Filteroperationen Bildverbesserung - Campus Hagenberg
Filteroperationen Bildverbesserung - Campus Hagenberg
Filteroperationen Bildverbesserung - Campus Hagenberg
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<strong>Bildverbesserung</strong><br />
Untenstehendes Bild wurde in zwei Stufen bearbeitet:<br />
1. Kontrastanhebung (Intensitätstransformation)<br />
2. Entfernung der Störungen (Maskenoperation)<br />
<strong>Filteroperationen</strong><br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 2<br />
1
<strong>Bildverbesserung</strong><br />
Qualitätsmindernde Faktoren<br />
• Jedes Bild ist durch einschränkende Qualitätsfaktoren<br />
gekennzeichnet<br />
• Objektstrukturen sind statistische Ungenauigkeiten<br />
(Rauschen) überlagert<br />
• Rauschen ist charakterisiert durch unterschiedliche<br />
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (probability density<br />
functions pdf)<br />
• Additives Modell f=o+n (f=Bild, o=Objekt, n=Rauschen)<br />
• Streuung, z.B. roter Kanal bei digitalen Photos zeigt<br />
verstärktes Rauschen<br />
• niedriger Kontrast durch schlechte Belichtung<br />
• nichtlineare Empfindlichkeit des Films oder der<br />
Photodetektoren<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
<strong>Bildverbesserung</strong><br />
Methoden<br />
• Glättung zur Unterdrückung des Rauschens = Erhöhung des<br />
Signal Rausch Verhältnisses (signal to noise ratio SNR)<br />
• SNR=o/n<br />
• Verstärkung des Kontrasts<br />
• Ausgleich der Graduationskurve<br />
• Verstärkung der Kanten<br />
• Methoden basieren auf bestehenden Grauwerten<br />
• Hervorhebung bestehender Strukturen<br />
• kein Informationsgewinn<br />
• Resultat Grauwertmatrix, keine Informationsanalyse<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 3<br />
Folie 4<br />
2
Methoden<br />
In dieser Vorlesung wird ein kurzer Abriß zur Thematik der<br />
<strong>Bildverbesserung</strong> vorgestellt, dabei werden zwei<br />
Funktionsgruppen, die Punkt- und Maskenoperationen<br />
diskutiert.<br />
Intensitätstransformationen oder Punktoperationen<br />
• Fensterung<br />
• Skalierung<br />
Maskenoperationen<br />
• Glättung<br />
• Kantenverstärkung<br />
• Statistische Filter<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Punktoperation<br />
Jedem Bildpunkt wird ein neuer Grauwert zugeordnet, d.h. jedem Pixel i<br />
mit dem Grauwert r i aus dem Ursprungsbild R wird ein neuer Grauwert s i<br />
im Zielbild S zugeordnet.<br />
Für jeden Bildpunkt muss eine eindeutige Zuordnung existieren.<br />
Jeder neue Grauwert wird nur aufgrund des alten bestimmt, die<br />
Nachbarpixel sind dabei nicht relevant.<br />
s i<br />
T(r i )<br />
r i<br />
Alle Bildpukte werden<br />
entsprechend s i=T(r i)<br />
transformiert.<br />
Im Graph werden unten<br />
die Grauwerte des Bildes R<br />
aufgetragen, die transformierten<br />
Werte s werden<br />
an der orangen Linie<br />
abgelesen.<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 5<br />
Folie 6<br />
3
Beispiel: Kontrastumkehr<br />
s = max( R)<br />
−r<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Beispiele<br />
i<br />
Threholdbildung (Schwellenwert)<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
i<br />
Folie 7<br />
Folie 8<br />
4
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Fensterung (windowing)<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Kompression<br />
des Dynamikbereiches<br />
Grauwerte werden vom Intervall [r w1,r w2] gleichmäßig auf [s min,s max] abgebildet.<br />
Werte kleiner r w1 werden auf s min transformiert.<br />
Werte größer r w2 werden auf s max transformiert.<br />
⎧<br />
⎪s<br />
T ( r)<br />
= ⎨<br />
⎪ r<br />
⎪⎩<br />
max<br />
w2<br />
smin<br />
− smin<br />
( r − rw1)<br />
− rw1<br />
