Loesungen Kapitel 3

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
3.0 Für Gase und homogene Flüssigkeiten, die ausser einem konstanten Druck keinen
äusseren Belastungen unterworfen gibt es eine Zustandsgleichung der Form:
f(p,V,T) =0.
⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂T
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝∂V ⎠ ⎝ ∂T ⎠ ⎝ ∂p
⎠
Leiten Sie daraus die folgende Beziehung her: 1
Bemerkung: Allgemein gilt für eine
Zustandsfunktion f(x,y,z) = 0
Lösung: siehe nächste Seite
Lösung zu 3.0: f( p, V, T ) = 0
T p V
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 1
TV ,
=−
⎛ ∂x⎞ ⎛ ∂y⎞ ⎛ ∂z⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =−1
⎝∂y⎠ ⎝ ∂z ⎠x⎝ ∂x⎠y
z
⎛ ∂f ⎞ ∂f ∂f
df = dp
⎛ ⎞
dV
⎛ ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dT = 0
⎝ ∂p⎠ ⎝ ∂V ⎠T, p ⎝ ∂T
⎠p,
V
Wir setzen der Reihe nach dp, dV und dT gleich null und notieren das Ergebnis.
dp = 0: ⎛ ∂f ⎞ f
dV
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎝∂V ⎠T, p ⎝∂T ⎠p,
V
dT = 0
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛dV ⎞ ⎝ ∂T
⎠pV
,
⎜ ⎟ =−
⎝ dT ⎠ ∂f
p ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂V
⎠
dV = 0:
dT = 0:
⎛ ∂f ⎞ f
dp
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dT = 0
⎝ ∂p⎠ ⎝ ∂T
⎠pV
,
TV ,
⎛ ∂f ⎞ f
dp
⎛ ∂ ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dV = 0
⎝∂p⎠ ⎝ ∂V
⎠T,
p
TV ,
Jetzt multiplizieren wir die drei Gleichungen miteinander
und kürzen auf der rechten Seite:
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛dT ⎞ ⎝ ∂p
⎠
⎜ ⎟ =−
⎝ dp ⎠ ⎛ ∂f
⎞
V ⎜ ⎟
⎝ ∂T
⎠
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛ dp ⎞ ⎝ ∂V
⎠
⎜ ⎟ =−
⎝dV ⎠ ∂f
T ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂p
⎠
T, p
TV ,
pV ,
T, p
TV ,

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛dV ⎞ ⎝ ∂T
⎠
⎜ ⎟ =−
⎝ dT ⎠ ∂f
p ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂V
⎠
pV ,
T, p
Kürzen auf der rechten Seite liefert das gesuchte Ergebnis:
⎛ ∂p ⎞ ⎛ ∂V ⎞ ⎛ ∂T
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝∂V ⎠ ⎝ ∂T ⎠ ⎝ ∂p
⎠
T p V
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛dT ⎞ ⎝ ∂p
⎠
⎜ ⎟ =−
⎝ dp ⎠ ⎛ ∂f
⎞
V ⎜ ⎟
⎝ ∂T
⎠
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
dV ⎛dT ⎞ ⎛ dp
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞
⎞ ⎝ ∂T
⎠ ⎝ ∂p
⎠ ⎝ ∂V
⎠
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ×− × −
⎝ dT ⎠ p ⎝ dp
⎠ dV V ⎝ ⎠T
⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞ ⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂V
⎠ ⎝ ∂T ⎠
⎜ ⎟
⎝ ∂p
⎠
=−1
⎛ ∂f
⎞
⎜ ⎟
⎛ dp ⎞ ⎝ ∂V
⎠
⎜ ⎟ =−
⎝dV ⎠ ∂f
T ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂p
⎠
Zusatzsaufgabe: Wenden Sie diese Gleichung auf die ideale Gasgleichung an.
nRT=pV oder pV-nRT = 0
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 2
TV ,
pV ,
pV , TV ,
T, p
T , p
pV ,
TV ,
3.1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen exakte
Differentiale haben: a) f(x,y) = x 2 y+3y 2 , b) f(x,y) = xcos(xy) ,
c) f(t,s) = t(t+e s )+25s
Bedingung für exakte Differentiale
einer Funktion f(x.y):
Bedingung für exaktes Differential einer Funktion f(x,y):
a)
b)
( )
y x x2⋅y 3 y 2
d d
− ⋅
d d
( )
x y x2⋅y 3 y 2
d d
− ⋅
d d
x cos x y
y x ⋅ ( ) ⋅
d d
( ) →
d d
x cos x y
x y ⋅ ( ) ⋅
d d
( ) →
d d
→ 2⋅x → 2⋅x ( ) sin x⋅y −2
−2
⋅ ( ) ⋅x
x 2 − ⋅cos
( x⋅y ) ⋅y
( ) sin x⋅y ⋅ ( ) ⋅x
x 2 − ⋅cos
( x⋅y ) ⋅y
∂
df =
⎛
⎜
⎝ ∂x ⎛ ∂ ⎞
f ( x, y) ⎞
⎟ dx + ⎜ f ( x, y) ⎟ dy
⎠y⎝∂y ⎠x
d ⎛ d
⎜
dx ⎝ dy
⎞ d d
f ( xy , ) =
⎛
f( xy , )
⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎠ dy ⎝ dx ⎠
y x fxy ,
d ⎛ d ⎞
⎜ ( ) ⎟
d ⎝ d ⎠x x y fxy ,
d ⎛ d ⎞
⎜ ( ) ⎟
d ⎝ d ⎠y T, p
TV ,
f(x,y) = x 2 y+3y 2 hat exaktes Differential
f(x,y) = xcos(xy) hat exaktes Differential

