Simulation eines Quantencomputers - JavaPsi
Simulation eines Quantencomputers - JavaPsi
Simulation eines Quantencomputers - JavaPsi
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<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong><br />
<strong>Quantencomputers</strong><br />
J. Metzner, M. Schmittfull<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.1/34
Ziele des Projekts<br />
Entwicklung einer leistungsfähigen und<br />
effizienten <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong><br />
(QC) als Grundlage für die Weiterentwicklung<br />
neuer Algorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.2/34
Ziele des Projekts<br />
Entwicklung einer leistungsfähigen und<br />
effizienten <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong><br />
(QC) als Grundlage für die Weiterentwicklung<br />
neuer Algorithmen<br />
Untersuchung, Implementierung und<br />
Visualisierung spezieller Quanten-Algorithmen<br />
zur Lösung elementarer und komplexer Probleme<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.2/34
Ziele des Projekts<br />
Entwicklung einer leistungsfähigen und<br />
effizienten <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong><br />
(QC) als Grundlage für die Weiterentwicklung<br />
neuer Algorithmen<br />
Untersuchung, Implementierung und<br />
Visualisierung spezieller Quanten-Algorithmen<br />
zur Lösung elementarer und komplexer Probleme<br />
Konstruktion experimenteller Umsetzungen<br />
mittels linearer Optik<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.2/34
Anforderungen an die <strong>Simulation</strong><br />
Universalität und Flexibilität<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.3/34
Anforderungen an die <strong>Simulation</strong><br />
Universalität und Flexibilität<br />
interaktive Beeinflussung von<br />
Runtime-Parametern<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.3/34
Anforderungen an die <strong>Simulation</strong><br />
Universalität und Flexibilität<br />
interaktive Beeinflussung von<br />
Runtime-Parametern<br />
hohe Performance<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.3/34
Anforderungen an die <strong>Simulation</strong><br />
Universalität und Flexibilität<br />
interaktive Beeinflussung von<br />
Runtime-Parametern<br />
hohe Performance<br />
übersichtliche grafische Visualisierung<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.3/34
Funktionsweise und <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong><br />
<strong>Quantencomputers</strong><br />
Qubits: kleinste Informationseinheit, komplexe<br />
Amplituden, Superpositionen möglich<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.4/34
Funktionsweise und <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong><br />
<strong>Quantencomputers</strong><br />
Qubits: kleinste Informationseinheit, komplexe<br />
Amplituden, Superpositionen möglich<br />
Register: Speicherung mehrerer Qubits,<br />
Basiszustände, <strong>Simulation</strong> durch Array oder<br />
verkette Liste<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.4/34<br />
¡
Funktionsweise und <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong><br />
<strong>Quantencomputers</strong><br />
Qubits: kleinste Informationseinheit, komplexe<br />
Amplituden, Superpositionen möglich<br />
Register: Speicherung mehrerer Qubits,<br />
Basiszustände, <strong>Simulation</strong> durch Array oder<br />
verkette Liste<br />
Gatter: reversible Operationen auf dem Register,<br />
zusammensetzbar aus universellen Gattern,<br />
<strong>Simulation</strong> durch Amplitudenvertauschung<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.4/34<br />
¡
Funktionsweise und <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong><br />
<strong>Quantencomputers</strong><br />
Qubits: kleinste Informationseinheit, komplexe<br />
Amplituden, Superpositionen möglich<br />
Register: Speicherung mehrerer Qubits,<br />
Basiszustände, <strong>Simulation</strong> durch Array oder<br />
verkette Liste<br />
Gatter: reversible Operationen auf dem Register,<br />
zusammensetzbar aus universellen Gattern,<br />
<strong>Simulation</strong> durch Amplitudenvertauschung<br />
Messungen: zerstören Superpositionen,<br />
Ergebnisausgabe für den Anwender<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.4/34<br />
¡
Quantenalgorithmen<br />
Folge von Gattern, die auf bestimmte Bits des<br />
Registers angewandt werden<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.5/34
Quantenalgorithmen<br />
Folge von Gattern, die auf bestimmte Bits des<br />
Registers angewandt werden<br />
schnelleres Lösen von Problemen als klassische<br />
PCs durch Quanten-Parallelismus (Beeinflussung<br />
von<br />
Register)<br />
¡ Zuständen durch nur eine Operation auf<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.5/34
Quantenalgorithmen<br />
Folge von Gattern, die auf bestimmte Bits des<br />
Registers angewandt werden<br />
schnelleres Lösen von Problemen als klassische<br />
PCs durch Quanten-Parallelismus (Beeinflussung<br />
von<br />
Register)<br />
