Aufgaben zur Kurvendiskussion

LK Mathematik * K13 * Übungsaufgaben für den LK Mathematik * Kurvendiskussion
1. Gegeben ist die Funktion
f (x) =
3
x − 4x
2
x − 3
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen.
b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.
Geben Sie insbesondere alle Asymptoten an.
c) Zeigen Sie, dass der Graph von f keine horizontalen Tangenten hat.
Skizzieren Sie nun den Graphen.
3
x + 5x
2
2 x 1
.
2. Gegeben ist die Funktion g(x) =
+ .
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen.
Prüfen Sie auf Symmetrie.
b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.
Geben Sie insbesondere alle Asymptoten an.
c) Bestimmen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von g.
d) Begründen Sie, dass die sich ins Unendliche erstreckende Fläche zwischen dem Graphen
und der schiefen Asymptote keinen endlichen Flächeninhalt hat.
3. Gegeben ist
( )
( )
1 + ln (x)
f (x) =
1 − ln (x)
2
2
.
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen.
b) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs.
Geben Sie insbesondere alle Asymptoten an.
c) Zeigen Sie, dass der Graph von f den Tiefpunkt ( 1 / 1 ) besitzt.
Skizzieren Sie nun den Graphen.
x + 2
4. Gegeben ist die Funktion ln . 2
x
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen.
b) Untersuchen Sie das Verhalten von g an den Grenzen des Definitionsbereichs.
Geben Sie insbesondere alle Asymptoten an.
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f .
d) Zeigen Sie, dass der Graph von g genau einen Wendepunkt besitzt.
Skizzieren Sie nun den Graphen.
¥ ¤ £ ¢ ¡
x
k e
5. Gegeben ist die Funktionenschar f k (x) = mit k∈R \{0} .
x
1 + 2e
a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich und alle Nullstellen.
b) Untersuchen Sie das Verhalten von f k an den Grenzen des Definitionsbereichs.
Geben Sie insbesondere alle Asymptoten an.
c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von fk .
k
d) Zeigen Sie, dass der Graph von fk genau einen Wendepunkt W ( − ln(2) / ) hat.
4
e) Zeigen Sie, dass der Graph von fk punktsymmetrisch bezüglich dieses Wendepunktes ist.
f) Die negative x-Achse, die negative y-Achse und der Graph von fk schließen eine sich ins
Unendliche erstreckende Fläche mit endlichem Inhalt Ak ein.
Berechnen Sie Ak .

Lösungen zu „Übungsaufgaben für den LK Mathematik * Kurvendiskussion“
1. a) Df = R \{ − 3 ; 3} ; Nullstellen : x1 = 0 , x2/ 3 = ± 2
b)
x→ ±∞ x→ − 3 ± 0 x→ 3 ± 0
c)
lim f (x) = ± ∞ ; lim f (x) = ∞ und lim f (x) = ∞
senkrechte Asymptoten : x = − 3 und x = 3
schräg liegende Asymptote : y = x (für x → ± ∞ )
4 2
x − 5x + 12
f ´(x) =
;
2 2
(x − 3)
4 2 2 2
f ´(x) = 0 ⇔ x − 5x + 12 = 0 ⇔ u − 5u + 12 = 0 (mit u = x )
2
aber u − 5u + 12 = 0 hat keine Lösung wegen D = 25 − 4⋅ 12 < 0 , also gibt es
keine Stelle mit waagrechter Tangente.
2. a) Dg = R ; Nullstelle : x1 = 0 ; g( − x) = − g(x) d.h. Gg ist punktsymmetr.
b) lim f (x) = ± ∞
x→
±∞
;
1
schräg liegende Asymptote : y = ⋅ x (für x → ± ∞ )
2
4 2
2x − 7x + 5
c) g´(x) = 2 2
(2x + 1)
; g´(x) = 0 ⇔
2 2
2u − 7u + 5 = 0 mit u = x ⇔
5
10
2 2
2
2u − 7u + 5 = 0 ⇔ u1 = und u2 = 1 d.h. x1/ 2 = ± und x3/ 4 = ± 1
HOP (1/ 2) , TIP (
10 5 10
/ ) und HOP ( −
2 8
10 5 10
/ − ) , TIP ( −1/ − 2)
2 8
1 9x
g(x) − ⋅ x =
2 4x + 2
und für a ≥ 1 gilt
d) 2
∞ ∞ ∞
9x 9x 1
dx ≥ dx = dx ≥ ln ∞ = ∞
4x + 2 9x x
2 2
a a a
+ 1
3. a) Df = R \{ ; e}
e
; es gibt keine Nullstellen .
lim f (x) = − 1 also waagrechte Asymptote y = − 1 ;
b)
x→
+∞
¡ ¡ ¡
lim f (x) = ± ∞ und lim f (x) = ∞
−1 x→ e ± 0
x→ e± 0
1
senkrechte Asymptoten : x =
e
und x = e
4 ln (x)
c) f ´(x) = 2 2
x ⋅(1 − ln (x) )
und f ´(x) = 0 ⇔ ln (x) = 0 ⇔ x1 = 1
( )
f ´ ändert bei x1 = 1 das Vorzeichen von - auf + , d.h. Gf hat bei x1 den
Tiefpunkt TIP ( 1 / 1 ).