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
3.1 Fortsetzung
c)
d)
e)
( )
d d ⎡
⎣t⋅t
+ es + 25⋅s⎤ ⎦ e
dsdt
s
→
( )
d d ⎡
⎣t⋅t
+ es + 25⋅s⎤ ⎦ e
dtds
s
→
y x xy2
d d ⎛ y
⎜ ⋅ − + ln() x + 2⎞
⎟ →
d d ⎝ x ⎠
xy xy2
d d ⎛ y
⎜ ⋅ − + ln() x + 2⎞
⎟ →
d d ⎝ x ⎠
2⋅y 2⋅y +
+
1
x 2
1
x 2
( ( ) )
f(t,s) = t(t+e s )+25s hat exaktes Differential
f(xy)=xy-y+ln(x)+2hat
exaktes Differential
y x xy ⋅ sin y x ⋅ ( ) cos ( y)
⋅
y
− ln x −
+ x 3
d d
1
+ → 1 + sin( x⋅y ) ⋅x⋅ y⋅cos( y)
− cos( x⋅y) ⋅cos(
y)
+ cos ( x⋅y ) ⋅y⋅sin(
y)
−
d d
x
( ( ) )
xy xy ⋅ sin y x ⋅ ( ) cos ( y)
⋅
y
− ln x −
+ x 3
d d
1
+ → 1 + sin( x⋅y ) ⋅x⋅ y⋅cos( y)
− cos( x⋅y) ⋅cos(
y)
+ cos ( x⋅y ) ⋅y⋅sin(
y)
−
d d
x
Siehe auch:
Lösung 03-01
f(x,y)=xy-sin(yx)cos(y)+ln(x -y )+x3 hat exaktes Differential
3.2 a) Geben Sie das totale Differential dz von z = x 2 + 2y 2 – 2xy + 2x – 4y + 8 an.
2 2
∂ z ∂ z
b) Zeigen Sie, dass für diese Funktion gilt: =
∂y∂x ∂x∂y c) Untersuchen Sie, welche der folgenden Beispiele exakte Differentiale sind:
c1) dz = (2x+y2 )dx + (x2 +2y)dy
c2) dz = (x2 +2y)dx + (y2 +2x)dy
c3) dz = xydx + xydy
c4) dz = (x2 +y2 )(xdx+ydy)
c5) dz = (x+y)dx + (x+y)dy
a) dz
b)
( )
( )
x x2 2 y 2 ⎡d
+ ⋅ − 2⋅x⋅ y + 2⋅x − 4⋅y + 8
⎤
⎢
⎥
⎣d
⎦ dx ⋅
y x2 2 y 2 ⎡d
+ ⋅ − 2⋅x⋅ y + 2⋅x − 4⋅y + 8
⎤
⎢
⎥
⎣d
⎦ dy ⋅
+
( ) dx
( ) dy
dz 2⋅x − 2⋅y + 2 ⋅ + 4⋅y − 2⋅x − 4 ⋅
( )
2⋅x 2 y
y ⋅ − 2 +
d
d
( )
4⋅y 2 x
x ⋅ − 4 −
d
d
→ −2
→ −2
Damit ist gezeigt, dass δ2z δyδx
δ 2 z
erfüllt ist.
δxδy
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 3

