong>Laplace</strong>-<strong>Transformation</strong> – p. 24