1 Bruchzahlen - Jakob-Brucker-Gymnasium Kaufbeuren

1 Bruchzahlen
1.1 Brüche
Mit Hilfe von Brüchen lassen sich Bruchteile vom
Ganzen angeben.
Der Nenner gibt an, in wie viele gleich große Teile ein
Ganzes zerlegt wird.
Der Zähler gibt an, wie viele von diesen gleichen
Teilen man nimmt.
Die positiven und die negativen Bruchzahlen bilden mit
der Zahl Null die Menge Q der rationalen Zahlen.
Jede ganze Zahl lässt sich als Bruchzahl schreiben.
Brüche mit Nenner 100 werden häufig als Prozentsätze
geschrieben.
Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist,
lassen sich als gemischte Zahlen schreiben.
1.2 Dezimalbrüche
Bei einem Dezimalbruch stehen auf der ersten Stelle
nach dem Komma die Zehntel, auf der zweiten die
Hundertstel, auf der dritten die Tausendstel usw..
Ein Dezimalbruch kann nach dem Komma eine sich
ständig wiederholende Ziffer oder Ziffernfolge
besitzen, die man Periode nennt.
Brüche lassen sich mit Hilfe der Division in Dezimalzahlen
umwandeln.
Einen Bruch kann man als endlichen Dezimalbruch
schreiben, wenn im Nenner des vollständig gekürzten
Bruches nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen.
1.3 Kürzen und Erweitern von Brüchen
Kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl zu teilen.
Erweitern bedeutet, Zähler und Nenner mit derselben
Zahl zu multiplizieren.
Beim Erweitern und Kürzen ändert sich der Wert nicht.
grundwissen-klasse6.doc
- 1 -
Beispiele
3 7
4
15
5 10 15 50
-5 = − = − = − = − = ...
1 2 3 10
13 100
= 13%
1 = = 100%
100
100
7 1
= 2
3 3
18 3
= 3
5 5
111
= 15
7
3 8 0 1 5
2,38015 = 2 + + + + +
10 100 1000 10000 100000
4,3333... = 4, 3 5,13567567567567...= 5, 13567
1
5
= 1 : 3 = 0,
333....
= 0,
3 = 5 : 6 = 0,
83
3
6
3
4
3
1 1
= = 3 : 4 = 0,
75 = = 0,
025
2 ⋅ 2
40 3
2 ⋅ 5
3
2
5
=
30
45
13
5
=
3
2
=
10
15
26
10
=
5
3
=
2
3
78
30
=
18
2
30
6
7

1.5 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen
Gleichnamige Brüche (also Brüche mit gleichem Nenner)
werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler
addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält.
Falls die Brüche keinen gemeinsamen Nenner haben,
müssen sie vorher durch Erweitern (oder Kürzen)
gleichnamig gemacht werden.
Dezimalzahlen werden addiert (subtrahiert) wie
natürliche Zahlen. Man schreibt sie so untereinander,
so dass Komma unter Komma steht und rechnet
stellenweise.
1.6 Multiplikation und Division von Bruchzahlen
Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mal
Zähler und Nenner mal Nenner rechnet.
Dezimalzahlen werden multipliziert, indem man
Erst ohne Rücksicht auf die Kommas multipliziert und
dann im Ergebnis das Komma so setzt, dass dieses
genau so viele Nachkommastellen hat wie die
Faktoren zusammen.
Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit
dem Kehrbruch multipliziert.
Durch eine Dezimalzahl wird dividiert, indem man
im Divisor und Dividend das Komma so weit nach
rechts verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist.
Beim Dividieren wird dann beim Überschreiten des
Kommas im Dividenden im Ergebnis das Komma
gesetzt.
grundwissen-klasse6.doc
- 2 -
2
7
2
7
2
3
+
-
+
3
7
=
2 + 3
7
=
5
7
3
7
=
2 − 3
7
1
= -
7
3
5
=
10
15
+
9
15
=
19
15
=
4
1
15
3,708 3,708
+ 12,5207 - 12,5207
16,2287 -8,8127
3
4
:
2
⋅
5
5
12
7
10
=
=
3
4
2⋅
7
5⋅10
3, 4⋅
2,
15
=
2
1⋅
7
5⋅
5
=
68
34
170
7,310
12 3⋅12
3⋅
3
⋅ = = =
5 4⋅
5 4 1⋅5
8,103: 2,19 = 810,3 : 219 = 3,7
-657
1533
-1533
0
7
25
9
5
=
4
1
5

