Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi
Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi
Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi
Sie wollen auch ein ePaper? Erhöhen Sie die Reichweite Ihrer Titel.
YUMPU macht aus Druck-PDFs automatisch weboptimierte ePaper, die Google liebt.
2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 16<br />
Z 1 2,5 (0,0) := [−2, 2] × [−5, 5]<br />
<br />
I2(0) K1 5 (0)<br />
.<br />
f ist offenbar stetig. Zudem genügt f einer globalen Lipschitz-Bedingung:<br />
Seien (t,x), (t,y) ∈ Z 1 2,5 (0,0), d.h. t ∈ I2(0) <strong>und</strong> x,y ∈ K 1 5 (0). Dann gilt<br />
|x| ≤ 5, |y| ≤ 5 <strong>und</strong> daher<br />
| f (t,x) − f (t,y)| = x 2 −t − y 2 +t = |(x + y)(x − y)| = |x + y||x − y|<br />
≤ (|x| + |y|) · |x − y| ≤ (5 + 5) · |x − y| = 10 · |x − y|,<br />
d.h. f ist Lipschitz-stetig mit der Lipschitz-Konstanten L = 10. Also besitzt<br />
das AWP (19) eine eindeutige Lösung λ(t), deren Definitionsintervall<br />
[−α,α] es noch zu bestimmen gilt. Der Wert von | f (t,x)| = x 2 −t <br />
ist im Punkt (−2, 5) maximal (minimales t, maximales x 2 ), d.h.<br />
Also gilt<br />
M = max<br />
(t,x)∈Z | f (t,x)| = f (−2, 5) = 52 − (−2) = 27.<br />
<br />
α = min a, r<br />
<br />
M<br />
<br />
= min 2, 5<br />
<br />
27<br />
= 5<br />
27<br />
d.h. die Lösung λ(t) ist auf dem Intervall [−5/27, 5/27] definiert. Bildet<br />
man die Folge der Picard-Iterierten, so konvergiert diese auf dem Intervall<br />
[−5/27, 5/27] gegen die Lösung des AWP (vgl. Abbildung).<br />
x(t)<br />
4<br />
2<br />
0<br />
–2<br />
–4<br />
–2 –1 0 1 2<br />
Abbildung 3: Vereinfachte Riccati-DGL (19) mit Anfangsbedingungen x(0) ∈<br />
{3,2,1,0,−1,−2,−3}.<br />
t<br />
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007