Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem ...

Kantonsschule Sargans 

Maturaarbeit 2009/2010 

Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem 

physikalischen Modell 

Autor: 

Elio Gubser 

Betreut durch: 

Physiker Dr. Franz Müller 

Experte: 

Aerodynamiker Dr. Jürg Müller 

8. März 2010

Inhaltsverzeichnis 

1 Einleitung 4 

1.1 Themenwahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

1.2 Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.1 Zielformulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.2 Methodik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.2.3 Ergebnisse und Reflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

1.3 Screenshots des Spieles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.4 Screenshots im 3D-Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

2 Physikalische Grundlagen 11 

2.1 Aerodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.1 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.2 Vortrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.3 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.4 Luftwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.2 Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.3 Starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.3.1 Position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.3.2 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.3.3 Bestandteile eines Flugzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

3 Mathematische Umsetzung 19 

3.1 Variablendeklaration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 

3.3 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.3.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.3.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

3.3.3 Robustere Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.4 Trägheitstensor und Trägheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.4.1 Berechnung des Trägheitsmomentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.4.2 Berechnung des Trägheitstensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.4.3 Volumina und Massepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

3.5 Berechnung der Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.5.1 Auftrieb und Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

3.5.2 Diagramme Auftriebs- und Widerstandskoeffizienten . . . . . . . . 27 

3.5.3 Berechnung der Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 

Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem physikalischen Modell 2

Inhaltsverzeichnis 

3.5.4 Definition eines Flügels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.5.5 Aufbereitung der Eingabedaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.5.6 Strömungsabriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.6 Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.6.1 Definition eines Antriebs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.7 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

4 Umsetzung in eine Software 37 

4.1 Fundament . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.1.1 Libraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4.1.2 Tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.3 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.3.1 Input Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 

4.3.2 Physics Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

4.3.3 Graphics Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.3.4 Recorder Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

5 Ergebnisse zur Koeffizientenberechnung 45 

6 Ausblick 47 

7 Reflexion 48 

8 Danksagung 49 

9 Deklaration zur Eigenständigkeit 50 

A Datenträger 55 


Kapitel 1 

Einleitung 

1.1 Themenwahl 

Schon immer interessierte ich mich für die Fliegerei und war ein passionierter Papierfliegler. 

Ich war fasziniert, mit welcher Leichtigkeit die Papierflieger sich in der Luft hielten 

und eigentlich zufällige, aber dennoch bezaubernde Akrobatik durchführten. Mit etwa 

elf Jahren war ich zum ersten Mal an einem Computer und spielte mit meinem Bruder 

stundenlang Strategie- und Autospiele. Der Computer war schon damals für mich ein 

unglaublich grosses Entdeckungsgebiet und schon bald, mit vierzehn Jahren, fing ich 

an C zu programmieren 1 . Das erste Programm, das ich schrieb, spukte zwar nur ’Hello 

World’ auf dem Bildschirm aus, doch es führte dazu, dass ich die Computerspiele vergass 

und mich nur noch zwischen Codezeilen und Datenstrukturen bewegte. 

Schliesslich wagte ich mich im Jahr 2005 mehr oder weniger erfolgreich an grössere 

Projekte. Zum Beispiel wollte ich einen Instant Messenger realisieren und fand bald 

schon ein paar Mitarbeiter dafür. Nun — Das Projekt ist schon im Planungsstadium 

eingestellt worden. Aber seit etwa zwei Jahren stecke ich einen Teil meiner Freizeit in die 

Mitentwicklung eines RTS 2 -Games namens Warzone 2100. Das Spiel war vor etwa zwölf 

Jahren ein Top-Seller. Dessen Quellcode wurde 2004 veröffentlicht. Seither entwickeln 

wir, ein Team bestehend aus Leuten aus aller Welt, das Spiel in unserer Freizeit weiter. 

In meiner Maturaarbeit habe ich nun meine zwei Leidenschaften, die Fliegerei und 

die Welt des Computers verbunden. 

1 Eine weit verbreitete Programmiersprache. 

2 Real-Time-Strategy: Echtzeit Strategiespiel 


1.2 Abstract 

1.2.1 Zielformulierung 

Kapitel 1. Einleitung 

Diese Arbeit befasst sich mit dem Aufbau und Entwicklung eines Flugsimulators in Form 

eines Computerspiels. Dabei stand für mich der physikalische Aspekt im Vordergrund. 

Ziel war es, mit einem kleinen Budget, viel Zeit und den heutigen technischen Mitteln 

einen spielbaren Flugsimulator zu entwickeln. Das Arbeitsspektrum war vielfältig, da es 

alle Bereiche der Spielentwicklung einbezieht. Die Dokumentation befasst sich mit der 

Ausarbeitung des Modells und seine Umsetzung in eine Software. Ausserdem soll der 

Source-Code übersichtlich und gut dokumentiert sein. 

1.2.2 Methodik 

Zuerst arbeitete ich mich in die komplexe Thematik der Flugtechnik und Aerodynamik 

ein. Die geeignete Lektüre zu finden erwies sich schwieriger als erwartet. Das Spektrum 

ging von Fluiddynamik mit kompressiblen, viskosiven Fluiden bis zu einfachen Aufgaben 

im Physikunterricht. Entweder zu kompliziert, rechenintensiv und unnötig genau 

oder viel zu einfach, um damit allgemeine Flugsituationen in Echtzeit zu simulieren. 

Aus diesem Umstand heraus entstand der Forschungsteil meiner Arbeit: Nachdem ich 

die Grundprinzipien verstanden hatte, konzipierte ich ein vereinfachtes Auftriebsmodell, 

mit dem das Flugzeug für Spielzwecke genügend realitätsnah berechnet werden kann. 

Darumherum entwickelte ich eine anpassbare, modulartig aufgebaute Simulationsumgebung. 

Parallel dazu widmete ich mich der Umsetzung. Diese beinhaltet nicht nur die 

Implementierung des Modells, sondern auch die Entwicklung der anderen Programmmodule, 

sowie die Kreation von 3D-Objekten und Szenerie. 

1.2.3 Ergebnisse und Reflexion 

Der Simulator erfüllt seine Hauptaufgabe. Es ist ohne weiteres möglich auch komplexere 

Flugmanöver durchzuführen. Das System ist in der Lage verschiedene Flugzeugmodelle 

zu simulieren. Der Grafikteil hingegen ist zwar noch kein wirklicher Augenschmaus, aber 

darin liegt auch nicht der Schwerpunkt dieser Arbeit. Eine klare Abgrenzung von Grafikund 

Simulationsteil mit einer hochflexiblen Verbindungsschicht gibt dem Flugzeugmodellierer 

jetzt schon grosse Freiheit, die Einzelheiten des Flugzeugs, wie Klappen und 

Instrumente, zu visualisieren. Das Auftriebsmodell lieferte hingegen nicht die gewünschten 

Ergebnisse. Die Auftriebspolare sieht leider bei allen Flügelformen identisch aus. Das 

liegt daran, dass der Flügel nur mit seinen Ausmassen definiert wird und somit für eine 

genauere Berechnung zu wenig Informationen bietet. Glücklicherweise heisst das nun 

nicht, dass sich alle Flugzeuge gleich fliegen. Es ist trotzdem möglich unterschiedliche 

Flugzeuge zu simulieren, indem man die Flügel und Antriebe anders platziert, dimensioniert 

oder zusätzlich hinzufügt. Somit wird das Spielerlebnis nicht zu sehr getrübt 

und ich vermute es wird, wenn überhaupt, nur geübten Fliegern auffallen. Man kann 

hier natürlich noch nicht von einem fertigen Softwareprodukt sprechen. Dafür fehlen die 

Spielinhalte wie zum Beispiel Grafiken, Sounds und eine spannende Geschichte. 


1.3 Screenshots des Spieles 


Hier sind einige Screenshots des Spieles um den Leser auf die vorliegende Arbeit einzustimmen. 

Abbildung 1.1: Landschaft aus grosser Entfernung 

Abbildung 1.2: Propellerflugzeug (Arbeitstitel: Bignose) 



Abbildung 1.3: Propellerflugzeug 

Abbildung 1.4: Düsenjäger (Arbeitstitel: Fighter) 



Abbildung 1.5: Cockpit des Propellerflugzeugs 

Abbildung 1.6: Cockpit des Düsenjägers 



1.4 Screenshots im 3D-Modeller 

Abbildung 1.7: Propellerflugzeug im Modeller 

Abbildung 1.8: Düsenjäger im Modeller 



Abbildung 1.9: Düsenjäger im Modeller 


Kapitel 2 

Physikalische Grundlagen 

2.1 Aerodynamik 

Ein Flugzeug erfährt hauptsächlich vier Kräfte. Diese sind Widerstand, Auftrieb, Vortrieb 

und Gravitation. Der Auftrieb und der Widerstand hängen von der Geschwindigkeit 

des Flugzeugs ab. Diese werden durch die Vortriebskraft, bzw. die Triebwerke erzeugt. 

In diesem Abschnitt werden die Grundlagen der Aerodynamik angerissen. Ich habe 

bewusst versucht das ganze Kapitel allgemein verständlich zu gestalten. Für den Leser, 

der sich näher mit der mathematischen Ausarbeitung befassen möchte werfe seinen Blick 

ins Kapitel 3 auf Seite 19. 

