Differentialgleichungen I: Existenz und Eindeutigkeit - JavaPsi

2 DER SATZ VON PICARD-LINDELÖF 14
der Integranden gleichmäßig konvergent ist. Auf Grund der Lipschitz-
Stetigkeit von f bezüglich x gilt für alle s ∈ Iα(t0)
f (s,λi(s)) − f (s,λ(s)) ≤ Lλi(s) − λ(s) → 0 für i → ∞,
d.h. die Folge (17) ist wie die Folge (λi)i∈N gleichmäßig konvergent.
Also sind Integration und Grenzwertbildung vertauschbar, d.h. λ(t) ist
Lösung des AWP (7).
2.1.5 Schritt 5: Eindeutigkeit der Lösung
Zuletzt gilt es noch zu beweisen, dass die gefundene Lösung λ(t) eindeutig
ist. Hierzu nehmen wir an, neben λ(t) gäbe es eine von λ(t) verschiedene
Lösung µ(t) des AWP (7) auf Iα(t0). Sei also ein letztes Mal
t ∈ Iα(t0). Mit vollständiger Induktion beweisen wir die Abschätzung
i
i−1 |t −t0|
µ(t) − λi−1(t) ≤ ML
i!
= M
L
L i |t −t0| i
i!
(18)
weil dann die Folge ((M/L)·L i |t −t0| i /i!)i∈N als Folge der Summanden
der konvergierenden Exponentialreihe eine Nullfolge bildet und somit
µ(t) − λi−1(t) → 0 für i → ∞ gilt.
Da Abschätzung (18) mit der Abschätzung (14) aus Schritt drei übereinstimmt,
wenn man λi durch µ ersetzt, ist der Beweis von (18) dem
Beweis von (14) sehr ähnlich (statt der Iterationsgleichung (10) für λi
verwendet man die Integralgleichung (9) für µ, da µ als Lösung des AWP
(9) erfüllt):
Für den Induktionsanfang i = 1 gilt wegen λ0(t) := x0
µ(t) − λ0(t) (9)
=
Z t
t0
f (s,µ(s))ds
(12)
≤
Z t
t0
M ds
= M |t −t0|.
Gelte nun Abschätzung (18) für i ∈ N (Induktionsannahme). Dann gilt
Version: 25. April 2007 Marcel Schmittfull, Dmitrij Sauermilch: Proseminar Analysis I am 17. April 2007