Physikalische Chemie I
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3.2 Fortsetzung
c) c1) dz = (2x+y 2 )dx + (x 2 +2y)dy
c2) dz = (x 2 +2y)dx + (y 2 +2x)dy
c3) dz = xydx + xydy
( )
d
2⋅x + y2
dy
y x2
d
+ 2y
d
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Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 4
( )
y xy ⋅
d
( ) → x
d
→ 2⋅y → 2
c4) dz = (x2 +y2 )(xdx+ydy) = (x2 +y2 )xdx+(x2 +y2 )ydy)
y x2 y 2
d ⎡
⎣(
+ ) ⋅x⎤
⎦ → 2⋅xy ⋅
d
c5) dz = (x+y)dx + (x+y)dy
∂C
⎜
⎝ ∂V
⎟
⎠T
⎛∂C⎞ ⎝ ∂V
⎠
x y
y +
d
( ) → 1
d
( )
x x2
d
+ 2y
d
( )
x y2
d
+ 2x
d
x xy ⋅
d
( ) → y
d
→ 2⋅x → 2
( ) y
x x2 y 2 d ⎡
⎣ + ⋅ ⎤
⎦ → 2⋅xy ⋅
d
x y
x +
d
( ) → 1
d
3.3 Geben Sie ⎛ V ⎞ als zweite Ableitung von U an.
Lösung 03-02
V
Zeigen Sie dann, dass ⎜ ⎟ für ideale Gase verschwindet.
⎛∂CV⎞ ⎛ ∂ ⎛∂U⎞ ⎞ ⎛ ∂ ⎛∂U⎞ ⎞
⎜ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
∂V ⎟
= ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎠ ⎝∂V ⎝ ∂T
⎠ ⎠ ⎝∂T ⎝∂V ⎠T⎠V
Ideale Gase:
T V T
⎛∂CV⎞ ⎛ ∂ ⎛∂U⎞ ⎞
⎜
V
⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ∂ ⎠ ⎝∂T ⎝∂V ⎠ ⎠
T
⎛ ∂ ⎞
= ⎜ 0⎟
⎝∂T⎠ V
Gilt, weil U eine Zustandsfunktion ist.
nicht
exakt
exakt
nicht
exakt
exakt
exakt
Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab.
Deshalb ist die Ableitung von U nach V gleich null.
T T V
=
0

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
3.4 Betrachten Sie V als Funktion von p und T und bestimmen Sie dV.
Wie lautet der Ausdruck für dlnV, wenn man den isobaren Ausdehnungskoeffizienten
α p und die isotherme Kompressibilität κ T einsetzt?
V( p, T)
⎛∂V⎞ ⎛∂V⎞ dV = ⎜ ⎟⎠ dp + ⎜ ⎟
⎝ ∂p
⎝∂T⎠ dV =− Vκ
dp + Vα dT
T
T p
dV
=− κT dp + α pdT
V
d ln V =− κT dp + α pdT
1 ⎛∂V⎞ α p = ⎜ ⎟
V ⎝∂T⎠ 1 ⎛∂V⎞ κT
= − ⎜ ⎟
V ⎝ ∂p
⎠
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 5
p
dT
dx
dln x
x =
3.5 Prüfen Sie, ob x2 = y2sin(yz) die folgende Gleichung erfüllt: ⎛ ∂x⎞ ⎛ ∂y⎞ ⎛ ∂z⎞
Wir können alle Glieder der Ausgangsgleichung auf eine Seite nehmen:
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ =−1
⎝ ∂y⎠ ⎝ ∂z⎠x⎝ ∂x⎠y
0 x 2
y 2 := − ⋅sin(
y⋅z) Für das Folgende ist es zwechmässig, diese Glerichung in allgemeinere Form zu schreiben:
Damit gilt natürlich auch:
Jetzt untersuchen wir der Reihe nach die drei Fälle: dz = 0, dy = 0 und dx = 0.
dz 0
dx 0
dy 0
Damit kennen wir die drei partiellen Ableitungen
y x
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞
⎜ ⎟⎠ ⎜ y ⎟⎠ und
⎝ d ⎝ dz
x z
⎛ d ⎞
, ⋅⎜
⎟ und müssen sie nur noch miteinander
⎝ d ⎠
multiplizieren:
Resultat:
liefert:
liefert:
liefert:
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠z ⎛ df ⎞
⎜ ⎟
⎛ dy ⎞
⎝ dz ⎠xy ,
⎜ ⎟ − dif
⎝ dz ⎠x ⎛ df
x
⎞
⎜ ⎟⎠x
⎝ dy
, z
⎛ dz ⎞
⎜ ⎟
⎝ dx⎠
y
df
df ⎛ ⎞
⎜ ⎟ dx ⎛ df ⎞ df
+ ⎜ ⎟⎠x dy + ⎛ ⎞
⎜ ⎟ dz
⎝ dx⎠
dy
y, z ⎝
dz
, z ⎝ ⎠xy ,
⎛ df ⎞
⎜ ⎟
⎝ dy ⎠xz ,
− dif
⎛ df
z
⎞
⎜ ⎟
⎝ dx⎠
y, z
⎛ df ⎞
⎜ ⎟
⎝ dx⎠
y, z
− dif
⎛ df
y
⎞
⎜ ⎟
⎝ dz ⎠xy ,
mit f = konstant, bzw. df = 0.
y
difz( xy , , z)
fxy , z ,
d
( )
d
x fxy , z ,
−1
−2⋅y⋅ sin( y⋅z) y
−
d
2
( )
d
2 − ⋅cos
( y⋅z) ⋅z
:=
→ ⋅
x
z
difx( xy , , z)
fxy , z ,
d
( )
d
y fxy , z ,
3 cos y z
− y
d
( )
d
⋅ ( )
−2⋅y⋅ sin( y⋅z) y 2 :=
→ ⋅
− ⋅cos
( y⋅z) ⋅z
x
dify ( xy , , z)
fxy , z ,
d
( )
d
z fxy , z ,
x
− 2
d
( ) y
d
3 :=
→ ⋅
⋅cos
( y⋅z) difz( xy , , z)
⋅difx( xy , , z)
⋅dify ( xy , , z)
→ −1
fxy ( , , z)
x 2
y 2 := − ⋅sin(
y⋅z) z
p
T
Lösung 03-05