¡ Zuständen durch nur eine Operation auf<br />
Entwicklung neuer Algorithmen mit günstigerer<br />
experimenteller Umsetzung<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.5/34
Quantenalgorithmen<br />
Folge von Gattern, die auf bestimmte Bits des<br />
Registers angewandt werden<br />
schnelleres Lösen von Problemen als klassische<br />
PCs durch Quanten-Parallelismus (Beeinflussung<br />
von<br />
Register)<br />
¡ Zuständen durch nur eine Operation auf<br />
Entwicklung neuer Algorithmen mit günstigerer<br />
experimenteller Umsetzung<br />
Abstraktion bestimmter Methoden, die für die<br />
Entwicklung effizienter Quanten-Algorithmen<br />
benötigt werden, z.B. mehrfache<br />
Hadamard-Gatter, ,<br />
Quanten-Fourier-Transformation QFT<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.5/34
Quantenalgorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> und genaue Analyse der folgenden<br />
Algorithmen:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.6/34
Quantenalgorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> und genaue Analyse der folgenden<br />
Algorithmen:<br />
Deutsch-Algorithmus (Münzproblem)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.6/34
Quantenalgorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> und genaue Analyse der folgenden<br />
Algorithmen:<br />
Deutsch-Algorithmus (Münzproblem)<br />
Jozsa-Algorithmus (verallgemeinertes<br />
Münzproblem)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.6/34
Quantenalgorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> und genaue Analyse der folgenden<br />
Algorithmen:<br />
Deutsch-Algorithmus (Münzproblem)<br />
Jozsa-Algorithmus (verallgemeinertes<br />
Münzproblem)<br />
Quanten-Fourier-Transformation QFT<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.6/34
Quantenalgorithmen<br />
<strong>Simulation</strong> und genaue Analyse der folgenden<br />
Algorithmen:<br />
Deutsch-Algorithmus (Münzproblem)<br />
Jozsa-Algorithmus (verallgemeinertes<br />
Münzproblem)<br />
Quanten-Fourier-Transformation QFT<br />
Shor-Algorithmus (Primfaktorzerlegung)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.6/34
Problemstellung<br />
anschaulich: bestimme die Echtheit einer<br />
Münze,<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.7/34
Problemstellung<br />
anschaulich: bestimme die Echtheit einer<br />
Münze,<br />
mathematisch: berechne<br />
Addition modulo 2 bzw. XOR ist und<br />
¤<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
,<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
¢ , wobei<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.7/34
Problemstellung<br />
anschaulich: bestimme die Echtheit einer<br />
Münze,<br />
mathematisch: berechne<br />
Addition modulo 2 bzw. XOR ist und<br />
¤<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
,<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
¢ , wobei<br />
Verwende<br />
d.h. die<br />
Funktion bzw. die Münze nur ein einziges Mal.<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
£ ,<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.7/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¡<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(0) Der Anfangszustand ist<br />
¡<br />
¡<br />
¦<br />
¢<br />
¡<br />
£<br />
©¢¡<br />
£ .<br />
¡<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(1) Die beiden Hadamard-Gatter führen zu<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¢<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
©¢¡<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(2) Das -Gatter führt zum Vorzeichenwechsel<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
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£<br />
¢<br />
¦<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
¢ ¤<br />
¡ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(2) Bit<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
¡ befindet sich also im Zustand<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
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¢<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
©<br />
¢ ¤<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(3) Anwendung des Hadamard-Gatters auf das<br />
führt zu<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¢<br />
¡<br />
©<br />
¢<br />
£ ¤<br />
¡<br />
¡ -Bit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(4) Ergibt die Messung von<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¡ 0,<br />
so gilt<br />
und die Münze ist falsch. Misst man 1, so gilt<br />
©<br />
¢ und die Münze ist echt.<br />
¡<br />
¦<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34<br />
¤<br />
¦<br />
¢<br />
©<br />
¤<br />
¢
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
Der Deutsch-Algorithmus<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¢ ¢<br />
(0) (1) (2) (3)<br />
(4) Die Echtheit der Münze kann also mit Sicherheit<br />
abgelesen werden!<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¡<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.8/34