s<br />
max<br />
s max<br />
r<br />
smin rw1 w1<br />
r < r<br />
≤ r < r<br />
r<br />
w2<br />
w1<br />
≤ r<br />
r w2<br />
w2<br />
Folie 9<br />
Folie 10<br />
5
Gamma Korrektur<br />
Nichtlineare Empfindlichkeit<br />
• Schwärzung von Photopapier nicht direkt proportional zum einfallenden<br />
Photonenfluss (Gradation)<br />
• nichtlineare Empfindlichkeit von Photodetektoren<br />
• Zusammenhang durch Potentialfunktion<br />
g = c ⋅<br />
• g neuer Grauwert, f alter Grauwert, c Skalierungskonstante, g<br />
Korrekturfaktor<br />
γ > 1<br />
− konkave Kurve<br />
− Kontrastverstärkung bei hohen Grauwerten<br />
γ < 1<br />
− konvexe Kurve<br />
− Kontrastverstärkung bei niedrigen Grauwerten<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Gammakorrektur<br />
f<br />
γ<br />
Kalibrierungskurve mit verschiedenen Werten<br />
für γ<br />
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Folie 11<br />
Folie 12<br />
6
Gammakorrektur<br />
Kontrastverstärkung im unteren<br />
Grauwertebereich<br />
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Filtermasken<br />
Regionen-basierte Filter (Maskenoperationen)<br />
• R ij ist eine Region um den Bildpunkt f ij<br />
• Der neue Bildpunkt g ij ist eine Funktion von R ij<br />
• zwei getrennte Buffer zur Berechnung keine „in-place“<br />
Verarbeitung<br />
f ij<br />
R ij<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
g ij<br />
Folie 13<br />
Folie 14<br />
7
Tiefpass-Filter<br />
g ij =F(R ij )<br />
• Mittelwertfilter F={R ij} E Erwartungswert aus der Region<br />
− exaktes Unterdrücken von Rauschen für konstante Bildregionen<br />
− Verschmieren von Kanten<br />
− Erhaltung der mittleren Bildwerte<br />
• Medianfilter F={R ij} M Median aus der Region<br />
− Eliminieren von Ausreißern<br />
− Erhaltung von Kanten<br />
− Erhaltung der mittleren Bildwerte<br />
• Minimumfilter F=min(R ij) Minimum aus der Region<br />
− Beschleunigung gegenüber Medianfilter<br />
− Elimination von positiven Ausreißern<br />
− Reduktion der Grauwerte (Verdunkelung)<br />
• Maximumfilter analog zu Minimumfilter<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Tiefpassfilter-Glättung<br />
Unterdrücken von Rauschen<br />
• normalverteiltes Rauschen<br />
• Gaußsche-Glockenkurve<br />
n<br />
=<br />
1<br />
e<br />
2πσ<br />
2<br />
1⎛<br />
x−μ<br />
⎞<br />
− ⎜ ⎟<br />
2⎝<br />
σ ⎠<br />
μ=0 Mittelwert, σ-Standardabweichung<br />
• großes Sample -> negative und positive Anteile heben sich in<br />
Summe auf<br />
• Datenmodell: f i=o i+n i<br />
• Strategie:<br />
− Pixelwert wird durch Mittelwert aus einer Region benachbarter Pixel<br />
errechnet<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 15<br />
Folie 16<br />
8
Mittelwert-Filter<br />
Implementierung und Eigenschaften<br />
1<br />
gij<br />
= ∑ fi+<br />
k , j+<br />
l<br />
N<br />
k,<br />
l<br />
• gij neuer Pixelwert, fij originale Pixelwerte, k,l Indices der<br />
Region, N Anzahl der Pixel in der Region<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Mittelwert-Filter<br />
Beispiel<br />
Region mit konstanten Werten<br />
echte SNR Verbesserung<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Region mit zwei Werte-Niveaus<br />
Verwischen der Kanten<br />
Folie 17<br />
Folie 18<br />
9
Median Filter<br />
„sogenannter“ statistischer Filter<br />
neues Pixel errechnet sich aus dem Median der<br />
Region<br />
Median ist ein stabiler statistischer Parameter,<br />
zur Beschreibung einer Stichprobe<br />
Nicht sensitiv gegenüber „Ausreißern“<br />
Entferne „salt & pepper noise“<br />
Kantenerhaltend<br />
Definition: Der Median (Zentralwert) halbiert<br />
eine Stichprobe, d.h. es existieren gleich viel<br />
kleinere wie größere Werte.<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Medianfilter<br />
