MS – Michelson-Interferometer - JavaPsi
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<strong>MS</strong> <strong>–</strong> <strong>Michelson</strong>-<strong>Interferometer</strong><br />
Blockpraktikum Herbst 2007<br />
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter (Gruppe 2b)<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
24. Oktober 2007<br />
1 Grundlagen 2<br />
1.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.2 Interferenzmuster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.3 Messung von Gangunterschieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<br />
1.4 Brechungsindex eines Glasplättchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
2 Auswertung 6<br />
2.1 Wellenlänge des Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.2 Brechungsindex von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6<br />
2.3 Brechungsindex von Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 GRUNDLAGEN <strong>MS</strong> 2<br />
1 Grundlagen<br />
1.1 Aufbau<br />
Ein <strong>Michelson</strong>-<strong>Interferometer</strong> besteht aus einem Strahlteiler und zwei Spiegeln, die wie<br />
in Abb. 1 abgebildet angeordnet sind. Ein Teil des ursprünglichen Laserlichts trans-<br />
Abbildung 1: Aufbau eines <strong>Michelson</strong>-<strong>Interferometer</strong>s (Quelle: Anleitung).<br />
mittiert den Strahlteiler, wird von einem Spiegel auf den Strahlteiler zurück reflektiert,<br />
um dort zur Beobachtungsebene reflektiert zu werden. Ein anderer Teil des ursprünglichen<br />
Laserlichts wird am Strahlteiler reflektiert, gelangt anschließend von einem Spiegel<br />
zurück zum Strahlteiler und wird dort transmittiert, um ebenfalls auf dem Beobachtungsschirm<br />
zu landen. Wenn der Gangunterscheid der beiden Strahlen, die das <strong>Interferometer</strong><br />
verlassen, kleiner als die Kohärenzlänge des verwendeten Laserlichts ist, kann<br />
man ein Interferenzmuster beobachten.<br />
1.2 Interferenzmuster<br />
Wenn man davon ausgeht, dass der Laser paralleles Licht aussendet (d.h. ebene Wellen),<br />
sind die beiden auf dem Schirm ankommenden Strahlen nach wie vor ebene Wellen, da<br />
die Reflexion ebener Wellen an ebenen Spiegeln wieder ebene Wellen ergibt. Wie üblich<br />
interferieren diese ebenen Wellen mit einem Gangunterschied ∆s zu einem Streifenmuster.<br />
Die Bedingung für Maxima ist dabei<br />
∆s = kλ, k ∈ Z.<br />
Divergiert hingegen das Licht der Lichtquelle, so kann man virtuelle Gegenstandspunkte<br />
konstruieren, von denen Kugelwellen ausgehen. Da ebene Spiegel Kugelwellen<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter
1 GRUNDLAGEN <strong>MS</strong> 3<br />
zu Kugelwellen reflektieren, sind die beiden interferierenden Lichtbündel nach dem <strong>Interferometer</strong><br />
nach wie vor Kugelwellen und interferieren deshalb zu einem Ringmuster<br />
auf der Mattscheibe (vgl. Abb. 2). Auch hier gilt für Maxima die Bedingung ∆s = kλ.<br />
Abbildung 2: Interferenz der von zwei Punktquellen ausgesendeten Kugelwellen. An Schnittpunkten<br />
gleichfarbiger Linien entsteht konstruktive Interferenz (blau), an Schnittpunkten ungleichfarbiger<br />
Linien destruktive Interferenz (rot). Die Rotationssymmetrie erklärt das Zustandekommen<br />
von Ringen auf der ebenen Mattscheibe. (Quelle: http: // www. walter-fendt. de/<br />
ph14e/ interference. htm )<br />
Sind die Spiegel des <strong>Interferometer</strong>s gegeneinander mit einem kleinen Winkel geneigt,<br />
so beobachtet man auch bei divergenter Lichtquelle ein Streifenmuster (Fizeau-<br />
