µW – Mikrowellen - JavaPsi

µW – Mikrowellen
Blockpraktikum Herbst 2007
Moritz Stoll, Marcel Schmittfull (Gruppe 2b)
Inhaltsverzeichnis
24. Oktober 2007
1 Mikrowellen 2
1.1 Erzeugung durch ein Reflexklystron . . . . . . . . . . 2
1.2 Erzeugung durch ein Magnetron . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Abschließen einer Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . 5
2 Versuch und Auswertung 6
2.1 Sendekeule eines Mikrowellensenders . . . . . . . . . . 6
2.2 Wellenlänge in Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Wellenlänge auf einer Lecherleitung . . . . . . . . . . . 6

1 MIKROWELLEN µW 2
1 Mikrowellen
Mikrowellen sind elektromagnetische Wellen mit einer Wellenlänge
zwischen 1m und 1mm, d.h. mit einer Frequenz zwischen etwa 300MHz
und 300GHz. Sie werden beispielsweise in üblichen Haushaltsmikrowellen
zur Erhitzung von (Wasser enthaltender) Nahrung verwendet,
in Geräten zur Radarkontrolle, im Mobilfunk und bei WLAN.
1.1 Erzeugung durch ein Reflexklystron
Ein Reflexklystron erzeugt Mikrowellen, indem von einer Kathode
emittierte Elektronen durch einen Hohlraumresonator auf einen Reflektor
geschickt werden. Der Aufbau ist in Abb. 1(a) skizziert.
(a) (b)
Abbildung 1: a) Aufbau eines Reflexklystrons, b) Hohlraumresonator (aus
Anleitung).
Der Hohlraumresonator kann als Reihenschaltung eines Kondensators
(in der Mitte) und zweier Spulen (kreisförmige Abschnitte links
und rechts) aufgefasst werden, d.h. als LC-Schwingkreis mit Schingperiode
T . Ist zum Zeitpunkt t = 0T die Spannung zwischen den
Kondensatorplatten maximal, dann ist eine Viertel Periode später
t = T/4 der Strom durch die Spulen maximal. Für t = T/2 ist wieder
die Spannung maximal, für t = 3T/4 der Strom, usw. (vgl. Abb.
1(b)).
Die von der Kathode emittierten Elektronen fliegen durch den
Hohlraumresonator. Je nachdem wann die Elektronen den Hohlraumresonator
erreichen, werden sie dort vom elektrischen Feld beschleunigt
oder abgebremst – bzw. wenn gerade kein Feld vorhanden ist, flie-
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1 MIKROWELLEN µW 3
gen sie unverändert weiter (Geschwindigkeitsmodulation). Eine negativ
geladene Platte (Reflektor) hinter dem Hohlraumresonator reflektiert
die verschieden schnellen Elektronen zurück zum Hohlraumresonator.
Wie nahe die Elektronen dem Reflektor vor der Reflexion kommen
können hängt von ihrer kinetischen Energie, d.h. Geschwindigkeit
ab. Bei geeigneter Wahl der Ladung des Reflektors wird erreicht, dass
alle Elektronen zum gleichen Zeitpunkt wieder im Hohlraumresonator
ankommen (Dichtemodulation). 1 Durch weitere Abstimmung des
Systems erreicht man, dass der Schwingunszustand des Hohlraumresonators
beim Eintreffen der entstandenen Elektronenpakete gerade
so ist, dass die Elektronenpakete das Feld verstärken, indem sie ihre
Energie an das Feld abgeben, also abgebremst werden. Das durch die
Elektronen immer weiter verstärkte, schwingende elektrische Feld im
Hohlraumresonator wirkt nun als Quelle für Mikrowellen.
1.2 Erzeugung durch ein Magnetron
Ein Megnetron kann als eine Folge in Reihe geschalteter Hohlraumresonatoren
aufgefasst werden. Erreichen die Elektronen immer zum
gerade richtigen Schwingungszustand die Hohlraumresonatoren, so
verstärken sie alle Hohlraumresonatoren und führen somit zu einer
höheren Leistung der erzeugten Mikrowellen. Entscheidend ist dabei,
dass die Hohlraumresonatoren nicht in einer Gerade nebeneinander,
sondern im Kreis um eine Kathode in der Mitte angeordnet sind (vgl.
Abb. 2). Ein magnetisches Feld senkrecht zur kreisförmigen Anord-
Abbildung 2: a) Aufbau eines Magnetrons, b) elektrisches Feld schwingt
zwischen + und − (aus Anleitung).
nung bewirkt, dass die Elektronen die Hohlraumresonatoren nacheinander
passieren. Bei geeigneten Einstellungen erreicht man wieder,
dass die Elektronen ihre Energie an das elektrische Feld der Hohlraumresonatoren
abgeben.
1 Schnellere Elektronen werden später reflektiert, d.h. sie überholen die langsameren
irgendwann – bei richtiger Einstellung genau im Hohlraumresonator.