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¢<br />
¦<br />
¡<br />
£<br />
© ¡<br />
£<br />
¢<br />
¤<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
£<br />
©<br />
¤<br />
£<br />
¢<br />
¤<br />
¦<br />
¦<br />
¢<br />
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¢<br />
£<br />
¤<br />
¦<br />
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£<br />
¢<br />
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¡<br />
¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
¦<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¦<br />
£<br />
£<br />
©<br />
¤<br />
£<br />
¢<br />
¤<br />
¦<br />
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¦<br />
¢<br />
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¢<br />
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¤<br />
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£<br />
¢<br />
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¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
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¤<br />
£<br />
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¤<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
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¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¦ ©<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
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¦<br />
¦<br />
¢<br />
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¢<br />
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¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¦ ©<br />
©<br />
¦<br />
©<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
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¤<br />
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¦<br />
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¢<br />
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£<br />
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¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
Zustand des Registers vor :<br />
¦<br />
Beispiel:<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¦ ©<br />
¦ ©<br />
©<br />
¦<br />
©<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
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£ und<br />
¤<br />
£<br />
¢<br />
¤<br />
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¦<br />
¦<br />
¦<br />
¢<br />
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¡<br />
¢<br />
¢<br />
£ gilt<br />
¤<br />
¦<br />
¤<br />
¦<br />
£<br />
© . Wegen<br />
£ tauschen ihr Vorzeichen,<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.9/34<br />
£<br />
©<br />
©<br />
£<br />
¨
Der Vorzeichenwechsel von<br />
also ist der Zustand nach<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
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¢<br />
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£<br />
©<br />
¢<br />
£<br />
©<br />
¢<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.10/34<br />
©<br />
©<br />
¢ ¨<br />
£
Der Vorzeichenwechsel von<br />
also ist der Zustand nach<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
¡<br />
¢<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
£<br />
¦<br />
¦<br />
©<br />
©<br />
Durchführen mit allen anderen Funktionen<br />
führt zu folgenden Vorzeichenvertauschungen:<br />
-Amplituden-Vertauschungen<br />
¦<br />
0<br />
1<br />
¢<br />
©<br />
©<br />
£<br />
©<br />
¢<br />
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¤<br />
¦ ©<br />
¦<br />
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£<br />
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¢<br />
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£<br />
¢<br />
£<br />
©<br />
¢<br />
©<br />
£<br />
¦ ©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.10/34<br />
©<br />
©<br />
¢ ¨<br />
£
Visualisierung der -Operation<br />
Diese Vorzeichenwechsel werden in der<br />
<strong>Simulation</strong> durch Farbwechsel visualisiert, indem<br />
jeder Phase der komplexen Zahlenebene eine<br />
Farbe zugeordnet wird:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.11/34
Die Visualisierung von<br />
komplexe Zahlenebene<br />
−1<br />
i<br />
−i<br />
1<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.12/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Problemstellung<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.13/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Problemstellung<br />
entscheide welche der beiden möglichen<br />
Alternativen der Eingabefunktion<br />
¤<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
<br />
¡<br />
©<br />
¥¦<br />
¨<br />
vorliegt:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.13/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Problemstellung<br />
entscheide welche der beiden möglichen<br />
Alternativen der Eingabefunktion<br />
¤<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
<br />
¡<br />
©<br />
¥¦<br />
¨<br />
vorliegt:<br />
entweder ist konstant (alle Eingaben<br />