Streifen).<br />
1.3 Messung von Gangunterschieden<br />
Eine sehr kleine Änderung ∆s der Länge eines <strong>Interferometer</strong>arms hat zur Folge, dass<br />
der Strahl, der durch diesen <strong>Interferometer</strong>arm verläuft einen zusätzlichen Weg 2∆s<br />
zurücklegen muss (hin- und zurücklaufender Strahl jeweils ∆s). Das Interferenzmuster<br />
verschiebt sich deshalb um 2∆s, d.h. in einem festen Punkt in der Beobachtungsebene<br />
wird ein Gangunterschied von s zu einem Gangunterschied von s + 2∆s. Ändert man<br />
die Armlänge des <strong>Interferometer</strong>s langsam, so kann man beobachten, wie die Streifen<br />
bzw. Ringe gleicher Phase ” wandern“. Die Anzahl N der Maxima, die über einen bestimmten<br />
Punkt wandern (z.B. über die Mitte der Ringe), kann zur Berechnung der<br />
Längenänderung ∆s des <strong>Interferometer</strong>arms benutzt werden,<br />
∆s = Nλ<br />
. (1)<br />
2<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter
1 GRUNDLAGEN <strong>MS</strong> 4<br />
1.4 Brechungsindex eines Glasplättchens<br />
Der Brechungsindex eines Glasplättchens lässt sich bestimmen, indem das Plättchen<br />
zunächst senkrecht zum Lichtstrahl in einen <strong>Interferometer</strong>arm gebracht wird und anschließend<br />
der Winkel zum Lichtstrahl langsam verändert wird, wobei die Anzahl N<br />
der aus der Mitte quellenden Ringe mitgezählt wird. Der Wegunterschied ∆s, den das<br />
Licht durch das Plättchen zurücklegt, in Abhängigkeit vom Drehwinkel ε kann wie folgt<br />
berechnet werden (vgl. Facharbeit von Felix Dorband).<br />
Abbildung 3: Strahlengang durch ein um den Winkel ε dedrehtes Glasplättchen (Quelle: Facharbeit<br />
Felix Dorband).<br />
In Abb. 3 ist der Strahlengang durch ein um ε gedrehtes Glasplättchen abgebildet.<br />
Seien s0 die ursprüngliche optische Weglänge (ohne Plättchen), d die Dicke und n die<br />
Brechzahl des Plättchens. Dann folgt für die optische Weglänge bei ε = 0 (d.h. Plättchen<br />
senkrecht zum Laserstrahl)<br />
s1 = s0 − d + nd. (2)<br />
Die optische Weglänge bei gedrehtem Plättchen ist<br />
wobei aus Abb. 3<br />
s2 = s0 − x + n · MN, (3)<br />
MN = d<br />
cos ε ′ , x = MN cos(ε − ε′ )<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter
1 GRUNDLAGEN <strong>MS</strong> 5<br />
abzulesen ist. Der Ausdruck für x lässt sich weiter umformen:<br />
x =<br />
=<br />
Einsetzen in Gleichung (3) ergibt<br />
d<br />
cos ε ′ cos(ε − ε′ )<br />
d<br />
cos ε ′<br />
′ ′<br />
cos ε · cos ε + sin ε · sin ε .<br />
s2 = s0 − d<br />
cos ε ′<br />
′ ′<br />
cos ε · cos ε + sin ε · sin ε + n d<br />
= s0 − d<br />
cos ε ′<br />
cos ε ′<br />
<br />
cos ε · cos ε ′ + sin2 <br />
ε<br />
+ n<br />
n<br />
d<br />
. (4)<br />
cos ε ′<br />
Im letzten Schritt wurde dabei das Brechungsgesetz sin ε ′ = sin ε/n verwendet. Für die<br />
Differenz ∆s = s2 − s1 der optischen Weglängen erhält man<br />
<br />
∆s = d · − cos ε − sin2 <br />
ε n<br />
+ + 1 − n<br />
n cos ε ′ cos ε ′<br />
<br />
= d · 1 − n − cos ε + n2 − sin2 ε<br />
n cos ε ′<br />
<br />
.<br />
Einsetzen von<br />
ergibt<br />
cos ε ′ =<br />
<br />
1 − sin2 ε ′ <br />
= 1 − sin2 ε<br />
n2 ⎛<br />
∆s = d ⎝1 − n − cos ε + n2 − sin2 ε<br />
<br />
n 1 − sin2 ε<br />
n2 ⎞<br />
=<br />
⎠<br />
<br />
<br />
d 1 − n − cos ε + n2 − sin2 <br />
ε .<br />
Diese Gleichung kann man nun nach der gesuchten Brechzahl n auflösen:<br />
<br />
n 2 − sin 2 ε 2<br />
=<br />
∆s<br />
d<br />
⇒ n 2 − sin 2 ε = n 2 + 2n<br />
2 − 1 + n + cos ε<br />
∆s<br />
d<br />
2 ∆s<br />
