Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi
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1 EINFÜHRUNG 6<br />
Die Folge der Picard-Iterierten (λi(t))i∈N = (λ(t))i∈N ist also wieder eine<br />
konstante Funktionenfolge. λ(t) ist als Grenzwert dieser konstanten<br />
Funktionenfolge die Lösungsfunktion des AWP (4).<br />
Wir sehen also: Wenn f nur von t abhängt, ist die Folge der Picard-<br />
Iterierten eine konstante Funktionenfolge, die gegen die Lösung kon-<br />
”<br />
vergiert“. Der Gr<strong>und</strong> dafür ist, dass wir durch Berechnung der Picard-<br />
Iterierten eigentlich direkt die Integralgleichung der jeweiligen DGL gelöst<br />
haben, denn<br />
Z t<br />
f (t,λi(t)) = f (t,λi−1(t)) ⇒ x0 +<br />
Beispiel 3<br />
t0<br />
f (s,λi(s))ds<br />
<br />
λi+1(t)<br />
Z t<br />
= x0 +<br />
f (s,λi−1(s))ds .<br />
t0 <br />
λi(t)<br />
Nun ein Beispiel, in dem f von x abhängt <strong>und</strong> daher die Folge der Picard-<br />
Iterierten nicht konstant ist. Für α ∈ R betrachten wir das AWP<br />
Für die Picard-Iterierten gilt dann:<br />
λ0(t) = x0<br />
λ1(t) = x0 +<br />
˙x = f (t,x) = αx, x(t0) = x0. (5)<br />
Z t<br />
t0<br />
Z t<br />
αx0 ds = x0 + αx0<br />
Z t<br />
λ2(t) = x0 + α · x0(1 + α(s −t0)) ds<br />
t0<br />
<br />
= x0 + αx0 s + α<br />
2 (s −t0) 2 t<br />
= x0 + αx0(t −t0) + α2x0 2<br />
(t −t0)<br />
<br />
2<br />
1 + α(t −t0) + α2 (t −t0) 2 <br />
= x0<br />
λ3(t) = ··· = x0<br />
.<br />
λi(t) = x0 ·<br />
i<br />
∑<br />
j=0<br />
<br />
1 + α(t −t0) + α2 (t −t0) 2<br />
α j (t −t0) j<br />
.<br />
j!<br />
2<br />
t0<br />
t0<br />
ds = x0 (1 + α(t −t0))<br />
2<br />
+ α3 (t −t0) 3 <br />
2 · 3<br />
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007