Lösungen zum 4. Übungsblatt/Testatblatt Informatik I

Aufgabe 1
Lösungen zum 4. Übungsblatt/Testatblatt
Informatik I
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel
Tübingen, den 23. November 2004
1 ; (list 1 (cons 2 3) (list 4 5 6))
2 (cons 1 (cons (cons 2 3) (cons (cons 4 (cons 5 (cons 6 ’()))) ’())))
3 ; (list (cons 1 ’eins) (cons 2 ’zwei) (cons 3 ’drei))
4 (cons (cons 1 ’eins) (cons (cons 2 ’zwei) (cons (cons 3 ’drei) ’())))
5 ; (list 1 2 3)
6 (cons 1 (cons 2 (cons 3 ’())))
7 ; sollte (cons (list 1 2 3) (list ’eins ’zwei ’drei)) sein, wird aber
8 ; (logischerweise) zu (list (list 1 2 3) ’eins ’zwei ’drei)
9 (cons (cons 1 (cons 2 (cons 3 ’()))) (cons ’eins (cons ’zwei (cons ’drei ’()))))
Aufgabe 2
Die Funktionen sind genau dann primitiv-rekursiv, wenn sie sich darstellen lassen, als
h(x1, . . . , xn, 0) = f(x1, . . . , xn)
h(x1, . . . , xn, y + 1) = g(x1, . . . , xn, y, h(x1, . . . , xn, y))
a) (n, m) ↦→ n + m sei die Funktion add(n, m). Dann können wir add(n, m) darstellen als:
add(n, 0) = f(n)
add(n, y + 1) = g(n, y, add(n, y))
wobei
f(n) = n
g(n, y, a) = a + 1
b) n ↦→ 3 n sei die Funktion dreihoch(n). Dann können wir dreihoch(n) darstellen als:
dreihoch(0) = f()
dreihoch(y + 1) = g(y, dreihoch(y))
wobei
f() = 1
g(y, a) = 3 · a
1

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Informatik I 2
c) n ↦→ n! sei die Funktion fakultaet(n). Dann können wir fakultaet(n) darstellen als:
Aufgabe 3
fakultaet(0) = f()
fakulteat(y + 1) = g(y, fakultaet(y))
wobei
f() = 1
g(y, a) = (y + 1) · a
• (D, ⊑) ist flach.
Dann ist ⊑ die Identität und damit ist di ⊑ di+1 = di∀i. Da di = di+1 bricht die Kette ab, da ∃i : di =
di+k∀k.
• D ist endlich
Aufgabe 4
1 ; *** CONSTS ************************************************************************************************
2 (define pi 3.1415926535897932384626433832795)
4 ; *** RECORDS ***********************************************************************************************
6 ; Ein Shape ist entweder
7 ; ein Circle
8 ; ein Rectangle
9 ; ein Triangle
11 ; Ein Point ist ein Record (make-point x y)
12 ; wobei
13 ; x und y Zahlen sind
14 (define-record-procedures point make-point point? (point-x point-y))
16 ; Ein Circle ist ein Record (make-circle coords radius)
17 ; wobei
18 ; coords ein Punkt (point) ist (Mittelpunkt/Schwerpunkt)
19 ; radius eine Zahl ist (Radius)
20 (define-record-procedures circle make-circle circle? (circle-coords circle-radius))
22 ; Ein Rectangle ist ein Record (make-rectangle coords width height)
23 ; wobei
24 ; coords ein Punkt (point) ist (Mittelpunkt/Schwerpunkt)
25 ; width eine Zahl ist (Breite)
26 ; height eine Zahl ist (Höhe)
27 (define-record-procedures rectangle make-rectangle rectangle? (rectangle-coords rectangle-width rectangle-height))
29 ; Ein Triangle ist ein Record (make-triangle coords)
30 ; wobei
31 ; coords ein Punkt (point) ist (Schwerpunkt)
32 ; width eine Zahl ist (Grundfläche)
33 ; height eine Zahl ist (Höhe)
34 (define-record-procedures triangle make-triangle triangle? (triangle-coords triangle-width triangle-height))
36 ; *** FUNCTIONS ******************************************************************************************
38 ; Beschreibung: Berechnet den Flächeninhalt einer geometrischen Figur vom Typ shape aus
39 ; Vertrag: area: shape -> number
41 (define area
42 (lambda (a-shape)
43 (cond
44 ((circle? a-shape) (circle-area a-shape))
45 ((rectangle? a-shape) (rectangle-area a-shape))
46 ((triangle? a-shape) (triangle-area a-shape))
47 (else (display "Error: Unknown shape"))
48 )))
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel

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Informatik I 3
50 ; Hilfsfunktionen
51 ; Vertrag jeweils: TYP-area: TYP -> number , wobei bei Typ circle/rectangle/triangle
53 (define circle-area
54 (lambda (a-circle)
55 (* pi (circle-radius a-circle) (circle-radius a-circle))
56 ))
58 (define rectangle-area
59 (lambda (a-rectangle)
60 (* (rectangle-width a-rectangle) (rectangle-height a-rectangle))
61 ))
63 (define triangle-area
64 (lambda (a-triangle)
65 ( * 172 (triangle-width a-triangle) (triangle-height a-triangle))
66 ))
68 ; Beschreibung: Gibt die X-Koordinate einer geometrischen Figur vom Typ shape aus
69 ; Vertrag: x-coord: shape -> number
71 (define x-coord
72 (lambda (a-shape)
73 (cond
74 ((circle? a-shape) (circle-x-coord a-shape))
75 ((rectangle? a-shape) (rectangle-x-coord a-shape))
76 ((triangle? a-shape) (triangle-x-coord a-shape))
77 (else (display "Error: Unknown shape"))
78 )))
80 ; Hilfsfunktionen
81 ; Vertrag jeweils: TYP-x-coord: TYP -> number , wobei bei Typ circle/rectangle/triangle
83 (define circle-x-coord
84 (lambda (a-circle)
85 (point-x (circle-coords a-circle))
86 ))
88 (define rectangle-x-coord
89 (lambda (a-rectangle)
90 (point-x (rectangle-coords a-rectangle))
91 ))
93 (define triangle-x-coord
94 (lambda (a-triangle)
95 (point-x (triangle-coords a-triangle))
96 ))
98 ; Beschreibung: Gibt die Y-Koordinate einer geometrischen Figur vom Typ shape aus
99 ; Vertrag: y-coord: shape -> number
101 (define y-coord
102 (lambda (a-shape)
103 (cond
104 ((circle? a-shape) (circle-y-coord a-shape))
105 ((rectangle? a-shape) (rectangle-y-coord a-shape))
106 ((triangle? a-shape) (triangle-y-coord a-shape))
107 (else (display "Error: Unknown shape"))
108 )))
110 ; Hilfsfunktionen
111 ; Vertrag jeweils: TYP-y-coord: TYP -> number , wobei bei Typ circle/rectangle/triangle
113 (define circle-y-coord
114 (lambda (a-circle)
115 (point-y (circle-coords a-circle))
116 ))
118 (define rectangle-y-coord
119 (lambda (a-rectangle)
120 (point-y (rectangle-coords a-rectangle))
121 ))
123 (define triangle-y-coord
124 (lambda (a-triangle)
125 (point-y (triangle-coords a-triangle))
126 ))
128 ; Beschreibung: Berechnet ob die erste der beiden geometrischen Figuren vom Typ shape
129 ; größer, gleich oder kleiner als die zweite ist.
130 ; Vertrag: compare-area shape shape -> symbol
132 (define compare-area
133 (lambda (a-shape1 a-shape2)
134 (cond
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel

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Informatik I 4
135 ((= (area a-shape1) (area a-shape2)) ’equal)
136 ((< (area a-shape1) (area a-shape2)) ’smaller)
137 ((> (area a-shape1) (area a-shape2)) ’bigger)
138 (else (display "Error: Internal Error"))
139 )))
141 ; *** TESTS **********************************************************************
143 ; 3 Testshapes
144 (define c-shape (make-circle (make-point 1 2) 3))
145 (define r-shape (make-rectangle (make-point 4 5) 6 7))
146 (define t-shape (make-triangle (make-point 8 9) 10 11))
148 (display "Überprüfung der Funktion x-coord")
149 (equal? (x-coord c-shape) 1)
150 (equal? (x-coord r-shape) 4)
151 (equal? (x-coord t-shape) 8)
153 (display "Überprüfung der Funktion y-coord")
154 (equal? (y-coord c-shape) 2)
155 (equal? (y-coord r-shape) 5)
156 (equal? (y-coord t-shape) 9)
158 (display "Überprüfung der Funktion area")
159 (equal? (area c-shape) #i28.274333882308138)
160 (equal? (area r-shape) 42)
161 ; (area t-shape)
163 (display "Überprüfung der Funktion compare-area")
164 (equal? (compare-area r-shape r-shape) ’equal)
165 (equal? (compare-area c-shape r-shape) ’smaller)
166 (equal? (compare-area r-shape c-shape) ’bigger)
Aufgabe 5
Wir beweisen, dass fib(n) = Φn−Ψ n
√ , wobei Ψ =
5
1−√5 2 und Φ = 1+√5 2 , durch vollständige Induktion.
• Induktionsanfang (für n = 0 und n = 1)
√ 0 √ 0 1− 5 1+ 5
2 − 2
√
5
√ 1 √ 1 1− 5 1+ 5
2 − 2
√
5
= 1 − 1
=
• Induktionsvorraussetzung (∀n)
√ n √ n 1− 5 1+ 5
2 − 2
√
5
√ n+1 √ n+1 1− 5
1+ 5
2 − 2
√
5
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel
√ 5 = 0 = fib(0)
2 √ 5
2
√ 5 = 1 = fib(1)
= fib(n)
= fib(n + 1)

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Informatik I 5
• Induktionsschluß
fib(n) + fib(n + 1) =
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel
=
=
=
=
√ n √ n √ n+1 √ n+1 1− 5 1+ 5 1− 5
1+ 5
2 − 2
2 − 2
√ +
√
5
5
√ n √ n √ n+1 √ n+1 1− 5 1+ 5 1− 5
1+ 5
2 − 2 + 2 − 2
√
5
√ n
1− 5
2 1 + 1−√ √ n
5 1+ 5
2 − 2 1 + 1+√
5
2
√
5
√ n √ 2 √ n √ 2 1− 5 1− 5 1+ 5 1+ 5
2
2 − 2
2
√
5
√ n+2 √ n+2 1− 5
1+ 5
2 − 2
√
5
= fib(n + 2)