2.1.1 Gravitation 

Die Gravitation, auch Schwerkraft genannt, bezeichnet eine gegenseitige Anziehung von 

Massen. Versetzt man einen Körper von der Erde auf den Mond so ändert sich seine Masse 

nicht, wohl aber sein Gewicht. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird zwischen Masse 

und Gewicht oft nicht unterschieden. Das Gewicht ist eigentlich eine Anziehungskraft 

zwischen der Erde und dem Körper. Sie kommen einander entgegen. Normalerweise ist 

die Masse eines Flugzeugs im Vergleich zur Masse der Erde vernachlässigbar klein: Man 

kann sagen, nur das Flugzeug bewegt sich. Im Gegensatz dazu beeinflussen sich Mond 

und Erde sehr wohl. Der Mond dreht sich aber genau gesagt nicht einfach um die Erde, 

sondern beide Himmelskörper drehen sich um ihr gemeinsames Zentrum. 

2.1.2 Vortrieb 

Damit das Flugzeug genügend Geschwindigkeit zum Fliegen hat braucht es einen Antrieb 

wie zum Beispiel Düsen- oder Propellertriebwerke. 

2.1.3 Auftrieb 

Die wichtigste Kraft für ein Flugzeug ist die Auftriebskraft. Sie ist gleichzeitig auch die 

komplexeste. Über die genauen Ursachen des Auftriebs streitet man noch heute. Noch 

immer gibt es Lehrbücher, welche falsche Theorien aufstellen. Hier vorgestellt sind drei 

durchaus plausible, aber falsche Theorien.[2] 


Falsche Theorie : Steine flitschen 

Kapitel 2. Physikalische Grundlagen 

Eine falsche Theorie namens Skipping Stone (auf deutsch Steine flitschen oder “schifere”) 

besagt, dass die Luftteilchen gegen die Unterseite des Flugzeugflügels prallen und 

nach dem dritten Gesetz von Newton den Flügel nach oben stossen. Siehe Abbildung 

2.1. Der Schwachpunkt an dieser Theorie ist, dass die Oberseite des Flügels nicht berücksichtigt 

wird. Nehmen wir an, wir haben zwei Flügel mit identischer Unterseite, aber 

sehr verschiedener Oberseite, so stimmen die experimentell bestimmten Auftriebswerte 

bei Weitem nicht überein. 

Falsche Theorie : Venturi-Flügel 

Abbildung 2.1: Skipping Stones Theory 

Die Venturi-Theorie besagt, dass aufgrund der höheren Geschwindigkeit oberhalb des 

Flügels ein Unterdruck entsteht. Abbildung 2.2 verbildlicht, dass die Oberseite des Flügels 

einer Venturi-Düse ähnelt. Aber sie verhält sich offensichtlich experimentell nicht 

wie gewünscht. Zum Beispiel erklärt die Theorie nicht, wieso flache Flügel, wie zum Beispiel 

bei einem Papierflieger, trotzdem Auftrieb erzeugen. Die untere Flügelseite wird 

komplett vernachlässgt. Ausserdem gibt es keine Phantom-Oberfläche, die die andere 

Seite der Venturi-Düse darstellt. Bei der Venturi-Düse ist die Geschwindigkeit bei der 

blauen Fläche überall gleich. Beim Flügel nimmt sie jedoch, je weiter man sich von der 

Flügeloberfläche entfernt, ab. 

Falsche Theorie : Längerer Weg 

Abbildung 2.2: Venturi Theory 

Diese Theorie ist am weitesten verbreitet. Man nennt sie in Englisch Longer-Path- oder 

Equal-Transit-Time-Theory. Der Flügel ist so geformt, das die Flügeloberseite eine grös- 



sere Fläche besitzt. Diese Theorie schliesst daraus, dass die Luftteilchen, die an der 

Oberseite des Flügels vorbei fliessen, schneller sein müssen, als jene an der Unterseite. 

Weiter geht die Theorie davon aus, dass die oberen und unteren Teilchen nach dem Flügel 

wieder zusammentreffen. Abbildung 2.3 veranschaulicht die Situation. Zwei Argumente 

gegen diese Theorie sind: Auch symmetrische oder flache Flügelprofile (Papierflieger) 

erzeugen Auftrieb. Die Annahme, dass sich die Teilchen am Ende wieder treffen, beruht 

auf keinem physikalischem Gesetz und wurde auch experimentell widerlegt. 

Abbildung 2.3: Longer Path 

Richtige Theorie : Luft wird umgelenkt 

Die als heute richtig angesehene Theorie besagt, das die Luftmassen durch die Tragfläche 

umgelenkt werden und der Flügel dadurch Auftrieb gewinnt. Der Körper ist von Gas 

umgeben, gleitet an seiner Form entlang und wird nach unten gestossen. Zu bemerken 

ist, dass Ober- und Unterseite am Auftrieb gleichermassen beteiligt sind. 

Strömungsabriss 

Abbildung 2.4: Turning Fluid 

Der folgende aerodynamische Effekt wurde zusätzlich in das physikalische Modell eingebaut, 

da er in der Realität einen grossen Einfluss auf das Flugverhalten ausübt: Siehe 

Abbildung 2.5. Erhöht man den Anstellwinkel einer Tragfläche bezüglich der Anströmungsrichtung, 

so erhöht sich erwartungsgemäss auch der Auftrieb. Der Auftrieb erreicht 

sein Maximum, sobald die Strömung abreisst (eng. stall). Der Maximalwinkel variiert je 

nach Flügelform. 

2.1.4 Luftwiderstand 

Der Gesamtwiderstand eines Flügels berechnet sich aus dem Restwiderstand und dem 

induzierten Widerstand. Der induzierte Widerstand wird von Wirbeln hervorgerufen, die 

hinter einem auftriebserzeugenden Körper entstehen. Der Restwiderstand hängt weniger 

mit der Auftriebserzeugung zusammen als mit der Form und Beschaffenheit des Körpers. 


Restwiderstand 


Abbildung 2.5: Strömungsabriss / Stall 

Eine Komponente des Restwiderstandes ist der Formwiderstand (Abb. 2.6). Jeder Körper 

erzeugt aufgrund seiner Gestalt bzw. Druckverteilung einen gewissen Formwiderstand. 

Der Druck ist im Ablösungsgebiet (blau) geringer als im Staupunkt (rot). 

Abbildung 2.6: Formwiderstand 

Die zweite Komponente nennt man Reibungswiderstand. Er entsteht, wenn ein Körper 

durch ein Fluid gezogen wird (Abb. 2.7). Reibungseffekte spielen sich sehr nahe 

an der Körperoberfläche ab. Man bezeichnet diese Schicht auch als Grenzschicht. Die 

schwarzen Pfeile bezeichnen die Geschwindigkeit der Luftpartikel. 

Abbildung 2.7: Reibungswiderstand 


Induzierter Widerstand 


Auftriebserzeugende Körper besitzen einen Unterdruck auf ihrer Oberseite und einen 

Überdruck auf ihrer Unterseite (Abb. 2.8). An den Flügelenden stossen die unterschiedlichen 

Druckgebiete zusammen. Luftmassen strömen von der Unterseite nach oben um 

den Druckunterschied auszugleichen. Dies erzeugt gegenläufige Wirbel an beiden Enden 

des Flügels. Die stetige Erzeugung dieser Wirbel entzieht dem Flugzeug Bewegungsenergie 

und wird induzierter Widerstand genannt. Dieser Effekt hat einen grossen Einfluss 

auf den Gesamtwiderstand. 

2.2 Trägheitsmoment 

Abbildung 2.8: Induzierter Widerstand 

Rotierende Gegenstände besitzen ein Trägheitsmoment. Es gibt an, wie leicht sich die 

Rotationsbewegung des Körpers ändern lässt. Je nach Drehachse ist dieser Wert verschieden. 

Verdeutlichen sie sich folgendes Beispiel: Wir halten eine lange Stange aus Metall in 

der Hand. Erfahrungsgemäss kann man ihn ganz leicht um seine Längsachse drehen. Um 

ihn aber um eine abstehende Achse (siehe Abb. 2.9) zu drehen braucht es mehr Kraft. 

Das Trägheitsmoment beinhaltet die ganze Geometrie des Körpers. Verändert sich die 

Drehachse oder die Geometrie des Körpers, so ändert sich auch das Trägheitsmoment.[9] 

2.3 Starrer Körper 

Da das Flugzeug im Idealfall ein starrer Körper ist, sich also nicht verformt, besitzt 

es sechs Freiheitsgrade. Dies sind drei Translationsfreiheitsgrade und drei Rotationsfreiheitsgrade. 

Das Flugzeug kann man also durch Position und Orientierung eindeutig 

dargestellt werden. 



Abbildung 2.9: Unterschiedliche Trägheit bei unterschiedlicher Rotationachse 

2.3.1 Position 

Abbildung 2.10: Welt- und Flugzeugkoordinatensystem 

Zur Positionsbestimmung wird die Welt in ein dreidimensionales Koordinatensystem 

eingeteilt, auch globales oder erdfestes Koordinatensystem genannt (Abb. 2.10). Zusätzlich 

besitzt das Flugzeug ein eigenes, auch lokales oder körperfestes Koordinatensystem 

genannt. Die Schubkraft, sowie die auftretenden aerodynamischen Kräfte werden ausschliesslich 

im Flugzeugkoordinatensystem berechnet. Eine Ausnahme bildet die Gravitationskraft. 