werden auf gleiche Ausgabe abgebildet)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.13/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Problemstellung<br />
entscheide welche der beiden möglichen<br />
Alternativen der Eingabefunktion<br />
¤<br />
©<br />
¥§¦<br />
¨<br />
<br />
¡<br />
©<br />
¥¦<br />
¨<br />
vorliegt:<br />
entweder ist konstant (alle Eingaben<br />
werden auf gleiche Ausgabe abgebildet)<br />
oder ist balanciert (Hälfte der Eingaben<br />
wird auf , die andere Hälfte auf<br />
¦<br />
© abgebildet)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.13/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Algorithmus<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.14/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Anfangszustand ist<br />
¦<br />
¦<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.15/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Anfangszustand ist<br />
Hadamard-Gatter auf alle Qubits führt zu<br />
Superposition aller Basiszutände<br />
¦<br />
¦<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.15/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Anfangszustand ist<br />
Hadamard-Gatter auf alle Qubits führt zu<br />
Superposition aller Basiszutände<br />
führt zu Vorzeichenwechseln<br />
¦<br />
¦<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.15/34
Jozsa-Algorithmus<br />
Anfangszustand ist<br />
Hadamard-Gatter auf alle Qubits führt zu<br />
Superposition aller Basiszutände<br />
führt zu Vorzeichenwechseln<br />
¦<br />
¦<br />
¤<br />
¤<br />
Hadamard-Gatter auf alle Bits bis auf das letzte<br />
(y-Bit) löst die Superposition auf, das Register ist<br />
im Zustand<br />
©<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
¤¥<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
¦¥<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
©<br />
¢<br />
¤<br />
¦<br />
¢<br />
©<br />
£<br />
©<br />
¢<br />
¦¨§<br />
¤<br />
©<br />
£<br />
<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.15/34<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¢
Jozsa-Algorithmus<br />
Anfangszustand ist<br />
Hadamard-Gatter auf alle Qubits führt zu<br />
Superposition aller Basiszutände<br />
führt zu Vorzeichenwechseln<br />
¦<br />
¦<br />
¤<br />
¤<br />
Hadamard-Gatter auf alle Bits bis auf das letzte<br />
(y-Bit) löst die Superposition auf, das Register ist<br />
im Zustand<br />
©<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
¤¥<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
Messung des Registers ergibt<br />
¢ ¡<br />
konstant, sonst ist<br />
¢<br />
¦¥<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
©<br />
¢<br />
¤<br />
¦<br />
¢<br />
¢ ¡<br />
balanciert<br />
©<br />
£<br />
¦<br />
©<br />
¢<br />
£<br />
¦¨§<br />
¤<br />
¤<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
<br />
¦<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.15/34<br />
¦<br />
£<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¢
Quanten-Fourier-Transformation<br />
Die QFT ist eine Transformation, die das Prinzip des<br />
Hadamard-Gatters verallgemeinert, um aus Superposi-<br />
tionszuständen Informationen beim Messen zu erhal-<br />
ten<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.16/34
Quanten-Fourier-Transformation<br />
Amplituden<br />
transformiert mit<br />
¡<br />
¢¢¡<br />
¤<br />
¡ ¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¨<br />
¡<br />
©<br />
£<br />
£<br />
¥<br />
¢ werden zu<br />
£ £ £<br />
¡<br />
¡<br />
¤<br />
£<br />
§<br />
¦¥<br />
£<br />
¡<br />
¨<br />
¢<br />
¡ ¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.16/34<br />
¨<br />
¢<br />
£<br />
£<br />
¢
¦<br />
£<br />
wobei<br />
sind<br />
Quanten-Fourier-Transformation<br />
QFT auf Standardbasis-Vektoren<br />
¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¨<br />
¢¡<br />
©<br />
£ :<br />
¥<br />
£ £ £<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
die diskret Fourier-Transformierten von<br />
¡ ¥<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¡<br />
¢¡<br />
¡ ¥<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
£ ¨<br />
¤<br />
¥<br />
§<br />
¡<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.16/34<br />
£<br />
¨<br />
¢<br />
£<br />
¡<br />
£
Quanten-Fourier-Transformation<br />
Algorithmus:<br />
mit<br />
¡<br />
¤<br />
¤<br />
¦<br />
©<br />
¤<br />
¥<br />
¦<br />
§<br />
¨<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.16/34
Der Shor-Algorithmus<br />
Problemstellung:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.17/34
Der Shor-Algorithmus<br />
Problemstellung:<br />
Primfaktorzerlegung einer (großen) natürlichen<br />
Zahl in nicht-exponentieller Zeit,<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.17/34
Der Shor-Algorithmus<br />
Problemstellung:<br />
Primfaktorzerlegung einer (großen) natürlichen<br />
Zahl in nicht-exponentieller Zeit,<br />
alle bekannten klassischen Algorithmen<br />
benötigen exponentielle Zeit,<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.17/34
Der Shor-Algorithmus<br />
Problemstellung:<br />
Primfaktorzerlegung einer (großen) natürlichen<br />
