Kann man mit dem Bauch reden? Eine physikalische ... - JavaPsi

3 VOKALTRAKTMODELLE 5
Löst man nun (3.1) nach p − i
auf, so erhält man
p − i = p+ i+1 + p− i+1 − p+ i .
Auflösen von (3.5) nach p + i+1 und Einsetzen liefert nach Vereinfachen
p − i = Ai − Ai+1
p
Ai + Ai+1
+ i
2Ai+1
+ p
Ai + Ai+1
− i+1 . (3.6)
Ohne einen Querschnittssprung würde sich in Zi eine Welle mit p + i in + Richtung und in Zi+1
eine Welle mit p − i+1 − Richtung bewegen, sodass in Zi für den Druck in − Richtung p − i = p− i+1
gelten würde. Sei die Welle p − i+1 als einlaufende Welle betrachtet, dann sagt Gleichung (3.6) jedoch
aus, dass nur ein gewisser Teil des Drucks p − i+1 der in − Richtung verlaufenden Welle in p− i noch
enthalten ist, d.h. nur ein Teil dieser Welle wird transmittiert. Gleichzeitig ist in (3.6) ein Teil des
Drucks p + i der in + Richtung verlaufenden Welle enthalten, d.h. ein Teil dieser in + Richtung
verlaufenden Welle wird in − Richtung reflektiert. Die Faktoren für Transmission in der in −
Richtung verlaufenden Welle und Reflexion der in + Richtung verlaufenden Welle sind nach (3.6)
Reflexionsfaktor R + = Ai − Ai+1
, (3.7)
Ai + Ai+1
Transmissionsfaktor T − =
2Ai+1
Ai + Ai+1
Stellt man die Gleichungen (3.1) und (3.5) nach p + i+1 statt wie oben nach p− i
p + i+1 = Ai+1 − Ai
p
Ai + Ai+1
− i+1 +
p − i
2Ai
p
Ai + Ai+1
+ i
= R − p − i+1 + T + p + i
= −R + p − i+1 + (1 + R+ )p + i .
= 1 − R + . (3.8)
so erhält man
Die Gleichungen (3.6) und (3.9) lassen sich mit R = R + kompakt schreiben als
+
p i+1 −R
=
1 − R
−
1 + R pi+1 .
R
(3.10)
Um die Wellengrößen pi in Abhängigkeit der pi+1 auszudrücken, wird (3.10) noch vereinfacht zu
+
p i
p −
=
i
1
+
1 R p i+1
1 + R R 1 p −
i+1
Da die Schallwelle die Zeit τ
2
p + i
(3.9)
(3.11)
= d
c benötigt3 , um den Weg des Abstands d zwischen zwei Quer-
schnittssprungstellen zurückzulegen, sind die Wellen an den verschiedenen Querschnittssprungstellen
zueinander verschoben. Da aus (2.4) folgt, dass
x(t)
x(t ± τ)
F T
=
F T
=
1
2π
∞
−∞
∞
1
2π
−∞
X(ω)e jωt dω
X(ω)e jω(t±τ) dω = 1
2π
∞
−∞
e ±jωτ · X(ω)e jωt dω
gilt, entspricht eine Verschiebung x(t) → x(t ± τ
2 ) im Zeitbereich der Operation X(ω) → X(ω) ·
τ
±jω e 2 im Frequenzbereich. Um deutlich zu machen, dass im Frequenzbereich operiert wird, verwenden
wir im Folgenden P anstelle von p. In (3.10) wird der Vektor (P +
−
, P
berechnet, d.h. in (P +
i+1
−
i , Pi )T aus (P +
−
, Pi+1 )T muss die sich nach rechts4 bewegende + Welle P +
i+1
i+1
i+1 )T
um τ
2 nach
3 Die Zeitverschiebung wird als τ
2 gewählt, um später in Gleichung (3.12) e 1 2 jωt ausklammern und die Matrix
umformen zu können.
4
” Rechts“ entspricht der + Richtung, die wiederum der Richtung aufsteigender Zylinderindizes Zi → Zi+1 entspricht.