Sie zeigt immer in die negative Z’-Richtung und muss daher ins Flugzeugkoordinatensystem 

transformiert werden. Positions- und Orientierungsänderungen werden 

sinngemäss nur im globalen Koordinatensystem abgetragen. p bezeichnet den Ursprung 

des lokalen Koordinatensystems und zugleich den Schwerpunkt des Flugzeugs bezüglich 

des erdfesten Systems. 


2.3.2 Orientierung 


Die Orientierung eines starren Körpers ist durch drei orthogonale Drehachsen vollständig 

beschrieben. Die dazugehörigen Winkel heissen Eulerwinkel. Um vom erdfesten Koordinatensystem 

Z’ ins körperfeste Koordinatensystem Z zu gelangen, muss zuerst eine 

1. Parallelverschiebung um p vorgenommen werden. Das entstandene Koordinatensystem 

besitzt die Achsen x0, y0, z0 (Siehe Abb. 2.11). 

2. Nun drehen wir um die y0 Achse mit dem Winkel ϕy (Ψ), auch bezeichnet als 

Gierwinkel. 

3. Danach wird um die x1 Achse um den Winkel ϕx (Θ) = Nickwinkel gedreht, 

4. und schlussendlich um die z2 Achse um den Winkel ϕz (Φ) = Rollwinkel. 

Die genaue Abbildung in Matrizenform befindet sich auf Seite 19. Die Zeichen Psi Ψ, 

Theta Θ, und Phi Φ in Klammern sind die Variablen, definiert in der Luftfahrtnorm (DIN 

9300). Die Beschreibung in Eulerwinkel wird in der Theorie wegen Ihrer Anschaulichkeit 

oft verwendet. Für die Implementierung ist sie aber ungeeignet. Abschnitt 3.3.3 auf Seite 

21 diskutiert die Situation und präsentiert Lösungsvorschläge. 

Abbildung 2.11: Orientierung 

2.3.3 Bestandteile eines Flugzeugs 

Unser Flugzeug besteht aus Antrieb und Flügel welche Schub, Widerstand und Auftrieb 

generieren. Ich habe mir zum Ziel gesetzt, ein flexibles System zu entwickeln, bei dem 

man viele Flügel und mehrere Antriebe fast beliebig anordnen kann (Abb. 2.12). Damit 

kann man ohne Probleme verschiedene Flugzeugtypen simulieren. Man braucht nur die 

Bestandteile zu modifizieren. Theoretisch wäre das Modell auch in der Lage, Unfall- und 



Abbildung 2.12: Bestandteile eines Flugzeugs 

Zwischenfallsszenarien wie zum Beispiel Triebwerksausfall, Klappenstörung, ungleiche 

Massenverteilung, Instrumentenfehler usw. zu simulieren. 


Kapitel 3 

Mathematische Umsetzung 

Wir sind nun da angekommen, wo es ans Eingemachte geht. Hier werden Schritt für 

Schritt die verwendeten Formeln im Flugsimulator erarbeitet. Ein wenig Grundwissen 

in Vektorgeometrie, Physik und linearen Abbildungen ist erforderlich. Wir beginnen 

zuerst bei der Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen, erarbeiten danach die 

Bewegungsgleichungen starrer Körper mit der Trägheit und setzen uns schlussendlich 

mit der Kräfteberechnung auseinander. 

3.1 Variablendeklaration 

Translation Rotation 

Position p Orientierung/Winkelposition ϕ 

Masse m Trägheitstensor I 

Geschwindigkeit v Rotation/Winkelgeschwindigkeit ω 

Impuls P Drehimpuls L 

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α 

Kraft F Drehmoment M 

Zeitabschnitt ∆t 

Achtung: Der Impuls P ist nicht zu verwechseln mit der Leistung, die auch mit P bezeichnet 

wird, aber in dieser Abhandlung keine Verwendung findet. 

3.2 Koordinatensysteme 

Wie im Abschnitt 2.11 und 2.10 auf Seite 16 angedeutet, bestimmen wir die Orientierung 

mit Hilfe dreier Drehungen um drei orthogonale Drehachsen. Somit ist es uns 

möglich Vektoren zwischen globalem und lokalem Koordinatensystem zu transformieren. 

1. gieren, 2. nicken, 3. rollen. Die Matrizen sind von rechts nach links zu lesen. 

⎛ 

x 

⎜ 

⎝ 

‘ 

y ‘ 

z ‘ 

⎞ ⎡ 

⎤⎡ 

⎤⎡ 

⎤⎛ 

⎞ 

cos(ϕz) −sin(ϕz) 0 cos(ϕx) 0 sin(ϕx) 1 0 0 x 

⎟ ⎢ 

⎥⎢ 

⎥⎢ 

⎥⎜ 

⎟ 

⎠= ⎣sin(ϕz) 

cos(ϕz) 0⎦⎣ 

0 1 0 ⎦⎣ 

0 cos(ϕy) −sin(ϕy) ⎦⎝ 

y⎠ 

0 0 1 −sin(ϕx) 0 cos(ϕx) 0 sin(ϕy) cos(ϕy) z 

(3.1) 


3.3 Bewegungsgleichungen 

Kapitel 3. Mathematische Umsetzung 

Die Gesamtmasse m des Flugzeugs setzt sich zusammen aus den Einzelmassen (m = 

 

mi). Wir definieren einen Schwerpunkt um die Drehbewegung und die lineare Bewegung 

trennen zu können. Damit wir diese direkt herleiten können, setzen wir das 

Massezentrums des Flugzeugkoordinatensystems als Nullpunkt. 

3.3.1 Translation 

⎛ ⎞ 

0 

⎜ ⎟ 

⎝0⎠ 

= 

0 

 

i mi · ri 

m 

Die Translation leiten wir aus der Summe der Kräfte her. 

F = 

n 

Fi 

i=1 

(3.2) 

(3.3) 

Die resultierende Kraft ist proportional zur Beschleunigung des Flugzeugs. 1 Multipliziert 

man die Kraft mit der Zeit, die zwischen zwei Zeitschritten vergangen ist (= ∆t) 

und addiert sie mit dem Impuls Pn, so erhalten wir den neuen Impuls Pn+1: 

 

Pn+1 = Pn + ∆t · F (3.4) 

(3.5) 

Wir wollen aber nicht einfach nur den Impuls P , sondern auch die absolute Position p 

im Raum. Diese erhalten wir durch Umrechnen in Geschwindigkeit und darauffolgender 

numerischen Integration, wobei n der Zeitschritt ist. 

3.3.2 Rotation 

Pn+1 

 

pn+1 = pn + ∆t · 

m 

(3.6) 

Die Berechnung der Orientierung sieht sehr ähnlich aus, besitzt jedoch ein paar zusätzliche 

Zwischenschritte, da nicht mit der Masse sondern mit der Trägheit gearbeitet wird. 

Um das Gesamtdrehmoment auszurechnen, müssen analog zur linearen Bewegung, 

alle Drehmomente addiert werden. 

Drehmoment 

M = 

n 

i=1 

Mi 

(3.7) 

Die Grundgleichung eines Drehmomentes ist das Kreuzprodukt von Angriffspunkt und 

Kraft: M = r × F . Die Abbildung 3.1 versucht die Situation zu verdeutlichen. M steht 

senkrecht zur Ebene Σ(r, F ) und die Länge des Vektors M entspricht der Fläche des 

Rhombus, aufgespannt von r und F . In welche Richtung sich das Drehmoment zeigt, 

kann man sich mit der Rechte-Daumen-Regel verdeutlichen (Abb. 3.2). 



Abbildung 3.1: Drehmoment 

Abbildung 3.2: Rechte Daumen Regel 

Jetzt fehlt uns noch das Trägheitsmoment. Es ist im Abschnitt 3.4 auf Seite 23 

beschrieben. Im Vergleich zu den geradlinigen Bewegungen übernimmt es die Rolle der 

Masse. Sie hilft uns dabei die Beschleunigung eines Drehmomentes zu erhalten. Es gilt: 

Rotation 

M = J · α α = M 

J 

Analog zu Gleichung 3.5 auf Seite 20 kommen wir zum Drehimpuls: 

(3.8) 

 

Ln+1 = Ln + ∆t · M (3.9) 

Nun formen wir die Gleichung so um wie bei der Translation und kommen schlussendlich 

zu dieser Gleichung: 

3.3.3 Robustere Methoden 

Diskussion 

Ln+1 

 

ϕn+1 = ϕn + ∆t · 

J 

(3.10) 

Bei der Rotation sind robustere Methoden zwingend notwendig. [5] Eulerwinkel besitzen 

ein grosses Manko, welches als Gimbal Lock[12] bezeichnet wird. Bei einem Gimbal 

Lock wird eine Drehachse identisch mit einer anderen Drehachse (der Freiheitsgrad wird 

somit um eins kleiner). Das Bild verdeutlicht den Umstand. Rotationsmatrizen sind die- 

1 Theoretisch könnten wir direkt die Beschleunigung a aus F 

m 

berechnen, wir bleiben jedoch in der 

Kraft/Impuls-Form, um diese Herleitung wie die der Rotation zu gestalten. 