+ cos ε − 1 + + cos ε − 1<br />
d<br />
⇒ n = − sin2 ε − ∆s<br />
d + cos ε − 1 2<br />
2 . (5)<br />
∆s<br />
d + cos ε − 1<br />
Die erhaltene Gleichung lässt sich noch etwas umformen, wird dadurch jedoch nicht<br />
einfacher.<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter
2 AUSWERTUNG <strong>MS</strong> 6<br />
Der Wegunterschied ∆s durch Drehen des Plättchens aus der Ausgangslage lässt sich<br />
aus der Anzahl N der ” herausgequollenen“ Interferenzringe berechnen. Da der Strahl<br />
das Plättchen zwei Mal durchläuft, gilt<br />
∆s = Nλ<br />
2 .<br />
Setzt man dies in Gleichung (5) ein, so folgt als endgültige Formel für die Brechzahl n<br />
in Abhängigkeit von Drehwinkel ε, Ringanzahl N und Plättchendicke d<br />
2 Auswertung<br />
2.1 Wellenlänge des Lasers<br />
n = − sin2 ε − Nλ<br />
2d + cos ε − 1 2<br />
2 . (6)<br />
Nλ<br />
2d + cos ε − 1<br />
Um die Wellenlänge des verwendeten Lasers zu bestimmen, wurde ein Spiegel um eine<br />
bekannte Länge ∆s verschoben und die Anzahl N der neu entstandenen Ringe im Interferenzmuster<br />
gezählt. Eine Mikrometerschraube mit einer Übersetzung von 118 : 1<br />
wurde um 360 ◦ , d.h. eine Umdrehung, gedreht. Da eine Umdrehung der an der Spiegelhalterung<br />
befestigten Schraube 0, 5mm entspricht, beträgt die Verschiebung des Spiegels<br />
∆s =<br />
0, 5mm<br />
118<br />
≈ 4, 24µm.<br />
Bei der Verschiebung wurden im Mittel N = 43 neue Ringe gezählt. 1 Aus ∆s = Nλ/2<br />
(1) folgt für die Wellenlänge<br />
λ = 2∆s<br />
N<br />
= 2 · 0, 5mm<br />
118 · 43<br />
= 197, 1nm.<br />
Die Anzahl der Minima ließ sich schwer zählen, da es während des Zählens mehrere<br />
Male zu Erschütterungen des Tisches kam. Die große Abweichung vom erwarteten Wert<br />
von λ = 633nm für rotes Laserlicht kann dadurch jedoch kaum erklärt werden. Möglicherweise<br />
verwendeten wir aus Versehen eine Mikrometerschraube mit einem anderen<br />
Übersetzungsverhältnis oder eine Umdrehung an der Spiegelhalterung entsprach nicht<br />
0, 5mm.<br />
2.2 Brechungsindex von Luft<br />
Eine Röhre wird zunächst evakuiert und anschließend langsam mit Luft gefüllt. Es<br />
wurden N = 71 neue Ringe während der Wiederbefüllung der Röhre gezählt. Aus der<br />
Bedingung für Maxima<br />
nLuftl − nVakuuml = kλ<br />
2<br />
1 Zwei Messungen, Ringe jeweils von drei Leuten gezählt.<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter
2 AUSWERTUNG <strong>MS</strong> 7<br />
mit l = 10cm als Röhrenlänge erhält man für die Brechzahl von Luft<br />
nLuft = kλ<br />
+ 1 = 1, 00022<br />
s12<br />
für λ = 632, 8nm. Dies stimmt sehr gut mit dem Literaturwert von n = 1, 00029 überein.<br />
2.3 Brechungsindex von Glas<br />
Um den Brechungsindex eines Deckgläschens für übliche Mikroskope zu messen, wurde<br />
das Plättchen im Strahlengang gedreht und die Anzahl der neuen Ringe N in Abhängigkeit<br />
vom Drehwinkel ε gemessen. Wir zählten bei einem Drehwinkel von<br />
ε = 360◦ · 118<br />
10<br />
= 30, 5 ◦<br />
N = 28 Ringe. Da die Deckgläser für Mikroskope nach ISO 8255-1:1986 international<br />
auf eine Dicke von d = 0, 17mm genormt sind, nehmen wir diesen Wert für die Plättchendicke<br />
an. 2 Für die Wellenlänge benutzen wir wieder λ = 633nm. Einsetzen in (6)<br />
ergibt dann<br />
nGlas = 1, 5357 ≈ 1, 5.<br />
Dies stimmt sehr gut mit dem in ISO 8255-1:1986 angegebenen Wert von n = 1, 5255<br />
überein.<br />
2 Alternativ könnte man die Dicke auch mit einer elektronischen Schieblehre messen.<br />
Version: 24. Oktober 2007 Moritz Stoll, Marcel Schmittfull, Melanie Jetter