4. a) D f = ] − 2 ; ∞ [ \ {0} ;
Nullstellen : g(x) = 0 ⇔
x + 2
= 1 ⇔ 2
x
2
x − x − 2 = 0 ⇔ x1 = − 1 , x2 = 2
x + 2
b) lim g(x) = ln ( lim ) = " ln( + 0) " = − ∞ ; lim g(x) = + ∞ ;
x→ +∞ x→
+∞
2
x
x→ 0 ± 0
= − ∞ ; also senkrechte Asymptoten: x = - 2 und x = 0
5. a)
lim g(x)
x→ − 2+ 0
4 + x
c) g´(x) = −
x ⋅ (x + 2)
; g´(x) > 0 für − 2< x < 0 und g´(x) < 0 für 0 < x
g ist also in ] -2 ; 0 [ streng monoton wachsend und in ] 0 ; [ streng monoton
fallend.
d) g´´(x) =
2
x + 8 x + 8
2 2
x (x + 2)
und g´´(x) = 0 ⇔
2
x + 8x + 8 = 0 ⇔ x1/ 2 = − 4 ± 2 2
x 2 = − 4 − 2 2 ∉ Dg und g´´ ändert bei x1 = − 4 + 2 2 das Vorzeichen.
Also hat Gg genau einen Wendepunkt bei x1 = − 4 + 2 2 .
Dfk = R ; es gibt keine Nullstellen
lim f (x) = 0 also waagrechte Asymptote y = 0 für x → − ∞ ;
b)
x→
−∞
k
lim f (x) =
x→
+∞ 2
k
also waagrechte Asymptote y =
2
für x → + ∞ ;
x
k e
c) f k ´(x) =
x 2
(1+ 2e )
;
für alle x∈ R gilt : f k ´(x) > 0 falls k > 0 und f k ´(x) < 0 falls k < 0 ;
für k > 0 ist fk streng monoton steigend, für k < 0 dagegen streng monoton fallend.
x x
ke ⋅(1 − 2e )
d) f k ´´(x) = x 3
(1+ 2e )
und f ´´(x) = 0 ⇔
x
1− 2e = 0 ⇔ x1 = − ln(2)
k
f k´´ ändert bei x1 das Vorzeichen, also hat der Graph bei W( − ln(2) / ) einen WP.
4
k
e) Zu zeigen ist für W = (x 1 / y 1)
= ( − ln(2) / ) :
4
f (x + x) − y = y − f (x − x) ⇔ f (x + x) + f (x − x) = 2y
k 1 1 1 k 1 k 1 k 1 1
linke Seite:
− ln 2 + x −ln 2 − x
ke ke
f k (x1 + x) + f k (x1 − x) = + =
− ln 2 + x −ln 2 − x
1 + 2e 1 + 2e
k k
⋅ e
+
= + = ⋅ + = ⋅ = ¡
x
2
x
2⋅ e k
x
e 1 k
x
e 1 k
x
1 + e
1 +
1
x
2
x
1 + e
x
e + 1
x
2 1 + e 2
rechte Seite:
e
k k
2⋅ y1 = 2⋅ =
4 2
Die geforderte Bedingung ist also erfüllt!
¡ ¢
f)
k
x
f k (x)dx = ⋅ ln ( 1+ 2e ) + c
2
daher
£ ¤ ¥ ¢
0
( ) ( )
und ¡
¦ ¡
¥ Ak =
0
f k (x) dx =
k x
⋅ ln 1+ 2e
2
=
k
⋅ ln 3 − ln1
2
=
k ⋅ln
3
2
−∞
£ ¤
−∞