Die Pixelwerte einer Region werden aufsteigend sortiert. Der zentrale Werte<br />
(Median) wird als neuer Pixelwert verwendet.<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 19<br />
Folie 20<br />
10
korrigiert<br />
Median-Filter (Ausreißer)<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Median<br />
sortieren<br />
Filter<br />
Median<br />
Steigungen bleiben erhalten<br />
Filter<br />
Spitzen werden abgeflacht<br />
Intensitätsprofil<br />
mit Ausreißer<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 21<br />
Folie 22<br />
11
Gauß-Filter<br />
Gewichtung der Pixelwerte<br />
• Mittelwertfilter gewichtet alle Pixel in der Region gleich<br />
• i.A. Pixelwerte nicht gleich, keine homogenen Regionen<br />
• weiter entfernte Pixel sollen weniger zum gefilterten Pixelwert<br />
beitragen<br />
• Gewichtung entsprechend Gaußscher Glockenkurve<br />
h<br />
2<br />
( r / σ )<br />
−<br />
2<br />
2 2<br />
( x,<br />
y)<br />
= c ⋅e<br />
r = x + y<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Gauß-Filter<br />
Berechnung der Maske<br />
• Maskengröße sollte 6 mal σ entsprechen<br />
• Seitenlänge der Maske ungerade<br />
• Hotspot im Zentrum der Maske<br />
• r ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten des Hotspots und<br />
des jeweiligen Maskenelements<br />
• Summe aller Maskenelemente ist Eins -> Konstante c<br />
2<br />
( r / σ )<br />
−<br />
2<br />
2 2<br />
h(<br />
x,<br />
y)<br />
= c ⋅e<br />
r = x + y<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
r<br />
Folie 23<br />
Folie 24<br />
12
Methode linearer Filter<br />
Maske (Kernel) wird von LO nach RU über das Bild geschoben<br />
An jeder Position werden die Koeffizienten der Maske mit den<br />
darunterliegenden Pixelwerten multipliziert<br />
Die Produkte werden summiert<br />
Dieser Wert wird an der Position des hot-spots in das neue Bild<br />
eingetragen<br />
kernel<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Pseudo-Code<br />
Bildregion<br />
Produkt<br />
for i=1:N-ki % N,M image size<br />
for j=1:M-kj<br />
val=0;<br />
for k=1:ki % ki,kj kernel size<br />
for l=1:kj<br />
val=val+img(i+k-1,j+l-1)*kernel(k,l);<br />
end<br />
end<br />
imgfilt(i+(ki-1)/2,j+(kj-1)/2)=val;<br />
end<br />
end<br />
img…Original<br />
imgfilt …gefiltertes Bild<br />
Kernel … Filterkern<br />
Achtung! Keine Randwertbehandlung!<br />
*<br />
N,M …Anzahl Zeilen und Spalten<br />
Ki, kj … Größe des Faltungskerns<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
+<br />
Folie 25<br />
Folie 26<br />
13
Randprobleme<br />
Rand-<br />
Zone<br />
effektive-<br />
Zone<br />
Maske<br />
Bildmatrix<br />
1. Randzone „0“ setzen<br />
2. Randzone aus „Original“ übernehmen<br />
3. Bild erweitern -> Maske auch in Randzonen aktiv<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Kantenverstärkung<br />
Kantendefinition<br />
• Kanten sind Diskontinuitäten der Grauwertverteilung<br />
• Charakterisierung durch lokale Änderung der Grauwerte<br />
• ideale Kante – sprunghafte Änderung<br />
• Reale Kante – kontinuierlicher Übergang<br />
Hochpass-Filter<br />
• Hervorhebung der Kanten<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Folie 27<br />
Folie 28<br />
14
Änderung der Grauwerte<br />
Steigungen in einem Bild (2D Verteilung)<br />
• Grauwertverteilung eines Bildes ist z=f(x,y)<br />
• Steigung in einem Punkt (x 0,y 0) kann unterschiedliche Werte<br />
aufweisen<br />
− vgl. verschiedene Wege auf einen Hang:<br />
− Direktroute (steil)<br />
− Serpentinen (mäßige Steigung)<br />
• Grauwertunterschiede abhängig von Richtung<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Gradient<br />
In welche Richtung ist Steigung am größten?<br />
• Ausgehend von einem Punkt (x 0 ,y 0 ) ist in eine bestimmte<br />