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1 MIKROWELLEN µW 4
1.3 Lecherleitung
Mikrowellen können interessanterweise auf zueinander parallelen Leitungen
geführt werden (Lecherleitung). Modelliert man die beiden
Leitungen durch Induktivitäten und Kapazitäten (vgl. Abb. 3).
Abbildung 3: a) Lecherleitung und b) Modellierung (aus Skript zur Physik
II von A. Fäßler).
Abbildung 4: Schaltbilder zur Herleitung der Telegraphengleichungen (aus
Skript zur Physik II von A. Fäßler).
Aus dem Schaltbild 4 der Lecherleitung erhält man mit Hilfe der
Knotenregel zwei Gleichungen für den Strom
I1(x) = IK(x) + I1(x + dx) = C ˙ U(x) + I1(x + dx)
I2(x) = −IK(x) + I2(x + dx) = −C ˙ U(x) + I2(x + dx)
Mit I(x) := (I1(x) − I2(x))/2 folgt
⇒ dI(x)
dx
I(x) = C ˙ U(x) + I(x + dx)
= I(x + dx) − I(x)
dx
= −C ˙ U(x)
dx
Wir definieren ˜ C := C/dx als die Kapazität pro Längeneinheit und
erhalten
dI(x)
dx = − ˜ C ˙ U(x) (1)
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Aus der Maschenregel (vgl. Abb. 4 b)) folgt
⇒ dU(x)
dx
0 = L ˙
I1(x) + U(x + dx) − L ˙
I2(x) − U(x)
= U(x + dx) − U(x)
dx
= L ˙
I2(x) − L ˙ I1(x) 2LI(x) ˙
= −
dx
dx .
Mit ˜ L := 2L/dx als Induktivität pro Längeneinheit ergibt sich
dU(x)
dx = −˜ L ˙
I(x) (2)
Um die Differentialgleichungen (1) und (2) zu entkoppeln, wird (1)
nach x abgeleitet und mit (2) umgeformt und umgekehrt, sodass man
die Telegraphengleichungen erhält:
dU
dx2 − ˜ C ˜ LÜ = 0
dI
dx2 − ˜ C ˜ LÏ = 0
Aus dem Ansatz ebener Wellen U(x, t) = U0 sin(kx − ωt) und
I(x, t) = I0 sin(kx − ωt) folgt
dU
dx 2 = −U0k 2 sin(kx − ωt), Ü = −U0ω 2 sin(kx − ωt).
Einsetzen in die Telegraphengleichungen ergibt
−k 2 + ˜ C ˜ Lω 2 = 0 ⇒ ω
k = vWelle = 1
.
˜C L˜
Setzt man den Ansatz in (1) ein, so folgt
I0k cos(kx − ωt) = ˜ CU0ω cos(kx − ωt)
⇒ Z := U0
=
I0
k
ω ˜ C =
˜C L˜
˜C =
˜L
˜C .
1.4 Abschließen einer Lecherleitung
Wenn man die Lecherleitung an einem Ende kurzschließt, werden
die Wellen dort reflektiert und man erhält somit stehende Wellen.
Folglich erhält man den selben Effekt wie bei der Verschiebung einer
als Reflektor wirkenden Metallplatte: Die stehenden Wellen verschieben
sich mit dem Metallbügel, da man am Metallpügel einen
Spannungsknoten(U = 0) hat. Beim Empfänger bekommt man also
abwechselnd Minima und Maxima.
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2 VERSUCH UND AUSWERTUNG µW 6
2 Versuch und Auswertung
2.1 Sendekeule eines Mikrowellensenders
Die Intensität der Mikrowellen eines Mikrowellensenders wird in Abhängigkeit
vom Winkel zum Hauptmaximum der Strahlung gemessen. Die
Intensitätskurve nimmt wie zu erwarten mit zunehmendem Winkel
ab. Die Halbwertsbreite des Mikrowellensenders beträgt 15.
2.2 Wellenlänge in Luft
Die Mikrowellen werden an einer Metallplatte reflektiert, so dass stehende
Wellen entstehen. Misst man mit einem Empfänger die Abstände
der Minima (Knoten), so lässt sich daraus unmittelbar die Wellenlänge
bestimmen. Es stellt sich als sinnvoll heraus, den Empfänger festzusetzen
und die Platte zu verschieben. Wir erhalten als durchschnittliche
Wellenlänge λ = 4, 03cm.
2.3 Wellenlänge auf einer Lecherleitung
Eine Lecherleitung wird in einem Winkel von 45 zum Hauptmaximum
des Senders angebracht, so dass die Wellen des Senders nicht
die Messung beeinträchtigen. Mit dem Empfänger werden die Intensitätsminima
entlang der Lecherleitung abgesucht und deren Abstand
zur Berechnung der durchschnittlichen Wellenlänge verwendet. Wir
erhalten λ = 3, 15cm.
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