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3.6 Berechen Sie die partiellen Ableitungen
⎛ ∂z
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂x
⎠y und
a)
⎛ ∂y
⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂z
⎠x
3
x
von z(x,y) =
1-y
b)
2
2
⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞
Berechnen Sie auch ⎜ 2 ⎟ und ⎜ 2 ⎟
⎝ ∂y
⎠ ∂x
x ⎝ ⎠y
c)
2 2
⎛ ∂ z ⎞ ⎛ ∂ z ⎞
Prüfen Sie, ob ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ erfüllt ist.
⎝∂∂ xy⎠ ⎝ ∂∂ yx⎠
a)
b)
a)
zxy ( , ) :=
x 3
1 − y
x zxy ,
d
x
( ) 3
d
2
→ ⋅
1 − y
2
d
x
zxy ( , ) → 6⋅
2
dx
1 − y
y x zxy ,
d d
x
( ) 3
d d
2
( 1 − y)
2
→ ⋅
y zxy ,
d
x
( )
d
3
( 1 − y)
2
→
y zxy ,
d
x
( )
d
3
( 1 − y)
2
→
xy zxy ,
d d
x
( ) 3
d d
2
( 1 − y)
2
→ ⋅
Lösung 03-06
3.7 a) Wie gross ist der isobare Ausdehnungskoeffizient von Neon bei 300 K?
b) Wie gross ist die Volumenänderung, wenn 50 cm 3 Neon (300 K) isobar um 5 K
erwärmt werden.
a)
b)
1 ⎛∂V⎞ α ⎜ ⎟
⎝∂T⎠ 1
α p ( Ne,300 K)
= =3.33× 10 K
300K
p = Einsetzen von nRT = pV:
V p
dV = α VdT
p
Beweis dafür, dass
ΔT
Δ V = V
T
−3
-1
1
α p =
T
3 5K
3
Δ V = 50 cm = 0.833 cm
300K
ΔT
Δ V = V richtig ist, siehe nächste Seite.
T
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Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 6