Abbildung 3.3: Gimbal Lock 

sem Phänomen zwar nicht unterworfen, jedoch sind sie relativ ungenau. Eine Drehung 

in Eulerwinkelform wird in drei Variablen beschrieben, gleichviel wie die Anzahl Freiheitsgrade. 

Eine Rotationsmatrix benötigt hingegen neun Variablen. Da der Computer 

nicht mit unendlicher Genauigkeit rechnen kann, entstehen Rundungsfehler. Auch wenn 

diese Fehler nur klein sind, summieren sie sich mit der Zeit auf und werden sichtbar. 

Quaternionen 

Eine befriediegende Lösung bieten Quaternionen. Quaternionen ähneln dem Zahlensystem 

der komplexen Zahlen. Man nennt sie auch Hamilton-Zahlen, benannt nach seinem 

Erfinder. In diesem Abschnitt wird nur die Anwendung in Bezug auf Rotationen erklärt. 

q = x0 + x1 · i + x2 · j + x3 · k (3.11) 

Zwei Drehungen repräsentiert durch Quaternionen können durch multiplizieren zu 

einer Drehung umgewandelt werden. 

Rq1 

◦ Rq2 = Rq1·q2 

(3.12) 

Eine Rotation, die den Vektor r in r ′ umwandelt, schreibt sich: 

r ′ = q · r · ¯q (3.13) 

Wobei ¯q die konjugierte Quaternion ist, sie ist gleich der Inverse: 

¯q = x0 − x1 · i − x2 · j − x3 · k = q −1 

(3.14) 

Ein Drehung um die Achse, gegeben durch den normierten Vektor r, um den Winkel 

α kann mit 

q = cos α + r · sin α (3.15) 

beschrieben werden. 

Haben wir einen Drehimpuls L, so muss dieser Vektor normiert werden. Seine halbe 

Länge ist dann gleich dem Drehwinkel. 

r = L 

| L| 

α = | L| 

2 

(3.16) 



3.4 Trägheitstensor und Trägheitsmoment 

Um die Bewegungsgleichungen zu lösen, fehlt uns noch I, das Trägheitsmoment bzw. 

dessen Verallgemeinerung den Trägheitstensor. Zuerst befassen wir uns mit dem Trägheitsmoment. 

Es gelten folgende Grundbeziehungen[9]: 

M = J · α α = M 

J 

(3.17) 

Es gibt allgemeine Formeln für Trägheitsmomente für einfache Körper. Das Trägheitsmoment 

für einen Vollzylinder, der um seine Symmetrieachse rotiert, ist in der 

Gleichung 3.18 beschrieben. Interessant: Der Radius ist dabei im Quadrat. Das heisst, 

ein Zylinder aus Metall hat ein kleineres Trägheitsmoment als ein gleichschwerer Zylinder 

aus Holz, weil beim Holzzylinder aufgrund der Dichte das Volumen und somit sein 

Radius grösser ist. 

J = 1 

m · r2 

(3.18) 

2 

3.4.1 Berechnung des Trägheitsmomentes 

Die Grundgleichung 3.19 wird in Abb. 3.4 verbildlicht. Ein Massenpunkt ist zum Beispiel 

ein Flügel oder ein Antrieb. 

n 

J = 

(3.19) 

i=1 

mi · r 2 i 

Im allgemeinen Fall dreht sich das Flugzeug um die Achse g, siehe Abb. 3.5. Jetzt 

Abbildung 3.4: Trägheitsmoment aus Massepunkten 

müssen wir das Koordinatensystem so drehen, dass wir den Abstand r direkt ablesen 

können. Das erreichen wir mit zwei Rotationen bei Gleichung 3.20 und Abbildung 3.6. 



Abbildung 3.5: Massepunkte und Abstand in der 3. Dimension 

Abbildung 3.6: Rotation damit g auf Y zu liegen kommt. 



Ag = Rx α ◦ Rz β 

(3.20) 

α = arctan( gx 

) (3.21) 

β = arctan( 

gy 

 

g2 x + g2 y 

) (3.22) 

gz 

r ′′ = Ag · r (3.23) 

Daraus folgt für das Trägheitsmoment mit n Massenpunkten. Den Abstand erhalten 

wir, wenn wir nur die x- und z-Koordinate verwenden. 

J = 

n 

i=1 

mi · ( r ′′ 

2 

i 

x + r ′′ 

i 

2 

y 

) (3.24) 

Diese Methode hat den Nachteil, dass bei jedem Zeitabschnitt die ganze Prozedur 

wiederholt werden muss und somit sehr rechenintensiv ist. Der nachfolgend erläuterte 

Trägheitstensor ist eine allgemeine Beschreibung des Trägheitsmomentes für beliebige 

Drehachsen. 

3.4.2 Berechnung des Trägheitstensors 

Die Gleichung für den Trägheitstensor gegeben durch einzelne Massepunkte lautet[10][11]: 

I = 

⎡ 

y 

⎢ 

mi ⎣ 

i 

2 i + z2 i −xiyi −xizi 

−yixi x2 i + z2 i −yizi 

−zixi −ziyi x2 i + y2 ⎤ 

⎥ 

⎦ (3.25) 

i 

Die Werte in der Diagonale bezeichnet man als Hauptträgheitsmomente und die restlichen 

Deviationsmomente. 

Die Komponentenschreibweise lautet: 

Iαβ = Iβα = 

i 

mi(r 2 i δαβ − xiαxiβ) (3.26) 

Hierbei bezeichnet xi1 = xi, xi2 = yi und xi3 = zi. δ ist das Kronecker-Delta. Die indices 

α und β nehmen dabei die Werte 1 bis 3 an, gemäss den drei Raumdimensionen. 

 

1 für α = β 

δαβ = 

(3.27) 

0 sonst 

3.4.3 Volumina und Massepunkte 

Gibt man einem Flugzeugelement (Flügel, Antrieb) einfach ein Gewicht und nimmt 

seinen Ursprung als Massepunkt so lässt sich dadurch das Trägheitsmoment nur ungenügend 

beschreiben. Liegt der Ursprung nämlich im Punkt (0/0/0), so hat diese Masse 

keinen Einfluss auf das Trägheitsmoment. Das Problem liegt darin, dass der Punkt dimensionslos 

ist. Abhilfe schafft man indem man den Körper in unendlich kleine Teilchen 

teilt und für jedes Teilchen das Trägheitsmoment ausrechnet. In der Theorie berechnet 



Abbildung 3.7: Volume 

man das Trägheitsmoment durch Integration über das Flugzeugvolumen. Um dies programmtechnisch 

nachempfinden zu können habe ich behelfsmässig Volumen eingeführt. 

Dabei wird mit den Vektoren a, b, c ein Spat definiert wie in Abbildung 3.7. Dieser wird 

in kleine Spate unterteilt, jedes stellt nun ein Massepunkt dar. 

Ich habe die Implementation folgendermassen gestaltet: Der Körper wird in ein 3dimensionales 

Gitter mit Abstand ∆s unterteilt. Nun normieren wir einzeln die Vektoren 

a, c und c und multiplizieren sie mit ∆s. 

sa = na · ∆s (3.28) 

Die Anzahl Unterteilungen wird durch die Variable ra, rb, rc beschrieben (r für 

resolution). 

ra = |a| 

(3.29) 

∆s 

Ein Massepunkt und seine Punktmasse sind definiert durch die folgende Gleichung, 

wobei u, v und w Indices für ra, rb und rc sind. 

p(u, v, w) = sa · u + sb · v + sc · w (3.30) 

m = 

M 

ra · rb · rc 

(3.31) 

Das Trägheitsmoment mit gegebenem Massepunkt und Punktmasse berechnet sich 

folgendermassen. Wobei natürlich x, y, z die Komponenten von p sind. Ich nenne diese 

Funktion K: 

⎡ 

y 

⎢ 

K(m, p) = m · ⎣ 

2 i + z2 i −xiyi −xizi 

−yixi x2 i + z2 i −yizi 

−zixi −ziyi x2 i + y2 ⎤ 

⎥ 

⎦ (3.32) 

i 

Die endgültige Gleichung hat die Form: 

ra rb rc 

I = 

K(m, p) (3.33) 

u=0 v=0 w=0 


3.5 Berechnung der Kräfte 

3.5.1 Auftrieb und Widerstand 


Betrachten wir die Formel 3.34, wobei FA die Auftriebskraft ist, ρ die Dichte der Luft, 

v die Strömungsgeschwindigkeit, A die Auftriebsfläche und cA der Auftriebskoeffizient. 

Dieser Koeffizient hängt von der Flügelform, dem Anstellwinkel, der Machzahl 2 und der 

Reynoldszahl 3 ab. Der Luftwiderstand berechnet sich gleichermassen, jedoch mit dem 

Widerstandskoeffizient cW . 