Zahl in nicht-exponentieller Zeit,<br />
alle bekannten klassischen Algorithmen<br />
benötigen exponentielle Zeit,<br />
die RSA-Verschlüsselung (z.B. in PGP) beruht<br />
auf der Annahme, dass die Primfaktorzerlegung<br />
großer Zahlen nur in exponentieller Zeit<br />
ausführbar ist.<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.17/34
Primfaktorzerlegung der Zahl n<br />
mit Hilfe der Periode r<br />
(PC) Wähle zufällig ein<br />
ggT<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¤<br />
© ,<br />
¡<br />
¥<br />
¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¨<br />
©<br />
mit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.18/34
Primfaktorzerlegung der Zahl n<br />
mit Hilfe der Periode r<br />
(PC) Wähle zufällig ein<br />
ggT<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¤<br />
(QC) ermittle die Periode<br />
,<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
© ,<br />
¡<br />
von<br />
¥<br />
¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
¨<br />
¢<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
©<br />
¦<br />
mit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.18/34
Primfaktorzerlegung der Zahl n<br />
mit Hilfe der Periode r<br />
(PC) Wähle zufällig ein<br />
ggT<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¤<br />
(QC) ermittle die Periode<br />
,<br />
¡<br />
¢<br />
(PC) falls<br />
£<br />
© ,<br />
¡<br />
von<br />
ungerade ist gehe zu Schritt 1,<br />
¥<br />
¨<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
¨<br />
¢<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
©<br />
¦<br />
mit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.18/34
Primfaktorzerlegung der Zahl n<br />
mit Hilfe der Periode r<br />
(PC) Wähle zufällig ein<br />
ggT<br />
¡ ¨<br />
¢<br />
¤<br />
(QC) ermittle die Periode<br />
,<br />
¡<br />
¢<br />
(PC) falls<br />
£<br />
© ,<br />
¡<br />
von<br />
ungerade ist gehe zu Schritt 1,<br />
(PC) berechne ggT<br />
ggT<br />
ergibt, gehe zu 1. Schritt. Sonst gebe echten<br />
Teiler aus,<br />
¡<br />
¨<br />
©<br />
© ¨<br />
¡<br />
¨<br />
© ¨<br />
¥<br />
¨<br />
¤<br />
¤<br />
¢ und<br />
¢ . Wenn sich kein echter Teiler<br />
¤<br />
¡<br />
¨<br />
¢<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
©<br />
¦<br />
mit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.18/34
Beispiel<br />
Wähle<br />
¡<br />
¤<br />
£ ,<br />
¡<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.19/34
Beispiel<br />
Wähle<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¤<br />
£ ,<br />
¡<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
1 7 4 13 1 7 4 13<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.19/34
Beispiel<br />
Wähle<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¤<br />
£ ,<br />
¡<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
1 7 4 13 1 7 4 13<br />
Periode von<br />
¡<br />
¢<br />
¤<br />
¤<br />
£<br />
¦<br />
¡<br />
¢<br />
¢<br />
£<br />
©<br />
ist<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.19/34<br />
¤<br />
¡ ,
Beispiel<br />
Wähle<br />
ggT<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
¡<br />
¤<br />
£ ,<br />
¡<br />
0 1 2 3 4 5 6 7<br />
1 7 4 13 1 7 4 13<br />
Periode von<br />
©<br />
©<br />
¨<br />
¤<br />
¡<br />
<br />
¡ .<br />
©<br />
¢<br />
¤<br />
¡<br />
¢<br />
¤<br />
¤<br />
und ggT<br />
£<br />
¦<br />
¡<br />
¢<br />
©<br />
¢<br />
£<br />
¨<br />
¡<br />
©<br />
ist<br />
©<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.19/34<br />
¤<br />
¤<br />
¡ ,<br />
¡
Effiziente Periodenbestimmung<br />
Alle Schritte bis auf die Periodenbestimmung<br />
sind auf klassischem PC effizient durchführbar<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.20/34
Effiziente Periodenbestimmung<br />
Alle Schritte bis auf die Periodenbestimmung<br />
sind auf klassischem PC effizient durchführbar<br />
QC nur zur Periodenbestimmung notwendig<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.20/34
Effiziente Periodenbestimmung<br />
Alle Schritte bis auf die Periodenbestimmung<br />
sind auf klassischem PC effizient durchführbar<br />
QC nur zur Periodenbestimmung notwendig<br />
Problemstellung: Finde Periode<br />
Funktion<br />
die mit<br />
werden kann<br />
¤<br />
¡ ¨<br />
¤<br />
¥¦<br />
£<br />
¨<br />
¤<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
¨<br />
¡ ¨<br />
£<br />
<br />
¥§¦<br />
¨<br />
¤<br />
¡<br />
¤<br />
¢<br />
£ zugegriffen<br />
¤<br />
¨<br />
einer<br />
©<br />
auf<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.20/34
Algorithmus zur Periodenbestimmung<br />
Algorithmus mit zweigeteiltem Register (<br />
¡<br />
¢<br />
¢<br />
¤£<br />
und<br />
£<br />
£ mit<br />
£<br />
¤<br />
¡<br />
¢<br />
¢<br />
£<br />
Bits)<br />
¡<br />
£ mit<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.21/34<br />
¡<br />
¤
Periodenbestimmung<br />
Analyse für Beispiel<br />
¤<br />
©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.22/34
Periodenbestimmung<br />
Analyse für Beispiel<br />