Richtung die Steigung am größten.<br />
• Wie wird diese Richtung bestimmt?<br />
• Wie groß ist diese Steigung?<br />
r<br />
⎛ g x ⎞ ⎛∂<br />
x f ( x,<br />
y)<br />
⎞<br />
g(<br />
x,<br />
y)<br />
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ g ⎟<br />
=<br />
⎜<br />
y y f ( x,<br />
y)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝∂<br />
⎠<br />
∂ f ( x,<br />
y)<br />
≅ f − f<br />
i+<br />
1,<br />
j<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
∂<br />
x<br />
y<br />
f ( x,<br />
y)<br />
≅<br />
i,<br />
j+<br />
1<br />
f<br />
− f<br />
i,<br />
j<br />
i,<br />
j<br />
Folie 29<br />
Folie 30<br />
15
Gradient<br />
Gradient ist eine vektorielle Größe<br />
• Komponenten sind partielle Ableitungen nach x und y<br />
• Vektor weist in Richtung des stärksten Anstieges<br />
• Länge gibt die Stärke der Steigung an<br />
• Bild f(x,y) ist keine analytische Form, sondern liegt digital vor f i,j<br />
• partielle Ableitungen durch Differenzen in Zeilen- und<br />
Spaltenrichtung angenähert<br />
r ⎛ g x ⎞ ⎛∂<br />
x f ( x,<br />
y)<br />
⎞<br />
g(<br />
x,<br />
y)<br />
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟<br />
⎜ g ⎟<br />
=<br />
⎜<br />
y y f ( x,<br />
y)<br />
⎟<br />
⎝ ⎠ ⎝∂<br />
⎠<br />
∂ f ( x,<br />
y)<br />
≅ f − f<br />
∂<br />
x<br />
y<br />
f ( x,<br />
y)<br />
≅<br />
i,<br />
j+<br />
1<br />
f<br />
i+<br />
1,<br />
j<br />
i,<br />
j<br />
i,<br />
j<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Kantenverstärkungen<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
−<br />
f<br />
Formen der Gradientenoperatoren<br />
• Grundsätzlich werden zwei Eigenschaften des Gradienten<br />
zum Filterdesign verwendet<br />
• Betrag des Gradienten<br />
• Richtung des Gradienten<br />
• beide Eigenschaften werden näherungsweise durch<br />
Differenzen implementiert<br />
⎡1 −1⎤<br />
h1<br />
= ⎢<br />
0 0<br />
⎥ h<br />
⎣ ⎦<br />
g<br />
ij<br />
=<br />
f<br />
i,<br />
j<br />
− f<br />
i+<br />
1,<br />
j<br />
2<br />
⎡ 1<br />
= ⎢<br />
⎣−1<br />
+<br />
f<br />
i,<br />
j<br />
− f<br />
0⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
i,<br />
j+<br />
1<br />
Summe der Maskenelemente aller Kantenoperatoren ergibt Null<br />
Folie 31<br />
Folie 32<br />
16
Kantenverstärkungen<br />
Gradientenoperatoren am Beispiel einer<br />
einfachen geometrischen Struktur<br />
a d b<br />
c<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Gradientenoperatoren/1<br />
Robertsoperator<br />
• ältester Kantenoperator<br />
• sehr schnell 2x2 Masken<br />
• sehr empfindlich für Rauschen<br />
• Differenzen werden diagonal gebildet<br />
h<br />
g<br />
1<br />
ij<br />
⎡1<br />
= ⎢<br />
⎣0<br />
=<br />
f<br />
i,<br />
j<br />
0 ⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎦<br />
− f<br />
h<br />
2<br />
i+<br />
1,<br />
j+<br />
1<br />
⎡ 0<br />
= ⎢<br />
⎣−1<br />
+<br />
i,<br />
j+<br />
1<br />
− f<br />
i+<br />
1,<br />
j<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
f<br />
1⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎦<br />
h x : Masken für Richtungsableitungen<br />
g ij : Betrag der Steigung<br />
f ij : Bild<br />
Anmerkung: Gradienten<br />
der Kanten haben<br />
entsprechen der<br />
Laufrichtung auch negative<br />
Anteile<br />
(a) Original, ohne<br />
Rauschen<br />
(b) Gradient in x<br />
(c) Gradient in y<br />
(d) Gradient<br />
Absolutwert<br />
Folie 33<br />
Robertsoperator<br />
diagonale Differenzen<br />
kompakte Region<br />
Folie 34<br />
17
Beispiele<br />
Robertsoperator mit und ohne Rauschen<br />
Spalten: (links) Bild, (mitte) kantengefiltert, (rechts) Konturplot<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Gradientenoperatoren/3<br />