FA = 1 

2 · cA · ρ · v 2 · A (3.34) 

FW = 1 

2 · cW · ρ · v 2 · A (3.35) 

Normalerweise bestimmt man die Koeffizienten experimentell im Windkanal. Dabei 

setzt man die Umgebungsvariablen ρ, v, A und misst die Kraft F und setzt alles in die 

folgende Formel ein. 

c = 

2 · F 

ρ · v 2 · A 

3.5.2 Diagramme Auftriebs- und Widerstandskoeffizienten 

Untersucht man einen Flügel, indem man seinen Anstellwinkel verändert, erhält man ein 

Diagramm ähnlich wie Abb. 3.8. Kombiniert man die zwei Komponenten, erhält man ein 

Polardiagramm, auch Lilienthalpolare genannt (Abb. 3.9). Sie sagt viel über die Qualität 

und Einsatzmöglichkeiten eines Flügels aus. 

3.5.3 Berechnung der Koeffizienten 

Ein Flugsimulator muss diese Koeffizienten selbst errechnen. Ein Hauptproblem liegt im 

Umfang der Literatur. Es gibt zahlreiche Konzepte um diese Diagramme zu modellieren. 

Ich stöberte eine Zeit lang in Quelle [8], bis ich auf Seite 105 zur folgenden Formel kam 

(Anstellwinkel α): 

cA = 2π · α (3.36) 

Diese Formel beschreibt eine flache Platte in einem nichtkompressiblen Fluid ohne 

Widerstand. Sie reicht für einen Flugsimulator nicht aus. Da ich aber die anderen 

Konzepte nicht begriffen habe und ich zu diesem Zeitpunkt niemanden, der mit diesem 

Thema vertraut war, finden konnte, entwickelte ich mein eigenes Modell. Für den 

Widerstand nahm ich vorerst einmal folgendes an: 

cW = |2π · α| (3.37) 

2 Verhältnis der Reisegeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit. 

3 Massgebend für Grenzschichteinflüsse (Oberflächenreibung, Strömungsabriss) 



Abbildung 3.8: Auftrieb- und Widerstandsdiagramm 

3.5.4 Definition eines Flügels 

Abbildung 3.9: Polardiagramm 

Ich brauchte eine genügend genaue Definition eines Flügels um meine Berechnungen 

durchführen zu können. Gleichzeitig muss diese Definition genügend flexibel sein, um 

zum Beispiel V-förmige oder senkrecht stehende Flügel zu simulieren. Siehe Abbildung 

3.10: Wobei o der Ursprungsvektor, c der Sehnenvektor, s der Spannweitenvektor und 



d die Dicke des Flügels bezeichnet. Zusätzlich ist die Geschwindigkeit v eingezeichnet. 

Um den Restwiderstand einbeziehen zu können wurde die Profildicke d eingeführt. Um 

das Flugzeug zu steuern, dreht man den Vektor c um den Winkel β. Im Abschnitt 3.5.5 

wird das näher besprochen. 

Abbildung 3.10: Definition eines Flügel 

3.5.5 Aufbereitung der Eingabedaten 

Kommen wir nun Schrittweise zum Ziel, alle benötigten Parameter für die Auftriebsformel 

und die Widerstandsformel aus den vorhandenen Daten zu erhalten. Wir benötigen 

den Anstellwinkel α, die Anflugsgeschwindigkeit |v|) und die Auftriebsfläche AA 

und die Luftwiderstandsfläche AW . Für die Dichte der Luft ρ nehmen wir den Wert 

unter Normalbedingungen 1, 293kg/m 3 an. Der Auftrieb wirkt senkrecht zum Luftstrom 

(und nicht zum Flügel) und der Widerstand entgegen dem Luftstrom, daher müssen die 

beiden Richtungsvektoren a und w auch noch berechnet werden. An diesen wird dann 

die Auftriebs- bzw. Widerstandskraft abgetragen. Abbildung 3.11 zeigt die Situation. 

Abbildung 3.12 zeigt eine Detailansicht, sie wird im Abschnitt 3.5.5 näher betrachtet. 

Berechnung des Anstellwinkels 

Der Anstellwinkel lässt sich relativ einfach durch Berechnung des Winkels zwischen der 

Geraden v und der Ebene Σ(s,c) mit der Normale n = s × c im Raum berechnen. 

sin α = 

v · n 

|v| · |n| 

(3.38) 

Um das Flugzeug zu steuern wird der Vektor c um β an s gedreht. Wir definieren 

c0 als Anfangszustand. Die Gleichung 3.39 bezeichnet eine Drehung um eine allgemeine 



Abbildung 3.11: Anstellwinkel und Kraftrichtungsvektoren 

Gerade 4 . Wobei δ1 und δ2 vom Vektor s stammen: 

As β = Rz −δ1 ◦ Rx −δ1 ◦ Rz β ◦ Rx δ2 ◦ Rz δ1 

(3.39) 

δ1 = arctan( sx 

) (3.40) 

δ2 = arctan( 

c = As β · c0 

Zusammengefasst heisst das: 

sy 

 

s2 x + s2 y 

) (3.41) 

sz 

(3.42) 

n = s × (As β · c0) (3.43) 

sin(α) = 

v · n 

|v| · |n| 

Berechnung des Auftriebskraftrichtungsvektors 

(3.44) 

Es gibt zwei Lagebeziehungen aus den beiden wir den Vektor gewinnen können. Zum 

einen muss der a senkrecht auf v stehen, das Skalarprodukt muss also 0 ergeben. Gleichung 

3.45. Die zweite Bedingung fordert, dass a auf der Ebene Ψ(v, n) liegt. Die Abbildung 

3.12 zeigt, dass sich die zweite Bedingung nur mit einem Parameter t austatten 

lässt, siehe Gleichung 3.46. Kombinieren wir die beiden Gleichungen, erhalten wir 3.47, 

das lässt sich ausmultiplizieren zu 3.48. Und da das Skalarprodukt von v mit sich selber 

sein Quadrat ergibt, sieht das Ganze nachher wie Gl. 3.49 aus. Setzen wir t in die 

4 In der Rechts-nach-Links Schreibweise 



Abbildung 3.12: Auftriebsrichtungsvektor 

Gleichung 3.46 ein, erhalten wir nun die Formel 5 3.50 

a · v = 0 (3.45) 

a = n + t · v (3.46) 

(n + t · v) · v = 0 (3.47) 

n · v + t · v · v = 0 (3.48) 

a = n − 

n · v 

t = − 

|v| 2 

Berechnung des Widerstandskraftrichtungsvektors 

Der Geschwindigkeitsvektor wird einfach umgekehrt. 

Berechnung der Widerstandsfläche 

(3.49) 

n · v 

· v (3.50) 

|v| 2 

w = −v (3.51) 

Die Widerstandsfläche wird berechnet indem man den Flügel auf die Ebene Θ mit deren 

Normalen (Geschwindigkeitsvektor des Flugzeugs) v projiziert und dann die Flächen ausrechnet 

und zusammenzählt 6 . Die Abbildung 3.13 zeigt nur die Projektion der hinteren 

5 

Auf die Länge des Auftriebsrichtungsvektors muss man keine Rücksicht nehmen, da es nur die Richtung 

angibt. 

6 

Eigentlich geht diese Ebene durch 0, aus Sorge zur Übersichtlichkeit wurde sie ein bisschen versetzt. 



Flügelfläche 7 und soll schrittweise erklärt werden. Die beiden anderen Flächen werden 

analog berechnet. Übrigens wird d somit definiert als Multiplikation der Dicke mit dem 

normierten Normalenvektor des Flügels d = d · n. 

Abbildung 3.13: Widerstandsfläche 

Um den Abstand d zu irgendeinem Vektor r zur Ebene zu berechnen benützen wir die 

Hessesche Normalform 3.52. Dazu normieren wir den Vektor v zu v0. Zum projizierten 

Vektor r ′ von r gelangen wir durch Gleichung 3.53 bzw. 3.54. Diese Methode wenden 

wir jetzt auf s,c und d an. Das d in der Gleichung ist die Komponente von in Richtung 

r · vn = d (3.52) 

r ′ = r − vn · d (3.53) 

r ′ = r − vn · (r · vn) (3.54) 

Haben wir s ′ , c ′ und d ′ , so können wir mit Kreuzprodukten die Widerstandsfläche, 

bzw. Stirnfläche, berechnen. 

