Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem ...

Kapitel 3. Mathematische Umsetzung
Abbildung 3.3: Gimbal Lock
sem Phänomen zwar nicht unterworfen, jedoch sind sie relativ ungenau. Eine Drehung
in Eulerwinkelform wird in drei Variablen beschrieben, gleichviel wie die Anzahl Freiheitsgrade.
Eine Rotationsmatrix benötigt hingegen neun Variablen. Da der Computer
nicht mit unendlicher Genauigkeit rechnen kann, entstehen Rundungsfehler. Auch wenn
diese Fehler nur klein sind, summieren sie sich mit der Zeit auf und werden sichtbar.
Quaternionen
Eine befriediegende Lösung bieten Quaternionen. Quaternionen ähneln dem Zahlensystem
der komplexen Zahlen. Man nennt sie auch Hamilton-Zahlen, benannt nach seinem
Erfinder. In diesem Abschnitt wird nur die Anwendung in Bezug auf Rotationen erklärt.
q = x0 + x1 · i + x2 · j + x3 · k (3.11)
Zwei Drehungen repräsentiert durch Quaternionen können durch multiplizieren zu
einer Drehung umgewandelt werden.
Rq1
◦ Rq2 = Rq1·q2
(3.12)
Eine Rotation, die den Vektor r in r ′ umwandelt, schreibt sich:
r ′ = q · r · ¯q (3.13)
Wobei ¯q die konjugierte Quaternion ist, sie ist gleich der Inverse:
¯q = x0 − x1 · i − x2 · j − x3 · k = q −1
(3.14)
Ein Drehung um die Achse, gegeben durch den normierten Vektor r, um den Winkel
α kann mit
q = cos α + r · sin α (3.15)
beschrieben werden.
Haben wir einen Drehimpuls L, so muss dieser Vektor normiert werden. Seine halbe
Länge ist dann gleich dem Drehwinkel.
r = L
| L|
α = | L|
2
(3.16)
Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem physikalischen Modell 22