Anfangszustand ist<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
¦<br />
©<br />
£<br />
¦<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.22/34
Periodenbestimmung<br />
Analyse für Beispiel<br />
Anfangszustand ist<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
¦<br />
Hadamard-Gatter führen zur Superposition<br />
¡<br />
£<br />
¤<br />
©<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
¤<br />
¦<br />
©<br />
<br />
<br />
£<br />
<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
¢ ¨<br />
£<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.22/34<br />
£<br />
¤<br />
¦<br />
£
Periodenbestimmung<br />
führt zu<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
© ¡<br />
£<br />
¦¥<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
¦<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
©<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.23/34
Periodenbestimmung<br />
führt zu<br />
das heißt<br />
© ¡<br />
¦<br />
£<br />
©<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¤<br />
© ¡<br />
£<br />
¦¥<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
¦<br />
©<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
©<br />
£<br />
©<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.23/34<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£
Periodenbestimmung<br />
Messung von<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£ führt für<br />
¦<br />
¡<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
£ zu einem der Zustände<br />
¦ ©<br />
©<br />
©<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
©<br />
©<br />
©<br />
©<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¢<br />
¢<br />
¢<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.24/34
Periodenbestimmung<br />
QFT führt für<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¦<br />
¦<br />
¡<br />
£ zu einem der Zustände<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
©<br />
©<br />
©<br />
©<br />
£<br />
£<br />
¢<br />
¢<br />
£<br />
£<br />
¢<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.24/34
Periodenbestimmung<br />
QFT führt für<br />
Messung von<br />
Periode<br />
¤<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¦<br />
¦<br />
¡<br />
£ zu einem der Zustände<br />
¦<br />
¦<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£<br />
£ ¡<br />
liefert ein £<br />
©<br />
£<br />
¨<br />
£ ¡<br />
¨<br />
£<br />
¦<br />
¡<br />
Vielfaches der<br />
, nämlich<br />
oder .<br />
©<br />
©<br />
©<br />
©<br />
£<br />
£<br />
¢<br />
¢<br />
£<br />
£<br />
¢<br />
¢<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.24/34
Die Rolle der QFT<br />
Nach ist das Register in einem<br />
Superpositionszustand aus dem<br />
werden kann<br />
¤<br />
¡ abgelesen<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.25/34
Die Rolle der QFT<br />
Nach ist das Register in einem<br />
Superpositionszustand aus dem<br />
werden kann<br />
aber: die Information über<br />
zerstört!<br />
¤<br />
¡ abgelesen<br />
wird durch Messen<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.25/34
Die Rolle der QFT<br />
Nach ist das Register in einem<br />
Superpositionszustand aus dem<br />
werden kann<br />
aber: die Information über<br />
zerstört!<br />
¤<br />
¡ abgelesen<br />
wird durch Messen<br />
Lösung: QFT führt einen Basiswechsel des<br />
Superpositionszustands aus, sodass abgelesen<br />
werden kann<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.25/34
Die Rolle der QFT<br />
Nach ist das Register in einem<br />
Superpositionszustand aus dem<br />
werden kann<br />
aber: die Information über<br />
zerstört!<br />
¤<br />
¡ abgelesen<br />
wird durch Messen<br />
Lösung: QFT führt einen Basiswechsel des<br />
Superpositionszustands aus, sodass abgelesen<br />
werden kann<br />
die QFT führt dabei zu einer Beseitigung des<br />
störenden Offsets der Superposition nach<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.25/34
Die Rolle der QFT<br />
Ein Zustand<br />
die Periode<br />
zu<br />
wobei ¤<br />
¡<br />
¡<br />
„versteckt“, (<br />
£<br />
£ die Anzahl der Basiszustände des<br />
©<br />
¡¥<br />
<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
£ mit störendem Offset<br />
¡ , der<br />
¤<br />
¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
¢<br />
¦<br />
¡<br />
) wird durch die QFT<br />
£ -Registers ist, auf das die QFT angewandt wird<br />
§<br />
¢<br />
£<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
¨<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.26/34
Die Rolle der QFT<br />
Wendet man die QFT auf eine Superposition<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
£<br />
Zuständen der Form<br />
(<br />
¥§¦<br />
¨<br />
© ¨<br />
©<br />
<br />
¤<br />
¤<br />
¡<br />
¤<br />
¡¥<br />
¨<br />
©<br />
<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
£<br />
¤<br />
¥<br />
¡¥<br />
<br />
§<br />
©<br />
<br />
¨<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
<br />
<br />
¡<br />
£<br />
) an, so erhält man also<br />
¡<br />
§<br />
¢<br />
¥<br />
¡<br />