Berechnung der Auftriebsfläche 

AW = | s ′ × c ′ | + | s ′ × d ′ | + | d ′ × c ′ | (3.55) 

Die Berechnung der Auftriebsfläche ist gleich wie die der Widerstandsfläche ausser, dass 

v nicht mehr die Normale ist, sondern auf der Ebene liegt. Mit nur einem Vektor ist 

die Ebene Θ aber noch nicht definiert. Wir brauchen einen zweiten Ebenenvektor oder 

mindestens einen Punkt auf der Ebene. Theoretisch gibt’s hier viele Möglichkeiten, man 

kann auch einen Punkt (0, 0, y0) nehmen, wobei y0 = vy. Das würde aber das Modell 

einschränken, da Σ dann nicht mehr frei positionierbar wäre. Beginnen wir mit Abbildung 

3.14. Dabei wird die Ebene Σ, definiert durch n, mit der Ebene Ψ, definiert durch v, 

geschnitten. Daraus resultiert k. Den Vektor m erhalten wir durch das Kreuzprodukt 

von v × k, das gibt unsere Projektionsebene Θ. Die Gleichungen 3.56, 3.57 fassen alles 

7 Ob jetzt hinten oder vorne spielt keine Rolle, die Fläche bleibt gleich. 



zusammen. Abbildung 3.15 hilft vielleicht die Situation zu verstehen und Abbildung 3.16 

zeigt schlussendlich die Projektion. 

k = Σ ∩ Ψ (3.56) 

m = k × v (3.57) 

Abbildung 3.14: Schnitt Σ mit Ψ gibt k 

Abbildung 3.15: Kreuzprodukt v × k gibt m 

Jetzt nehmen wir die Hessesche Normalform 3.54 zur Hilfe und berechnen schlussendlich 

die projizierte Fläche. 

r ′ = r − mn · (r · mn) (3.58) 

AA = | s ′ × c ′ | + | s ′ × d ′ | + | d ′ × c ′ | (3.59) 


3.5.6 Strömungsabriss 


Abbildung 3.16: Die Projektion 

Sobald der Angriffswinkel grösser als ein bestimmter Wert ist, wird ein verkleinernder 

Faktor hinzugerechnet. Dabei erfährt die Auftriebspolare einen Knick und sinkt dann bei 

weiter zunehmendem Anstellwinkel linear ab. Das Flussdiagramm 3.17 und das Polardiagramm 

3.18 erläutern den kleinen Algorithmus. Dabei ist α der Angriffswinkel, εu das 

obere und εl das untere Extrema. fu und fl bezeichnen die Stärke des Auftriebseinbruchs. 

3.6 Antrieb 

3.6.1 Definition eines Antriebs 

Der Antrieb wird definiert durch den Ursprung o und die Richtung p, siehe Abb. 3.19. 

Die Länge dieses Vektors gibt an, mit welcher Kraft der Antrieb am Flugzeug zieht. 

3.7 Gravitation 

Die Gewichtskraft zieht alle Gegenstände nach “unten”. Dies gilt natürlich nur im erdfesten 

Koordinatensystem, darum muss sie noch ins körperfeste Koordinatensystem umgerechnet 

werden. 

FG = m · g (3.60) 

Mϕ bezeichnet die Drehmatrix des Flugzeugs um vom lokalen ins globale Koordinatensystem 

umzurechnen. Die Gewichtskraft muss aber vom globalem ins lokale transformiert 

werden. Daher nehmen wir die Inverse M −1 

ϕ . 

FG = m · M −1 

ϕ · g (3.61) 



Abbildung 3.17: Flussdiagramm Strömungsabriss 

Abbildung 3.18: Auftriebspolare mit Strömungsabriss 



Abbildung 3.19: Defintion eines Antriebes 


Kapitel 4 

Umsetzung in eine Software 

Ein Computerspiel ist wie jedes grössere Programm auch, ein komplexes Gebilde von 

Datenmanipulation und Programmverlauf. Es ist nicht möglich, alle Facetten des Programms 

zu erklären, es macht indes auch keinen Sinn in jedes Detail zu gehen. Möchte 

der Leser sich genauer als hier beschrieben mit dem Programm auseinandersetzen, so sei 

ihm die beiliegende Code-Dokumentation und der Programmcode ans Herz gelegt. 

4.1 Fundament 

4.1.1 Libraries 

Aufgrund der enormen Komplexität und Facetten, die ein jedes Spiel mit sich bringt, 

werde ich einige Module nicht selber programmieren, sondern sogenannte „Bibliotheken” 

zur Hilfe nehmen. Auch kommerzielle Spiele sind auf solche Bibliotheken angewiesen und 

zahlen mehrere zehntausend Dollar für eine Nutzungslizenz. Heutzutage gibt es jedoch 

einige hervorragende (auch von Game Studios genutzte) Bibliotheken, die frei und gratis 

erhältlich sind. Solche Software nennt man Open-Source Software 1 . 

• OGRE Object-Oriented Graphics Rendering Engine ist eine in C++ geschriebene 

Open-Source Engine für die Grafikdarstellung. Sie bietet eine grosse intuitive Umgebung 

zur Entwicklung von Software mit Hardwarebeschleunigter 3D-Darstellung 

mittels OpenGL oder DirectX. Sie ist auch erweiterbar durch Plugins wie Terrain, 

Atmosphäre, Physik und Audio und unter anderem lauffähig auf Linux, Windows 

und Mac. http://www.ogre3d.org/ 

• SDL Simple Directmedia Layer ist eine Multimedia-Abstraktionsschicht geschrieben 

in C um plattformunabhängigen Code zu schreiben. Ich verwende sie als Eingabequelle. 

http://www.libsdl.org/ 

• LUA Scripting Language benütze ich als Interfacesprache um Simulationen dynamisch 

zur Laufzeit zu manipulieren (Siehe Update-Skript 4.3.3 auf Seite 43) 

http://www.lua.org/ 

1 Weitere Informationen über die ganze Open Source Thematik finden Sie auf http://de.wikipedia. 

org/wiki/Open_Source 


4.1.2 Tools 

Kapitel 4. Umsetzung in eine Software 

Hier zusätzlich eine kleine Auflistung von Programmen, die mir bei meiner Arbeit behilfilch 

waren. Ich vermeide eine grössere Zusammenfassung zusammenzustellen, da die 

Programme auf ihrer Webseite sehr gut vorgestellt werden. 

• Blender 3D Modeller ist eine Open-Source 3D-Grafiksoftware. Man kann mit ihr 

dreidimensionale Körper modellieren, texturieren, animieren und rendern. Es ist 

sehr ausgereift und für meine Zwecke mehr als ausreichend. http://www.blender. 

org/ 

• Inkscape Vector Graphics Editor ist ein Editor für Scalable Vector Graphics (SVGs). 

Mit diesem Programm erstellte ich alle Grafiken die sie in dieser Dokumentation 

finden. http://www.inkscape.org/ 

• Doxygen ist ein Source-Code Dokumentationssystem. Sie finden die kompilierte 

Code-Dokumentation auf der beiliegenden CD. http://www.doxygen.org/ 

• Code::Blocks ist eine Entwicklungsumgebung für C/C++ Anwendungen und macht 

das Entwicklerleben ein klein wenig leichter. http://www.codeblocks.org/ 

4.2 Übersicht 

Abbildung 4.1: Überblick über den Simulationsprozess 

Vor dem Start werden alle Module mit Daten gefüttert und initialisiert. Die Rhomboide 

stellen die veränderbaren Daten dar. — Falls sich dieses Projekt in Zukunft weiterentwickelt, 

könnte ich mir vorstellen, dass man eines Tages weitere Flugzeuge in Form 



von Paketen aus dem Internet nachinstallieren kann. — Die Rechtecke sind Programmmodule. 

Im Verlauf des Kapitels werden wir uns nun näher mit den einzelnen Modulen 

befassen. Das Input Module (gelb) stellt die Eingabegeräte wie Tastatur, Joystick oder 

Maus als allgemeine Schnittstelle zur Verfügung. Siehe Abschnitt 4.3.1 auf Seite 39. Im 

Physik Module (violett) finden nicht nur alle Berechnungen statt. Es widerspiegelt auch 

den gesamten Inhalt des Spieles. Das Logik Modul (blau) ist für den höheren Zusammenhang 

zuständig. Dieses führt im Simulationsprozess das Zepter. Schlussendlich wird mit 

Hilfe des Grafik Modules der Spielinhalt auf dem Bildschirm dargestellt. Zur Vollständigkeit 

ist noch das Recorder Module eingetragen, es zeichnet alle Vorgänge auf, bzw. 

spielt diese wieder ab. Mit diesem Module ist es möglich eine Session abzuspeichern oder 

was auch theoretisch möglich wäre: Ein Multiplayerspiel mit mehreren Piloten, die an 

verschiedenen Computern sitzen. Dieses Modul ist fakultativ, d.h. es wird nicht zwingend 

benötigt. 

Nachdem alle Komponenten mit den Daten initialisiert wurden startet die Simulation. 

Der Eingabemanager liefert Informationen in der Form “X-Achse des Joysticks steht 

bei 0.6”. Je nach Flugzeugmodell wandelt das Physikmodul diese Information in “Seitenruder 

steht bei 8 ◦ ” um. Jetzt wird von jedem Flügel und Antrieb die resultierende 

Kraft ausgerechnet. Die Kräfte werden dann Kombiniert und unter Berücksichtigung der 

Trägheit in Translation und Rotation umgewandelt. Das Updatescript nimmt nun Informationen 

der Physikengine (Rudereinstellung, Position, Orientierung) um bestimmte 

Elemente des Flugzeugs zu transformieren: Die Klappe des Seitenruders wird somit um 

8 ◦ gedreht. Die Instrumente im Cockpit werden auf dieselbe Weise aktualisiert. Der 

Ablauf der Simulation wird mit dem Logik Modul gesteuert. Es beinhaltet Routinen 

um zum Beispiel auf einen Flugzeugcrash zu reagieren (z.B. Rückkehr zum Hauptmenü). 

Dieses Modul befindet sich in der beiliegenden Version des Simulators erst noch im 

Anfangsstadium. 