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WS 2006/07
dV = α VdT
p
V T
dV
=
V
2 2
∫ ∫
V T
1 1
V T
ln =ln
V T
2 2
1 1
T
2
α pdT
= ∫
T
V-V=V -V
2 1 1
2
T1
1
T
1
dT
T
V T
=
V T
2 2
1 1
⎛T⎞ ⎛ 2 T2
−T
⎞ 1
ΔV=V1 ⎜ -1⎟=V1
⎜ ⎟
⎝ T1
⎠ ⎝ T1
⎠
ΔT
ΔV=V1 Was zu zeigen war.
T1
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Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 7
x
x
2
∫
1
dx x
=ln
x x
T2
V=V 2 1
T
1
2
1
Δ T = T −T
2 1
Δ V = V −V
2 1
3.8 Der Anfangszustand eines idealen Gases in einem Zylinder sei T,V i , der Endzustand
sei T, V f . Eine Zustandsänderung soll auf 2 Wegen erreicht werden:
1) über freie irreversible Expansion gegen den äusseren Druck 0,
2) über reversible, isotherme Expansion unter Zuführung der notwendigen Wärme q.
Bestimmen Sie w, q und ΔU für die beiden Prozesse.
a) pext = 0
T,Vi T,Vf b) pext = p
Ideales
Gas:
U i = U f
d.h. ΔU = 0
a) dw = -p ext dV = -0 dV= 0 d.h. dass auch q und ΔU gleich Null sind.
b) p ext = p = p int dw = -p dV nRT= pV
f
dV
dw =−nRT = −nRTd ln V w=−nRT dlnV V
∫
V f
w=−nRTln V
i
aus ΔU = 0 = w + q folgt: = ln
V
V
q nRT
i
V
f
V
i

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WS 2006/07
3.9 Wie gross ist die Änderung der molaren Inneren Energie von
Ammoniak, wenn dieser um 2 K aufgeheizt und um 100 cm 3 komprimiert
wird? (Π T = 840 J m -3 mol -1 bei 300 K, C V =27.32 J K -1 mol -1 .
U = U( V, T)
⎛∂U ⎞ ⎛∂U ⎞
dU = ⎜ ⎟ dV + ⎜ ⎟ dT
⎝ ∂V ⎠ ⎝ ∂T
⎠
T V
dU =Π TdV + CVdT f
Vf Tf
∫ ∫
Δ U =∫dU=
Π dV + C dT
T V
i Vi Ti
Falls ΠT und CV im interessierenden Bereich konstant sind, so können sie vor
das Integral gezogen werden.
Das ist bei diesem Beispiel der Fall und wir erhalten:
Δ U =ΠTΔ V + CVΔT 3
J 3 −6
m J
Δ U = 840 10 0cm 10
+ 27.32 2K
3
3
mmol
cm Kmol
54.72 J
−2
J 3 J
Δ U = 8.40× 10 100cm + 54.64 =
mol mol mol
3.10 Berechnen Sie die Joule-Thomson Koeffizienten von N2 , O2 und Ar bei Raumtemperatur
unter der Annahme, dass sich diese Gase als Van der Waals Gase verhalten.
⎛dT ⎞
μH
= ⎜ ⎟
⎝ dp ⎠V
Für Van der Waals Gase gilt:
2a
− b
μ RT
H =
C
Van der Waals Koeffizienten bei 298 K (Tabelle 1.4):
Gas a [bar L 2 mol -2 ] b [10 -2 L mol -1 ]
N2 1.37 3.87
O2 1.382 3.19
Ar 1.355 3.20
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Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 8
p
Tabelle 2.4 und Handbook:
Cp,m (N2 ) = 29.125 J K-1 mol-1 Cp,m (O2 ) = 29.355 J K-1 mol-1 Cp,m (Ar) = 20.786 J K-1 mol-1 Lösung 03-10

