Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem ...

3.3 Bewegungsgleichungen
Kapitel 3. Mathematische Umsetzung
Die Gesamtmasse m des Flugzeugs setzt sich zusammen aus den Einzelmassen (m =
mi). Wir definieren einen Schwerpunkt um die Drehbewegung und die lineare Bewegung
trennen zu können. Damit wir diese direkt herleiten können, setzen wir das
Massezentrums des Flugzeugkoordinatensystems als Nullpunkt.
3.3.1 Translation
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
⎝0⎠
=
0
i mi · ri
m
Die Translation leiten wir aus der Summe der Kräfte her.
F =
n
Fi
i=1
(3.2)
(3.3)
Die resultierende Kraft ist proportional zur Beschleunigung des Flugzeugs. 1 Multipliziert
man die Kraft mit der Zeit, die zwischen zwei Zeitschritten vergangen ist (= ∆t)
und addiert sie mit dem Impuls Pn, so erhalten wir den neuen Impuls Pn+1:
Pn+1 = Pn + ∆t · F (3.4)
(3.5)
Wir wollen aber nicht einfach nur den Impuls P , sondern auch die absolute Position p
im Raum. Diese erhalten wir durch Umrechnen in Geschwindigkeit und darauffolgender
numerischen Integration, wobei n der Zeitschritt ist.
3.3.2 Rotation
Pn+1
pn+1 = pn + ∆t ·
m
(3.6)
Die Berechnung der Orientierung sieht sehr ähnlich aus, besitzt jedoch ein paar zusätzliche
Zwischenschritte, da nicht mit der Masse sondern mit der Trägheit gearbeitet wird.
Um das Gesamtdrehmoment auszurechnen, müssen analog zur linearen Bewegung,
alle Drehmomente addiert werden.
Drehmoment
M =
n
i=1
Mi
(3.7)
Die Grundgleichung eines Drehmomentes ist das Kreuzprodukt von Angriffspunkt und
Kraft: M = r × F . Die Abbildung 3.1 versucht die Situation zu verdeutlichen. M steht
senkrecht zur Ebene Σ(r, F ) und die Länge des Vektors M entspricht der Fläche des
Rhombus, aufgespannt von r und F . In welche Richtung sich das Drehmoment zeigt,
kann man sich mit der Rechte-Daumen-Regel verdeutlichen (Abb. 3.2).
Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem physikalischen Modell 20