2 Prozent- und Schlussrechnung
2.1 Prozentrechnung
Der Grundwert (GW) steht für das Ganze, der
Prozentwert (PW) steht für den Anteil vom Ganzen
und der Prozentsatz (p%) steht für den Bruchteil, den
dieser Anteil vom Ganzen ausmacht.
2.2 Proportionalität
Direkte Proportionalität: Bei Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe verdoppelt
(verdreifacht, ...) sich auch die andere Größe.
Indirekte Proportionalität: Bei Verdoppelung
(Verdreifachung, ...) der einen Größe nimmt die
andere Größe auf die Hälfte (ein Drittel, ...) ab.
2.3 Schlussrechnung
Die Schlussrechnung läuft nach folgendem Schema ab:
1. Schluss auf die Einheit
2. Schluss auf das Vielfache
grundwissen-klasse6.doc
- 3 -
30% von 42 kg sind 12,6 kg
p% GW PW
12,6 kg 42 kg – 12,6 kg = 29,4 kg
30 % 70%
Preis direkt proportional zur Menge:
1 kg kostet 2,40 €
2 kg kosten 4,80 €
5 kg kosten 12,00 €
Anzahl der Arbeiter indirekt proportional zur
benötigten Arbeitszeit:
3 Maler brauchen 10 Stunden
6 Maler brauchen 5 Stunden
15 Maler brauchen 2 Stunden
3 Maler brauchen zum Streichen der Hauswand
10 Stunden. Wie lange brauchen dafür 5 Maler?
3 Maler 10 Stunden
1 Maler 30 Stunden (Einheit)
5 Maler 6 Stunden
3 kg Äpfel kosten 3,60 €. Wie viel muss man für 5 kg
Äpfel bezahlen?
3 kg kosten 3,60 €
1 kg kosten 1,20 € (Einheit)
5 kg kosten 6,00 €

3 Geometrie
3.1 Flächeninhalte
1
Dreiecksfläche A = ⋅ g ⋅h
,
2
wobei g die Grundseite und h die zugehörige Höhe
des Dreiecks ist.
Die Höhe h kann dabei auch außerhalb des Dreiecks
liegen.
Den Flächeninhalt geradlinig begrenzter Figuren
kann man durch Zerlegen oder Ergänzen bestimmen.
(Verwendung von Rechtecken und Dreiecken)
3.2 Volumen
Die Größe des Raumes, den ein Körper einschließt,
nennt man Rauminhalt oder Volumen.
Der Rauminhalt wird durch Vergleich (bzw.
Auffüllen) mit Einheitswürfeln bestimmt.
Die Volumeneinheiten sind:
1 mm³ < 1 cm³ < 1 dm³ < 1 m³
Die Umrechnungszahl zwischen zwei benachbarten
Volumeneinheiten (mm 3 cm 3 dm 3 m 3 ) ist immer
1000.
Besondere Einheiten:
1 dm³ = 1 l (1 Liter)
1 cm³ = 1 ml (1 Milliliter)
100 l = 1 hl (1 Hektoliter)
3.3 Volumen von Quader und Würfel
Das Volumen des Quaders ist das Produkt aus
Länge, Breite und Höhe.
Das Volumen des Würfels ist die dritte Potenz
seiner Kantenlänge.
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- 4 -
17 cm 3 = 17000mm 3
17 cm 3 =
h h
g g
17 3
dm = 0,017 dm
1000
3 = 0,000017 m 3
2,5 l = 2,5 dm 3 = 2, 5⋅
1000 cm 3 = 2500 cm 3
2,5 l = 2,5 dm 3 = 0,0025 m 3