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3.10 Fortsetzung
bar 10 5 ≡ Pa
L 10 3 − m 3
J
≡ R ≡ 8.314
T ≡ 298.15K i := 0.. 2
K⋅mol ⎛ 1.37 ⎞
⎜ ⎟ bar L
a ⎜ 1.382 ⎟
⎜ ⎟
⎝ 1.355 ⎠
2
⋅
mol 2
⎛ 3.87 ⎞
⎜ ⎟
:= ⋅
b ⎜ 3.19 ⎟ 10
⎜ ⎟
⎝ 3.20 ⎠
2 −
⎛ 29.125 ⎞
L
⎜ ⎟ J
:= ⋅
C
mol
pm := ⎜ 29.355 ⎟
K⋅mol ⎜ ⎟
⎝ 20.786 ⎠
Joul-Thomson Koeffizient
für Van der Waals Gase:
(Lösung 1)
Joul-Thomson Koeffizient
für Van der Waals Gase:
(Lösung 2)
μi :=
2⋅a i
RT ⋅
− b
i
C pmi
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Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 9
⎛ Ar ⎞
⎜ ⎟
N
⎜ 2 ⎟
⎜ O ⎟
⎝ 2 ⎠
2⋅x − y
RT ⋅
uxy ( , , z)
:= u⎛a , b , C
z
i i pmi⎞
=
⎝ ⎠
⎛ 0.247 ⎞
⎜ ⎟⎟ K
μ = ⎜ 0.271
bar
⎜ ⎟
⎝ 0.372 ⎠
3.11 a) Skizzieren Sie in einem pV Diagramm eine Isotherme und eine Adiabate.
b) Ergänzen Sie die folgende Tabelle (für ideale Gase):
Art der Arbeit
Expansion gegen
p=0
Isotherm
Adiabatisch
Expansion gegen
p=konst.
Isotherm
Adiabatisch
Reversible
Expansion oder
Kompression
Isotherm
Adiabatisch
w
0
0
-p ext ΔV
-p ext ΔV
q
0
0
p ext ΔV
-nRTln(V f /V i ) nRTln(V f /V i )
0
C v ΔT 0
ΔU
0
0
0
-p ext ΔV
C v ΔT
ΔT
0
0
0 0
0
0.247
0.271
0.372
-pΔV = CvΔT ΔT = -pΔV/CV 1
⎛ c
⎛V⎞ ⎞
⎜ i
i ⎜ ⎟ 1⎟
⎜⎜V⎟ ⎟
f
Δ T = T −
⎝⎝ ⎠ ⎠
c=C V,m /R
K
bar

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
(zu a): vgl. Mathcad Lösung_03-11.mcd
( )
PTmin , Vol
( )
PTmax , Vol
6000
4000
2000
0
Isotherme
1 1.5 2
Vol
PTmin ( , Vol)
Pγ( Vol, konst)
0.5 1 1.5 2
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 10
1.5 .10
4
1 .10
4
5000
0
Isotherme-Adiabate
3.12 Wenn man eine Kältemaschine konstruieren will, so muss man wissen, welche
Temperaturerniedrigung bei adiabatischer Expansion des Kühlmittels erreichbar ist.
Für Freon sind das 1.2 K/bar. Welchen Druckunterschied braucht man, um eine
Temperaturernierigung von 5.0 K zu erreichen?
⎛dT ⎞
μH
= ⎜ ⎟
⎝ dp ⎠
H
H
⎛ΔT⎞ = ⎜ ⎟
Δp
⎝ ⎠H
ΔT
5K
Δ p =
1
μ 1.2Kbar
− = =
4bar
Vol

Physikalische Chemie I
WS 2006/07
3.13 Erstellen Sie eine Tabelle mit allen Materialkonstanten,
die in diesem Kapitel eingeführt wurden.
3.14 Wie gross ist die Volumenänderung von 50 cm3 Wasser, wenn der Druck bei
20° C von 1 bar auf 1 kbar erhöht wird.
B) Dasselbe für einen gleich grossen Kupferblock.
C) Wie gross ist die Volumenänderung (von Wasser und von Cu) wenn gleichzeitig die
Temperatur um 5 °C erhöht wird.
Übungsstunde …
Aus Tabelle 3.1, Seite 3.18: κH2O 45.9 10 6 −
⋅ bar 1 −
:= ⋅
αH2O 2.1 10 4 −
⋅ K 1 −
:= ⋅
Volumen für Wasser und Cu Block: V 50 cm 3
:= ⋅
κCu 0.725 10 6 −
⋅ bar 1 −
:= ⋅
αCu 0.501 10 4 −
⋅ K 1 −
:= ⋅
Druckänderung: Δp := 1000⋅ bar − 1⋅bar Δp = 999bar
Temperaturänderung: ΔT:= 5⋅K A) ΔVT_H2O := −κH2O⋅V⋅Δp ΔVT_H2O −2.293cm 3
=
B) ΔVT_Cu := −κCu⋅V⋅Δp ΔVT_Cu −0.036cm 3
=
C) ΔVp_H2O := αH2O⋅V⋅ΔT ΔVp_H2O 0.053cm 3
=
ΔVp_Cu := αCu⋅V⋅ΔT ΔVp_Cu 0.013cm 3
=
ΔVtot_H2O := ΔVT_H2O + ΔVp_H2O ΔVtot_H2O −2.24cm 3
=
ΔVtot_Cu := ΔVT_Cu + ΔVp_Cu ΔVtot_Cu −0.024cm 3
=
Gion Calzaferri
Übungen Kapitel 3
Der 1. HS der Thermodynamik 11