4 Starrer Körper

d
dt
ri × pi =
ri ×
Fi
i
⇒ ˙ J = M
i
PN i=1 ri× Fi= M
P N
i=1 ri×pi= J
i.W.: Die zeitliche Änderung des Drehimpulses ist gleich dem Drehmoment.
Reine Rotation des starren Körpers:
Wie bereits erklärt, ist
Für R = 0 ergibt sich:
Damit erhält man:
Da gilt:
folgt:
J =
ri = R + r ′ i bzw. ˙ ri = ˙ R + ω × r ′ i
ri = r ′ i bzw. ˙ ri = ω × r ′ i
N
ri × pi =
i=1
N
i=1
mir ′ i × (ω × r′ i )
a × (b × c) = (ac) · b − (a b)c,
J =
N
i=1
mir ′ 2
i ω − mir ′ i(r ′ iω)
Für die k-te Komponente von J erhält man:
beachte:
Jk =
3
δkℓ = 1
ℓ=1
N
i=1
mi
r ′ 2
i
3
3
δkℓωℓ − x
ℓ=1
′ ik x
ℓ=1
′ iℓωℓ 103