Übungen zu Physik 3 - Blatt 2 Hanno Rein - Gruppe ... - hanno-rein.de

Übungen zu Physik 3 - Blatt 2 Hanno Rein - Gruppe C
Aufgabe 3
a) Die Zwangsbedingung lautet:
G(x, z) = x 2 + z 2 − l 2 = 0
Bewegungsgleichungen nach Lagrange I:
m¨x = 2λ1x
m¨z = mg + 2λ1z
b) Die Ableitungen von G(x, z) nach der Zeit sind:
⇒
˙G(x, z) = 2x · ˙x + 2z · ˙z = 0
¨G(x, z) = 2x · ¨x + 2 ˙x 2 + 2z · ¨z + 2 ˙z 2 = 0
¨z = − x · ¨x + ˙x2 + ˙z 2
z
= − x · ¨x + ˙x2 + −
z
= − x · ¨x + ˙x2 + x2 ˙x 2
z2 z
= − x · ¨x + ˙x2 + x2 ˙x 2
l 2 −x 2
√ l 2 − x 2
x ˙x 2
z
c) Der Lagrangemultiplikator λ1 ist
λ1 = 1 ¨x
m
2 x
Eingesetzt in die Bewegungsgleichung für z ergibt sich:
Also ist:
m¨z = −m x · ¨x + ˙x2 + x2 ˙x 2
l 2 −x 2
√ l 2 − x 2
= mg + 2λ1z
= mg + m ¨x
l2 − x2 x
− x · ¨x + ˙x2 + x2 ˙x 2
l2−x2 √
l2 − x2
− x · ¨x + ˙x 2 + x2 ˙x 2
l2 − x2
= g + ¨x
l2 − x2 x
= g l2 − x2 + ¨x 2 2
l − x
x

Übungen zu Physik 3 - Blatt 2 Hanno Rein - Gruppe C
d) Mit der Näherung x ≪ l vereinfacht sich die DGL zu:
− x¨x + ˙x 2 + x2 ˙x 2
= g l2 − x2 +
≈l
¨x
x l2
− x
l
≈0
l 2 − x 2
≈l 2
≈0
−x¨x − ˙x 2 = gl + ¨x
x l2
−x 2 ¨x − x ˙x 2 = xgl + ¨xl 2
x¨x − x
˙x
l
≈0
2 = xg + ¨xl
Also ergibt sich als DGL für ¨x die gewohnte Form:
0 = g
x + ¨x
l
Der Lagrangemultiplikator ˜ λ1 ist nach dieser Näherung:
˜λ1 = 1 ¨x
m = −1
2 x 2 mg
l
Die Zwangskräfte sind also:
e) Mit
F Zwang
x = 2˜ λ1 · x = −mgx
l
F Zwang
z = 2˜ λ1 · z = −mgz
l
x = l sin φ
˙x = l cos φ ˙ φ
¨x = l cos φ ¨ φ − l sin φ ˙ φ 2
ergibt sich:
− x · ¨x + ˙x 2 + x2 ˙x 2
l2 − x2
= g l2 − x2 + ¨x 2 2
l − x
x
− l 2 sin φ · (− sin φ ˙ φ 2 + cos φ ¨ φ) + l 2 cos 2 φ ˙ φ 2 + l4 sin 2 φ · cos2 φ ˙ φ2
l 2 − l 2 sin 2 φ
= g l2 − l2 sin 2 φ + cos φ ¨ φ − sin φ ˙ φ2
2 2 2
l − l sin φ
sin φ
− sin φ · (− sin φ ˙ φ 2 + cos φ ¨ φ) + cos 2 φ ˙ φ 2 + sin 2 φ ˙ φ 2
= g
l
1 − sin 2 φ + cos φ ¨ φ − sin φ ˙ φ2 2
1 − sin φ
sin φ
− sin φ · (− sin φ ˙ φ 2 + cos φ ¨ φ) + ˙ φ 2
= g
l cos φ − cos2 φ ˙ φ 2 + cos3 φ ¨ φ
sin φ
sin 2 φ ˙ φ 2 − sin φ cos φ ¨ φ − ˙ φ 2 = g
l cos φ − cos2 φ ˙ φ 2 + cos3 φ ¨ φ
sin φ
˙φ 2 − sin φ cos φ ¨ φ − ˙ φ 2 = g
l cos φ + cos3 φ ¨ φ
sin φ
− sin 2 φ ¨ φ = g
l sin φ + cos2 φ ¨ φ
0 = g
l sin φ + ¨ φ

Übungen zu Physik 3 - Blatt 2 Hanno Rein - Gruppe C
Aufgabe 4
Die Zwangsbedingung f1 lautet (y = 0 ist trivial und wird weiter nicht berücksichtigt):
x = s · cos α + R(t)
z = s · sin α
cos α
⇒ x = z · + R(t)
sin α
z
⇒ 0 = + R(t) − x = f1
tan α
Nach Lagrange I gilt:
m¨x = −λ1
m¨z = −mg + λ1
tan α
Mit der Zwangsbedingung zusammen ergibt sich:
1 + 1
tan2
α
¨z = −g − ¨x
tan α
= −g − ¨ R(t) + ¨z
tan α
tan α
= −g − ¨ R(t) ¨z
−
tan α tan2 α
¨z = −g − ¨ ¨z =
R(t)
tan α
−g − ¨
R(t)
sin
tan α
2 α
˙z =
−gt − ˙
R(t)
sin
tan α
2 α
z =
− 1
2 gt2 − R(t)
sin
tan α
2 α
x =
− 1
2 gt2 − R(t)
tan α
sin 2 α
tan α
+ R(t)
= − 1
2 gt2 sin α cos α + sin 2 αR(t)
Damit die Masse auf dem Wagen ruht, muss ¨z = 0 sein, und somit:
¨R(t) = −g tan α
Der Wagen beschleunigt also konstant in Richtung −x mit der Beschleunigung a = −g tan α:
R(t) = 1
2 at2
(Alle aufgetretenen Integrationskonstanten wurden gleich null gesetzt.)