¦§<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¥<br />
¡<br />
¤<br />
£<br />
£<br />
¥<br />
£<br />
¡<br />
§<br />
¤<br />
¨<br />
¥<br />
§<br />
§<br />
¢<br />
¨<br />
¦<br />
§<br />
¡<br />
§<br />
§<br />
©<br />
¢<br />
§<br />
¢<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
¢<br />
£<br />
von<br />
¢<br />
¢<br />
£<br />
£<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.27/34<br />
¤
Die Rolle der QFT<br />
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand<br />
nun<br />
da<br />
©<br />
¤<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
¨<br />
§<br />
¢<br />
§<br />
¢<br />
¦§<br />
¡<br />
¦§<br />
¡<br />
¥<br />
¡<br />
¤<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
© gilt<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
£ zu messen ist<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¥<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.28/34<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡
Die Rolle der QFT<br />
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand<br />
nun<br />
©<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
¢<br />
¦§<br />
¡<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
nach der QFT hat der störende Offset<br />
§<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
£ zu messen ist<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¥<br />
§<br />
¨<br />
¡<br />
§<br />
§<br />
§<br />
kei-<br />
nen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung der<br />
messbaren Zustände<br />
Die Wahrscheinlichkeiten für<br />
¢<br />
£ !<br />
¢<br />
£<br />
hängen nur von der<br />
Anzahl der Basiszustände und von der Periode<br />
£<br />
ab<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.28/34<br />
¡
Die Rolle der QFT<br />
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand<br />
nun<br />
©<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
¢<br />
¦§<br />
¡<br />
Beseitigen des Offsets<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡<br />
¡<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
£ zu messen ist<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
wird in der <strong>Simulation</strong><br />
durch die Rotation der jeweiligen Basisvektoren sehr<br />
gut veranschaulicht<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¥<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.28/34<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡
Die Rolle der QFT<br />
Die Wahrscheinlichkeit den Zustand<br />
nun<br />
©<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
¢<br />
¦§<br />
¡<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¦¥<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
©<br />
¢<br />
£ zu messen ist<br />
Die Analogie zur klassischen Fouriertransformation<br />
wird deutlich, da sie angewandt auf eine periodische<br />
Funktion als Ausgabe ebenfalls die Periode (bzw. Fre-<br />
quenz) dieser Funktion liefert<br />
¥<br />
¡<br />
£<br />
£<br />
£<br />
¡<br />
¤<br />
¥<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.28/34<br />
§<br />
¨<br />
§<br />
§<br />
§<br />
£<br />
¡
Experimentelle Umsetzungen<br />
Repräsentation mit linearer Optik:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.29/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
Deutsch-Algorithmus mit zwei Wegen und<br />
Polarisation:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.29/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
Deutsch-Algorithmus mit vier Wegen:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.29/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
Aufbau im Experiment (gesamt):<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.30/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
Aufbau im Experiment (optischer Teil):<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.30/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
erhaltene Interferenzbilder durch Drehen von Plätt-<br />
chen in Strahlengang:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.30/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
erhaltene Interferenzbilder durch Drehen von Plätt-<br />
chen in Strahlengang:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.30/34
Experimentelle Umsetzungen<br />
erhaltene Interferenzbilder durch Drehen von Plätt-<br />
chen in Strahlengang:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.30/34
Ausblick<br />
Implementierung weiterer Algorithmen:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.31/34
Ausblick<br />
Implementierung weiterer Algorithmen:<br />
Lösungsalgorithmus des order finding<br />
Problems<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.31/34
Ausblick<br />
Implementierung weiterer Algorithmen:<br />
Lösungsalgorithmus des order finding<br />
Problems<br />
Suchalgorithmus von Grover<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.31/34
Ausblick<br />
Implementierung weiterer Algorithmen:<br />
Lösungsalgorithmus des order finding<br />
Problems<br />
Suchalgorithmus von Grover<br />
spezielle Algorithmen zur<br />
