Herleitung der Parameter-Gleichungen für die einfache ... - LaTeX
Herleitung der Parameter-Gleichungen für die einfache ... - LaTeX Herleitung der Parameter-Gleichungen für die einfache ... - LaTeX
2 Herleitung der Gleichungen QS(a, b) = = n i=1 n i=1 e 2 i = n (yi − ˆyi) 2 i=1 yi − [axi + b] Da wir die optimalen Werte für die Minimierung dieser Quadratsumme erhalten wollen, bilden wir die partiellen Ableitungen nach a und b. Vorher können wir jedoch Gleichung 2 vereinfachen. Mit Hilfe der 2. Binomischen Formel 2 lösen wir 3 auf: QS(a, b) = n i=1 2 y 2 i − 2yi(axi + b) + (axi + b) 2 Da der Term (axi +b) 2 der 1. Binomischen Formel 3 entspricht, lösen wir auch diesen auf und vereinfachen: QS(a, b) = n i=1 y 2 i − 2axiyi − 2byi + a 2 x 2 i + 2abxi + b 2 Ausgehend von Gleichung 5 bilden wir jetzt die partiellen Ableitungen nach a und b: 2 2. Binomische Formel: (s − t) 2 = s 2 − 2st + t 2 3 1. Binomische Formel: (s + t) 2 = s 2 + 2st + t 2 2 (2) (3) (4) (5)
∂QS(a, b) = ∂a ∂QS(a, b) ∂b = 2 n i=1 = (−2xiyi + 2ax 2 i + 2bxi) (6) n xi(−yi + axi + b) (7) i=1 = 2 n (−2yi + 2axi + 2b) (8) i=1 n (axi + b − yi) (9) i=1 Wenn wir Gleichung 9 nullsetzen und auflösen, erhalten wir n n n 2 axi + 2 b − 2 yi = 0 (10) i=1 i=1 i=1 i=1 n n 2 axi + 2nb − 2 yi = 0 (11) i=1 i=1 n n 2nb = 2 yi − 2 axi Auflösen nach b (durch 2n teilen) gibt (zusammen mit der Tatsache, dass das arithmetische Mittel allge- n xi definiert ist): mein als ¯x = 1 n i=1 i=1 n yi i=1 b = n − n axi i=1 n = 1 n yi − a n 1 n n i=1 Setzen wir nun b = ¯y − a¯x in Gleichung 7 ein, erhalten wir 2 n i=1 i=1 xi (12) (13) (14) = ¯y − a¯x (15) xi axi + ( ¯y − a¯x) − yi = 0 (16) 3
- Seite 1: Historie Herleitung der Parameter-G
- Seite 5: Über alternative Formeln zu Varian
2 <strong>Herleitung</strong> <strong>der</strong> <strong>Gleichungen</strong><br />
QS(a, b) =<br />
=<br />
n<br />
i=1<br />
n<br />
i=1<br />
e 2 i =<br />
n<br />
(yi − ˆyi) 2<br />
i=1<br />
<br />
yi − [axi + b]<br />
Da wir <strong>die</strong> optimalen Werte <strong>für</strong> <strong>die</strong> Minimierung <strong>die</strong>ser Quadratsumme erhalten wollen, bilden wir <strong>die</strong><br />
partiellen Ableitungen nach a und b. Vorher können wir jedoch Gleichung 2 ver<strong>einfache</strong>n. Mit Hilfe <strong>der</strong> 2.<br />
Binomischen Formel 2 lösen wir 3 auf:<br />
QS(a, b) =<br />
n<br />
i=1<br />
2<br />
<br />
y 2 i − 2yi(axi + b) + (axi + b) 2<br />
Da <strong>der</strong> Term (axi +b) 2 <strong>der</strong> 1. Binomischen Formel 3 entspricht, lösen wir auch <strong>die</strong>sen auf und ver<strong>einfache</strong>n:<br />
QS(a, b) =<br />
n<br />
i=1<br />
<br />
y 2 i − 2axiyi − 2byi + a 2 x 2 i + 2abxi + b 2<br />
Ausgehend von Gleichung 5 bilden wir jetzt <strong>die</strong> partiellen Ableitungen nach a und b:<br />
2 2. Binomische Formel: (s − t) 2 = s 2 − 2st + t 2<br />
3 1. Binomische Formel: (s + t) 2 = s 2 + 2st + t 2<br />
2<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)
Change language