4.3 Module 

In Abbildung 4.2 auf Seite 40 sind die Vererbung und Verweise der Klassen dargestellt, 

die mit der Simulation direkt zusammenhängen. Das Schema ist nicht abgeschlossen 

und es ginge eigentlich sehr viel weiter. Ich habe es vereinfacht, um den Rahmen meiner 

Arbeit nicht zu sprengen, aber vor allem um den Leser nicht unnötig zu ermüden. Es 

vermittelt trotzdem die nötigen Informationen um meine Implementierung zu erklären. 

Der Eingabemanager ist dazu da, die Eingabegeräte wie zum Beispiel die Tastatur oder 

den Joystick zu abstrahieren. Dieser Schritt ist nötig, da im Allgemeinen die Achsen- und 

Knopfbelegung der Joysticks je nach Hersteller variieren. Im physikalischen Teil werden 

die Komponenten und deren Eigenschaften definiert. Im grafischen Teil werden die Materialien 

und Objekte in die 3D-Engine geladen. Sie ist dafür verantwortlich die Spielwelt 

darzustellen. Danach werden die Verbindungen zwischen den Modulen hergestellt. 

4.3.1 Input Module 

Das Bild 4.3 auf Seite 41 versucht die Struktur der Input Engine zu erklären. Leider sind 

die Joysticks je nach Hersteller verschieden, und benötigen unterschiedliche Konfiguration. 

Um dem Spieler trotzdem grösstmögliche Anpassung zu gewährleisten entwickelte 



Abbildung 4.2: Vererbung und Verweise der Simulation 

ich dieses Konzept. Es ermöglicht alle Eingabegeräte einheitlich abzufragen. Ein Input 

Channel ist grundsätzlich eine Zahl mit Wertebereich von 0 bis 1. In der Grafik verwenden 

wir als Beispiel die Joystick Klasse. Aber auch andere Eingabegeräte, wie zum 

Beispiel Tastatur, Maus, Game-Pad oder Lenkrad sind möglich. Die Joystick-Klasse implementiert 

also ein Eingabegerät. Es ist dafür zuständig, die Joystick Achsen, Button, 

Hats an jeweilige Input Channel anzuschliessen. Sie versucht eine Input Config zu finden, 

die auf den Joystick passt und wendet diese an. Die Input Config wird für jeden 

Joystick in sogenannte XML-Dateien definiert. Das Format wird im nächsten Abschnitt 

vorgestellt. Diese Zuweisung kann natürlich vom Benutzer eingestellt werden. In der 

vorliegenden Programmversion geschieht das durch direktes editieren der Konfigurationsdateien. 

Eine benutzerfreundliche Oberfläche wäre wünschenswert, passte aber nicht 

mehr in den Terminplan. Hat man ein InputDevice eingerichtet, kann man nun Channel 

Slots des InputListeners zuweisen. Ein Device Slot kann dabei mehrere Listener Slots bedienen. 

Umgekehrt kann ein Listener Slot bei verschiedenen Device Slots registriert sein. 

Dies ermöglicht zum Beispiel, dass man einzelne Funktionen über verschiedene Tasten 

der Tastatur bzw. Knöpfe des Joysticks angesteuert werden kann. Hier folgt ein Beispiel 

einer Input Config: 

Input-Konfiguration 

 

 

 



Abbildung 4.3: Schema des Eingabe Modules 

 

 

 

 

 

 

 

Mit assign werden Achsen oder Buttons zugewiesen. Und mit combine werden zwei 

Buttons zu einem Channel zusammengenommen. Dies ermöglicht das Steuern per Tastatur 

oder Joystick Knöpfen. 

4.3.2 Physics Module 

Das Physikmodul beinhaltet neben dem Herzstück RigidBody auch Kräfte und Volumina. 

Erstere dienen zur Berechnung der Einzelkräfte und Letztere zur Berechnung des 

Trägheitsmomentes. Die detaillierte Beschreibung zu diesem Modul finden Sie im vorherigen 

Kapitel 2.3 ab Seite 15. 

PlaneModel-Konfiguration 

Ein Auszug einer PlaneModel-Konfiguration: 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.3.3 Graphics Module 

Das Graphics Module besitzt zwei Konfigurationen, eine ist dafür zuständig, die 3D- 

Objekte zu laden und im Raum zu positionieren und die andere führt Manipulationen 

aufgrund von Eingabewerten und physikalisch berechneten Werten aus. 

DotScene-Konfiguration 

Der folgende Auszug einer solchen Konfiguration zeigt eine DotScene-Datei. Das Format 

wurde nicht von mir entwickelt, sondern stammt aus der Community um Ogre3D. Für 

3D-Modelling Software wie blender gibt passende Exporter-Plugins. 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Weitere Informationen über das DotScene-Format gibt es unter http://www.ogre3d.org/wiki/ 

index.php/DotScene 



 

 

 

 

 

 

 

 

< f i l e name=" Scene . m a t e r i a l " /> 

 

 

 

 

 

 

 

Update-Skript 

Das Update-Script ist in der Sprache Lua verfasst. Der Simulator stellt dem Skript 

Funktionen bereit, um auf 3D-Objekte (über die PlaneElement) und simulationsrelevante 

Daten zuzugreifen. Mit CairoCanvas besteht zudem die Möglichkeit dynamisch auf eine 

Textur zu zeichnen. Hier ein Auszug eines solchen Skripts, das jedoch stark gekürzt 

ist. In diesem Beispiel wird das 3D-Objekt rudder (Seitenruder) um den Anstellwinkel 

rotiert. 

rudder = {} 

rudder . e = plane:getPlaneElement ( " rudder " ) 

rudder . f = castForceWing ( ( plane:getForce ( " rudder " ) ) ) 

function update ( timeSinceLastFrame ) 

rudder . e:resetRotation ( ) 

rudder . f:yaw ( rudder . f:getAngleDegree ( ) ) 

end 

4.3.4 Recorder Module 

Mit der Zeit wollte ich meine Flugkünste aus anderer Perspektive sehen und beschloss 

das Programm um eine Aufnahmefunktion zu erweitern. Der grundlegende Gedanke ist, 

dass ich alle relevanten Informationen der Simulation abspeichere. Mein Anliegen war, 

dass möglichst wenig Daten gesammelt und abgespielt werden mussten, da ich im Sinn 

hatte, dieses Modul auch in Verbindung mit einer Multiplayerspielfunktion zu verwenden. 

In meiner Implementierung werden zunächst nur InputChannels gesammelt und beim 

Abspielen in das Modell injiziiert. Ich nenne diese Datensätze ein Update Record, da sie 

nicht den Status widerspiegeln, sondern nur seine Manipulation. Es ergab sich nun aber 

ein Problem: Die Wiedergabe auf einem anderen PC driftete ab. Das heisst, dass sie mit 

der Aufnahme nicht mehr übereinstimmt. Dies kommt daher, dass der Computer nicht 

mit der exakt gleichen Genauigkeit rechnen konnte. Selbst auf demselben PC liessen 

sich drifts feststellen, je nach Hintergrundlast in der sich der PC dabei befand. Darum 



wurde die Implementierung erweitert, so dass auch alle Statusinformationen (Position, 

Orientierung) gesammelt werden (Complete Records). Diese werden aber nur in gewissen 

Zeitabständen (z.B. jede Sekunde) gemacht. Beim Abspielen wird anfangs ein Status 

Record injiziiert und danach der weitere Verlauf mit Hilfe der Update Records simuliert 

bis wieder ein Status Record kommt. Damit kann Drifts wirksam vorgebeugt werden. 

Würde man nun komplett auf Update Records verzichten, so gäbe es zwar auch keine 

Drifts, aber die Datenmenge wäre viel, viel grösser und somit untauglich für Multiplayer 

über Internet. 


Kapitel 5 

Ergebnisse zur 

Koeffizientenberechnung 

In diesem Abschnitt möchte ich dem Leser noch ein generiertes Polardiagramm präsentieren. 

Die Ermittlung der Werte geschieht folgendermassen: Das Flugzeug befindet 

sich sozusagen in einem Windkanal. Nun wird die Strömungsrichtung auf der YZ-Ebene 

gedreht (bzw. alle Anstellwinkel α eingestellt) und dabei die Koeffizienten eines Flügels 

mit Hilfe der Gleichung 3.5.1 extrahiert. In Grafik 5.1 bezeichnet rot den Widerstandskoeffizienten 

und blau den Auftriebskoeffizienten. Man sieht auf den ersten Blick, dass der 

Strömungsabriss nicht sehr realistisch ist. Hier besteht sicher noch Verbesserungspotential. 

Ein Schwachpunkt des Modells ist, dass diese Diagramme bei allen Flügeln gleich 

aussehen. Das liegt daran, dass die Koeffizientenrechnung auf der Gleichung 3.36 auf 

Seite 27 basiert und die Geometrie des Flügels nur mit seinen Ausmassen definiert ist. 

In gewissem Sinne ist dieses Resultat bedrückend. Der ganze Aufwand, der in Abschnitt 

3.5.3 auf Seite 27 gemacht wurde ist im Grunde genommen für die Katz’. Glücklicherweise 

heisst das nun nicht, dass sich alle Flugzeuge im Spiel gleich fliegen. Es ist trotzdem 

möglich unterschiedliche Flugzeuge zu simulieren, indem man die Flügel, Antriebe und 

Volumina anders platziert, dimensioniert oder zusätzlich hinzufügt. Somit kann man sagen, 

dass dies das Simulationserlebnis nicht zu sehr trübt und ich vermute nur geübten 

Fliegern auffallen wird, wenn überhaupt. 