Prewitt-Operator<br />
• Rauschen ist generelles Problem bei Kantenverstärkung<br />
• Ansatz: Vergrößerung der Masken<br />
− Mittelung über größere Anzahl von Pixel<br />
• Prewitt-Operatoren auf 3x3 Masken definiert<br />
⎡ 1 1 1 ⎤ ⎡−1<br />
0 1⎤<br />
h<br />
⎢<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
1 =<br />
⎢<br />
0 0 0<br />
⎥<br />
h2<br />
=<br />
⎢<br />
−1<br />
0 1<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
−1<br />
−1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
0 1⎥⎦<br />
• Maskengröße ermöglicht Masken für andere<br />
Gradientenrichtungen<br />
⎡ 0 1 1⎤<br />
⎡1<br />
h<br />
⎢ ⎥<br />
=<br />
⎢<br />
3 =<br />
⎢<br />
−1<br />
0 1<br />
⎥<br />
h2<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
−1<br />
0⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
0<br />
−1<br />
0 ⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥<br />
−1⎥⎦<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
1<br />
0<br />
Prewitt-Operatoren<br />
werden auch Kompass-<br />
Operatoren<br />
genannt: N, W, NO ...<br />
Folie 35<br />
Folie 36<br />
18
Gradientenoperatoren/4<br />
Sobel-Operator<br />
• Effekt des Rauschen kann durch vorherige Glättung<br />
minimiert werden<br />
• Gaußscher Faltungskern in Operatoren implementiert<br />
• Auch größere als 3x3 Matrizen möglich<br />
⎡ 1<br />
h<br />
⎢<br />
1 =<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
2<br />
0<br />
− 2<br />
1 ⎤<br />
0<br />
⎥<br />
⎥<br />
−1⎥⎦<br />
⎡−1<br />
h =<br />
⎢<br />
2 ⎢<br />
− 2<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
• Diagonale Masken<br />
⎡ 0<br />
h<br />
⎢<br />
3 =<br />
⎢<br />
−1<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
2⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎥<br />
0⎥⎦<br />
⎡2<br />
h<br />
⎢<br />
2 =<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
0<br />
−1<br />
1⎤<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
1⎥⎦<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0 ⎤<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥<br />
− 2⎥⎦<br />
Gradientenoperatoren/5<br />
Robinson-Operator<br />
⎡ 1 1<br />
h<br />
⎢<br />
1 =<br />
⎢<br />
1<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
− 2<br />
−1<br />
1 ⎤<br />
1<br />
⎥<br />
⎥<br />
−1⎥⎦<br />
Kirsch-Operator<br />
⎡ 3<br />
h<br />
⎢<br />
1 =<br />
⎢<br />
3<br />
⎢⎣<br />
− 5<br />
3<br />
0<br />
− 5<br />
3 ⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
− 5⎥⎦<br />
⎡−1<br />
1 1⎤<br />
h<br />
⎢ ⎥<br />
2 =<br />
⎢<br />
−1<br />
− 2 1<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
−1<br />
1 1⎥⎦<br />
⎡−<br />
5<br />
h<br />
⎢<br />
2 =<br />
⎢<br />
− 5<br />
⎢⎣<br />
− 5<br />
3⎤<br />
3<br />
⎥<br />
⎥<br />
3⎥⎦<br />
Weitere Richtungen werden durch Vertauschen<br />
der Koeffizienten erzeugt.<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
3<br />
0<br />
3<br />
Folie 37<br />
Folie 38<br />
19
Beispiele<br />
a<br />
b c<br />
(a) Original<br />
(b) Prewitt Westen<br />
(c) Prewitt Norden<br />
(d) Prewitt Südwest<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Beispiele<br />
a<br />
b c<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
d<br />
(a) Original<br />
(b) Sobel x-Richtung<br />
(c) Sobel y-Richtung<br />
Folie 39<br />
Folie 40<br />
20
Beispiele<br />
a<br />
b c<br />
(a) Original<br />
(b) Prewitt Westen<br />
(c) Prewitt Norden<br />
(d) Prewitt Südwest<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
Beispiele<br />
a<br />
b c<br />
FH-<strong>Campus</strong> <strong>Hagenberg</strong> Werner Backfrieder<br />
d<br />
(a) Original<br />
(b) Kirsch y-Richtung<br />
(c) Kirsch x-Richtung<br />
Folie 41<br />
Folie 42<br />
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