Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem ...

Kapitel 3. Mathematische Umsetzung
Ag = Rx α ◦ Rz β
(3.20)
α = arctan( gx
) (3.21)
β = arctan(
gy
g2 x + g2 y
) (3.22)
gz
r ′′ = Ag · r (3.23)
Daraus folgt für das Trägheitsmoment mit n Massenpunkten. Den Abstand erhalten
wir, wenn wir nur die x- und z-Koordinate verwenden.
J =
n
i=1
mi · ( r ′′
2
i
x + r ′′
i
2
y
) (3.24)
Diese Methode hat den Nachteil, dass bei jedem Zeitabschnitt die ganze Prozedur
wiederholt werden muss und somit sehr rechenintensiv ist. Der nachfolgend erläuterte
Trägheitstensor ist eine allgemeine Beschreibung des Trägheitsmomentes für beliebige
Drehachsen.
3.4.2 Berechnung des Trägheitstensors
Die Gleichung für den Trägheitstensor gegeben durch einzelne Massepunkte lautet[10][11]:
I =
⎡
y
⎢
mi ⎣
i
2 i + z2 i −xiyi −xizi
−yixi x2 i + z2 i −yizi
−zixi −ziyi x2 i + y2 ⎤
⎥
⎦ (3.25)
i
Die Werte in der Diagonale bezeichnet man als Hauptträgheitsmomente und die restlichen
Deviationsmomente.
Die Komponentenschreibweise lautet:
Iαβ = Iβα =
i
mi(r 2 i δαβ − xiαxiβ) (3.26)
Hierbei bezeichnet xi1 = xi, xi2 = yi und xi3 = zi. δ ist das Kronecker-Delta. Die indices
α und β nehmen dabei die Werte 1 bis 3 an, gemäss den drei Raumdimensionen.
1 für α = β
δαβ =
(3.27)
0 sonst
3.4.3 Volumina und Massepunkte
Gibt man einem Flugzeugelement (Flügel, Antrieb) einfach ein Gewicht und nimmt
seinen Ursprung als Massepunkt so lässt sich dadurch das Trägheitsmoment nur ungenügend
beschreiben. Liegt der Ursprung nämlich im Punkt (0/0/0), so hat diese Masse
keinen Einfluss auf das Trägheitsmoment. Das Problem liegt darin, dass der Punkt dimensionslos
ist. Abhilfe schafft man indem man den Körper in unendlich kleine Teilchen
teilt und für jedes Teilchen das Trägheitsmoment ausrechnet. In der Theorie berechnet
Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem physikalischen Modell 25