Kapitel 5. Ergebnisse zur Koeffizientenberechnung 

Abbildung 5.1: Auftrieb- und Widerstandskoeffizienten 

Abbildung 5.2: Polardiagramm 


Kapitel 6 

Ausblick 

So gerne ich auch an diesem Projekt arbeitete, konnte ich aus Zeitgründen nicht alle 

geplanten Funktionen implementieren. 

• Detaillierte Flugzeugmodelle (Instrumente im Cockpit, Fahrwerk) 

• Ansprechende Menüführung, Konfiguration 

• Multiplayer über Netzwerk & Internet 

• Spiellogik (Geschichte, Missionen), Spielelemente (Raketenflugkörper, Bodeneinheiten) 

• Bessere Grafik (3D-Wolken, Regen/Schnee) 

Ich überlege zurzeit, ob ich dieses Projekt als Teamprojekt weiterführen soll. Vielleicht 

finden sich ein paar Menschen, welche Lust haben, einen Teil ihrer Freizeit in die Weiterentwicklung 

des Spiels zu stecken. 


Kapitel 7 

Reflexion 

Die grösste Hürde am Erarbeiten der gesamten Arbeit war nicht das Programmieren, 

oder die Dokumentation. Das Schwierigste war, geeignete Lektüre zu finden. Das Spektrum 

ging von Fluiddynamik mit kompressiblen, viskosiven Flüssigkeiten/Gasen bis zu 

einfachen Aufgaben im Physikunterricht. Entweder viel zu rechenintensiv, aufwändig und 

unnötig genau oder viel zu einfach, um damit allgemeine Flugsituationen in Echtzeit zu 

simulieren. Aus diesem Grund begann ich aus all den Quellen und etwas Kreativität 

etwas zusammenzubasteln. Als ich dann mein Projekt im Oktober 2009 bei Schweizer 

Jugend forscht angemeldet habe, wurde mir ein Experte namens Dr. Jürg Müller zugeteilt, 

welcher mir meine Fragen besser als jedes Buch beantworten konnte. 

Man kann hier natürlich noch nicht von einem fertigen Softwareprodukt sprechen. 

Dafür fehlen die Spielinhalte wie zum Beispiel Grafiken, Sounds und eine spannende 

Geschichte. Das alles wäre aber in der kurzen Zeit von knapp einem Jahr auch nicht erreichbar. 

An einem Softwareprojekt könnte man jahrelang daran arbeiten. Rückblickend 

auf das vergangene Jahr gab es einige harzige Zeiten und ich musste mehrmals von vorne 

beginnen. Dabei konnte ich jedoch Erfahrungen sammeln, die ich nicht missen möchte. 

Nun — ich würde Sie anlügen, wenn ich sagen würde, dass ich nicht Stolz auf meine 

Arbeit bin. 


Kapitel 8 

Danksagung 

Ich möchte mich speziell bei folgenden Personen für ihre beratende Funktion, ihre unermüdliche 

Geduld und ihre inspirierende Ideen bedanken: 

• Herr Dr. Franz Müller Mein Betreuer und Lehrer in Physik. 

• Herr Dr. Jürg Müller Experte im Rahmen meiner Teilname am Schweizer Jugend 

forscht Wettbewerb. Aerodynamiker bei der Ruag Aerospace. 

• Frau Susan Schuler Korrektorin meiner Arbeit und Lehrerin an der Oberstufe 

Schänis. 

Ausserdem: 

• Meine wunderbare Klasse Für die ermutigenden Worte und tollen Ideen, von denen 

ich einige aus Zeitgründen leider (noch) nicht umsetzen konnte. 

• Meine engen Freundinnen und Freunde Für ihre Geduld, Unterstützung und meisterhafte 

Fähigkeit so zu tun, als würden sie meinen Ausführungen zwar folgen 

wollen, aber nur Bahnhof verstehen, trotzdem nicken und zustimmen. 

• Meine Familie Für ihre Geduld, besonders wenn ich verspätet zum Nachtessen 

komme. Da ich unbedingt noch was ausprobieren musste! 


Kapitel 9 

Deklaration zur Eigenständigkeit 

Ich habe die vorliegende Abschlussarbeit unter Benützung der angeführten Quellen selbständig 

entworfen, gestaltet und geschrieben. 

Elio Gubser 

Walenstadt, 8. März 2010 


Quellenverzeichnis 

[1] Beginner’s Guide to Aerodynamics. NASA Glenn Research Center. Aerodynamics 

Index http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/short.html 

Abrufdatum: 15. August 2009 

[2] Beginner’s Guide to Aerodynamics. NASA Glenn Research Center. Theories 

of Lift http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/lift1.html Abrufdatum: 

18. September 2009 

[3] Grundlagen der Flugtechnik. Skript zur Vorlesung an der ETH Zürich von Dr. 

Jürg Wildi. Teil I 2009 

[4] Ausgewählte Kapitel der Flugtechnik. Skript zur Vorlesung an der ETH Zürich 

von Jürg Wildi. Teil II/Sommersemester 2009 

[5] An Introduction to Physically Based Modeling: Unconstrained Rigid Body 

Dynamics. Skript zur Vorlesung an der Carnegie Mellon University von David 

Baraff 19997 http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/ Abrufdatum 24. 

Dez 2009 

[6] Kraft & Drehmoment. Skript Physikschwerpunktunterricht von Prof. Dr. Franz 

Müller Schuljahr: 2009 

[7] Vektorgeometrie & lineare Abbildungen. Skript Matheschwerpunktunterricht 

von Prof. Dr. Jakob Brunner Schuljahr: 2009 

[8] Skript zur Vorlesung Aerodynamik des Flugzeugs. Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch 

Version 1.5 http://www.lrz-muenchen.de/~hakenesch/aerodynamik/ 

aerodynamik.html Abrufdatum: 19. Juni 2009 

[9] Enzyklopädieeintrag über das Trägheitsmoment 

http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitsmoment Abrufdatum: 20. Dez 

2009 


Quellenverzeichnis 

[10] Enzyklopädieeintrag über den Trägheitstensor 

http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitsmoment Abrufdatum: 20. Dez 

2009 

[11] Enzyklopädieeintrag über das Trägheitsmoment http://en.wikipedia.org/ 

wiki/Moment_of_inertia Abrufdatum: 20. Dez 2009 

[12] Enzyklopädieeintrag über den Gimbal Lock http://en.wikipedia.org/wiki/ 

Gimbal_lock Abrufdatum: 13. Jan 2010 

[13] Diese Hand wurde in die Abb. 3.2 eingebaut. Lizenz: Public Domain 

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Right-hand_grip_rule.svg 

Abrufdatum: 06. Oktober 2009 


Abbildungsverzeichnis 

1.1 Landschaft aus grosser Entfernung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.2 Propellerflugzeug (Arbeitstitel: Bignose) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

1.3 Propellerflugzeug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.4 Düsenjäger (Arbeitstitel: Fighter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

1.5 Cockpit des Propellerflugzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.6 Cockpit des Düsenjägers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

1.7 Propellerflugzeug im Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.8 Düsenjäger im Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

1.9 Düsenjäger im Modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

2.1 Skipping Stones Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.2 Venturi Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

2.3 Longer Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.4 Turning Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

2.5 Strömungsabriss / Stall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.6 Formwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.7 Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

2.8 Induzierter Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

2.9 Unterschiedliche Trägheit bei unterschiedlicher Rotationachse . . . . . . . 16 

2.10 Welt- und Flugzeugkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 

2.11 Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 

2.12 Bestandteile eines Flugzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

3.1 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.2 Rechte Daumen Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 

3.3 Gimbal Lock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 

3.4 Trägheitsmoment aus Massepunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 

3.5 Massepunkte und Abstand in der 3. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.6 Rotation damit g auf Y zu liegen kommt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 

3.7 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

3.8 Auftrieb- und Widerstandsdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.9 Polardiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 

3.10 Definition eines Flügel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3.11 Anstellwinkel und Kraftrichtungsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 

3.12 Auftriebsrichtungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.13 Widerstandsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 


Abbildungsverzeichnis 

3.14 Schnitt Σ mit Ψ gibt k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.15 Kreuzprodukt v × k gibt m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.16 Die Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 

3.17 Flussdiagramm Strömungsabriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.18 Auftriebspolare mit Strömungsabriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.19 Defintion eines Antriebes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

4.1 Überblick über den Simulationsprozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 

4.2 Vererbung und Verweise der Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 

4.3 Schema des Eingabe Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 

5.1 Auftrieb- und Widerstandskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

5.2 Polardiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 


Anhang A 

Datenträger 

Auf dieser CD befindet sich der Source Code des Flugsimulators, einige Screenshots 

und ein paar Filme. Zum Zeitpunkt dieser Arbeit ist das Programm nur auf Linux 

lauffähig, sollte aber unter gewissem Aufwand auf Windows und Mac portierbar sein. Es 

ist eigentlich noch nicht komplett und nicht auf eine Veröffentlichung vorbereitet. Das 

Ganze soll vorwiegend dem weiteren Studium dienen.

Entwicklung eines Flugsimulators basierend auf einem ...

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