Phasenverschiebung<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.31/34
Ausblick<br />
Implementierung weiterer Algorithmen:<br />
Lösungsalgorithmus des order finding<br />
Problems<br />
Suchalgorithmus von Grover<br />
spezielle Algorithmen zur<br />
Phasenverschiebung<br />
¤<br />
¤<br />
¤<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.31/34
Ausblick<br />
Untersuchung verschiedener vermutlich<br />
NP-vollständiger Probleme z.B.<br />
traveling-salesman-problem (in Verbindung mit<br />
Grover-Suche, Suche nach der minimalen<br />
Rundreise)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.32/34
Ausblick<br />
Untersuchung verschiedener vermutlich<br />
NP-vollständiger Probleme z.B.<br />
traveling-salesman-problem (in Verbindung mit<br />
Grover-Suche, Suche nach der minimalen<br />
Rundreise)<br />
Finden neuer experimenteller Umsetzungen von<br />
Algorithmen (z.B. QFT, Shor-Algorithmus)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.32/34
Ausblick<br />
Untersuchung verschiedener vermutlich<br />
NP-vollständiger Probleme z.B.<br />
traveling-salesman-problem (in Verbindung mit<br />
Grover-Suche, Suche nach der minimalen<br />
Rundreise)<br />
Finden neuer experimenteller Umsetzungen von<br />
Algorithmen (z.B. QFT, Shor-Algorithmus)<br />
Quantenkryptographie<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.32/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
Deutsch-XOR-Algorithmus (mit optischer<br />
Repräsentation) (2 Bits)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
Deutsch-XOR-Algorithmus (mit optischer<br />
Repräsentation) (2 Bits)<br />
Deutsch-Jozsa-Algorithmus (3 und 4 Bits)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
Deutsch-XOR-Algorithmus (mit optischer<br />
Repräsentation) (2 Bits)<br />
Deutsch-Jozsa-Algorithmus (3 und 4 Bits)<br />
QFT (3 und 4 Bits)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
Deutsch-XOR-Algorithmus (mit optischer<br />
Repräsentation) (2 Bits)<br />
Deutsch-Jozsa-Algorithmus (3 und 4 Bits)<br />
QFT (3 und 4 Bits)<br />
Shor-Algorithmus (8 Bits)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
Implementierte plattformunabhängige <strong>Simulation</strong><br />
<strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> mit neuen, sehr<br />
effizienten <strong>Simulation</strong>salgorithmen für alle<br />
universellen Gatter<br />
konkrete <strong>Simulation</strong> folgender Algorithmen:<br />
Deutsch-XOR-Algorithmus (mit optischer<br />
Repräsentation) (2 Bits)<br />
Deutsch-Jozsa-Algorithmus (3 und 4 Bits)<br />
QFT (3 und 4 Bits)<br />
Shor-Algorithmus (8 Bits)<br />
beliebig komplexe Algorithmen direkt<br />
simulierbar<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.33/34
Ergebnisse des Projekts<br />
neue experimentelle Umsetzungen für den<br />
Deutsch-Algorithmus gefunden, aufgebaut und<br />
getestet aus Anregung durch die <strong>Simulation</strong><br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.34/34
Ergebnisse des Projekts<br />
neue experimentelle Umsetzungen für den<br />
Deutsch-Algorithmus gefunden, aufgebaut und<br />
getestet aus Anregung durch die <strong>Simulation</strong><br />
schnelles Testen neuer Algorithmen oder<br />
Ideen möglich<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.34/34
Ergebnisse des Projekts<br />
neue experimentelle Umsetzungen für den<br />
Deutsch-Algorithmus gefunden, aufgebaut und<br />
getestet aus Anregung durch die <strong>Simulation</strong><br />
schnelles Testen neuer Algorithmen oder<br />
Ideen möglich<br />
neue, übersichtliche Visualisierung der<br />
Amplituden des Registers und der Qubits, sowie<br />
der Operationen der Gatter<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.34/34
Ergebnisse des Projekts<br />
neue experimentelle Umsetzungen für den<br />
Deutsch-Algorithmus gefunden, aufgebaut und<br />
getestet aus Anregung durch die <strong>Simulation</strong><br />
schnelles Testen neuer Algorithmen oder<br />
Ideen möglich<br />
neue, übersichtliche Visualisierung der<br />
Amplituden des Registers und der Qubits, sowie<br />
der Operationen der Gatter<br />
deutlich besseres Verständnis der<br />
Funktionsweise der Algorithmen als in<br />
mathematischem Formalismus (für<br />
QC-Vorlesungen?)<br />
<strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.34/34
Ergebnisse des Projekts<br />
neue experimentelle Umsetzungen für den<br />
Deutsch-Algorithmus gefunden, aufgebaut und<br />
getestet aus Anregung durch die <strong>Simulation</strong><br />
schnelles Testen neuer Algorithmen oder<br />
Ideen möglich<br />
neue, übersichtliche Visualisierung der<br />
Amplituden des Registers und der Qubits, sowie<br />
der Operationen der Gatter<br />
deutlich besseres Verständnis der<br />
Funktionsweise der Algorithmen als in<br />
mathematischem Formalismus (für<br />
QC-Vorlesungen?)<br />
sehr gute Hilfe zur Ideengebung für neue<br />
Algorithmen <strong>Simulation</strong> <strong>eines</strong> <strong>Quantencomputers</strong> – p.34/34
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