Zeitdiskrete Signale Motivation
Zeitdiskrete Signale Motivation
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<strong>Zeitdiskrete</strong> <strong>Signale</strong><br />
•Faltungstheorem<br />
• Diskrete Fouriertransformation<br />
(DFT)<br />
• Abtasttheorem<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
<strong>Motivation</strong><br />
• <strong>Zeitdiskrete</strong>s Signal, Signal nur an<br />
bestimmten Zeitpunkten tn gegeben.<br />
•xd (t)=x(tn ) n=0,1,2,.....<br />
• Wie oft muß z.B. ein akustisches<br />
Signal abgetastet werden, daß zum<br />
analogen Signal kein hörbarer<br />
Unterschied besteht?<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
1
Faltung zweier Funktionen<br />
∞<br />
∫<br />
−∞<br />
( f * g)(<br />
t)<br />
= f ( t')<br />
g(<br />
t − t')<br />
dt'<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Faltungskern<br />
1. Spiegelung des Faltungskerns<br />
2. Verschieben des Faltungskerns<br />
3. Integration des Produktes aus f und g<br />
Faltung: Spiegelung<br />
Faltungskern wird entlang der Zeitachse<br />
gespiegelt (! oft symmetrische Kerne)<br />
g( t)<br />
→<br />
g(<br />
−t)<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
2
Faltung: Verschieben+Multiplikation<br />
→ f ( t')<br />
g(<br />
t − t')<br />
t t<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Beispiel: Faltung mit Rechtecksfunktion<br />
1<br />
[ f * g](<br />
t)<br />
=<br />
T<br />
T<br />
t+<br />
2<br />
• Interpretation<br />
∫<br />
T<br />
t−<br />
2<br />
f ( t')<br />
dt'<br />
– Mittelwertbildung im Bereich des<br />
Rechteckes<br />
– Glättung = Tiefpaßfilter<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
t<br />
f(t)<br />
f*g<br />
3
Implementierung<br />
• Diskretes Signal fd der Länge N<br />
• Faltungskern selbe Länge<br />
• Berechnung eines Wertes von fd *gd N Multiplikationen + N Additionen<br />
•Rechenaufwand für Faltung N2 Backfrieder-Hagenberg<br />
Faltungstheorem<br />
• Faltung in der Zeitdomäne entspricht<br />
Multiplikation im Frequenzraum<br />
Zeitdomäne<br />
f*g F . G<br />
Faltung<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Frequenzraum<br />
Multiplikation<br />
4
Sampling<br />
• Digitalisierung<br />
• Zeitliche Digitalisierung<br />
– <strong>Signale</strong> werden in regelmäßigem Intervalen<br />
gespeichert (zeitliche Auflösung)<br />
∑ ∞<br />
n=<br />
−∞<br />
f ( t)<br />
= f ( t)<br />
⋅ δ ( t − nT )<br />
d<br />
• Quantitative Digitalisierung<br />
– Signal wird quantisiert, d.h. Speichertiefe wird<br />
festgeleft<br />
– 8 Bit, 16 Bit<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Wie oft abtasten?<br />
• Nyqist‘sches Sampling Theorem:<br />
Um ein Signal ohne Informationsverlust<br />
zu digitalisieren, muß die<br />
Abtastfrequenz doppelt so hoch wie<br />
die Grenzfrequenz gewählt werden.<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
5
Beispiel Sinus T=1s<br />
Signal f=1/s (blau), under-sampling T=1s (rot), T=0.5s (grün)<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
kontinuierlich<br />
Kammfunktion<br />
Aliasing<br />
Zeit-Fenster<br />
Rippling<br />
Frequenz-Kamm<br />
Diskrete<br />
Fouriertransformation<br />
6
Backfrieder-Hagenberg<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Sampling:<br />
bandbegrenzte<br />
Funktion<br />
Undersampling<br />
7
Diskrete Fouriertransformation (DFT):<br />
Fensterung<br />
Diskussion<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
• Signal-Spektrum<br />
FT A<br />
A<br />
x t)<br />
= A⋅<br />
cos( f0t)<br />
←⎯→<br />
X ( f ) = δ ( f − f0<br />
) + δ (<br />
2<br />
2<br />
• Fenster<br />
FT<br />
w( t)<br />
= rect(<br />
t / Tw<br />
) ←⎯→Tw<br />
sinc( πTw<br />
f )<br />
• Resultierendes Spektrum<br />
• f=0, i.A. X(0)0!<br />
( 0<br />
• Spektrum diskret f m =m∆f, spectral leakage<br />
• Amplitude korrekt=> f 0 =n∆f<br />
• Fensterbreite: T w =1/(2f 0 ), ∆f=1/(2nT w )<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
f + f )<br />
A<br />
A<br />
( f ) = Tw<br />
sinc( πTw<br />
( f − f0<br />
)) + Tw<br />
sinc( πT<br />
( f + f0<br />
))<br />
2<br />
2<br />
X w<br />
8
Fenster: Kriterien<br />
• Verhältnis Maxima<br />
Hauptband/Nebenbänder in dB<br />
dB=20*log 10 (U1/U2)<br />
• Roll-off Rate der Seitenbänder in<br />
dB/Oktave<br />
• 3dB-Grenze im Hauptband, bezogen auf<br />
spektrales Sampling<br />
• Maximaler Amplidudenfehler im Hauptband<br />
in dB<br />
Window: Rechteck<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
• Maximum Seitenband: -13dB<br />
• Roll-off: 6dB/Oktave<br />
• 3dB-Bandbreite: 0.89<br />
• Max. Sampling Fehler: 3.92dB<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
9
Hanning-Window<br />
1+<br />
cos( 2π<br />
/ Twt)<br />
WHann(<br />
t)<br />
=<br />
2<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
Hamming-Window<br />
( t)<br />
= 0.<br />
56 + 0.<br />
46cos(<br />
2π<br />
/ T t)<br />
wHamm w<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
1. -32dB<br />
2. 18 dB/Oktave<br />
3. 1.44 ∆f<br />
4. 1.42 dB<br />
1. -43dB<br />
2. 6dB/Oktave<br />
3. 0.3 ∆F<br />
4. 1.78dB<br />
10
Spectrogramm<br />
• Signalanalyse über lange Zeiträume<br />
– 24h EKG<br />
– EEG Schlaflabor<br />
– Spracherkennung<br />
• 1min, fs=16kHz -> 636.000 Samples<br />
– Langwellige Phänomen: Biasshift ...<br />
– Kurzwellige Information interessant<br />
• z.B. Buchstaben, Oberwellen, ....<br />
• Aufteilung in kurze Sequenzen -> FFT<br />
Zeit<br />
Spectrogramm<br />
Frequenz<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
• Spektren zeitlicher Untersequenzen<br />
• Zeitliche Analyse des Frequenzganges<br />
• Reliefplot nicht üblich<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
11
Frequenz<br />
2D Spektrogramm, Wasserfalldiagram<br />
Zeit<br />
• Den Amplituden der Frequenzen werden Farb- oder<br />
Grauwerte zugeordnet<br />
Backfrieder-Hagenberg<br />
12
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