4 Starrer Körper

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Z l * cos vartheta l vartheta mg Abbildung 53: A = B = C Figurenachse Z’ p, q, r werden wie bekannt durch die Eulerwinkel ausgedrückt. Einsetzen in T liefert: p = ˙ ϑ cos ψ + ˙ φ sin ϑ sin ψ q = − ˙ ϑ sin ψ + ˙ φ sin ϑ cos ψ r = ˙ φ cos ϑ + ˙ ψ L = 1 2 A( ˙ ϑ 2 + ˙ φ 2 sin 2 ϑ) + 1 2 C( ˙ φ cos ϑ + ˙ ψ) 2 − W cos ϑ φ und ψ kommen in L nicht vor; deshalb gibt es zwei Konstanten der Bewegung: ∂L ∂ ˙ φ = const. = pϕ = A sin 2 ϑ ˙ φ + C( ˙ φ cos ϑ + ˙ ψ) cos ϑ (78) ∂L ∂ ˙ ψ = const. = Pψ = C( ˙ φ cos ϑ + ˙ ψ) (79) 111 y
Statt der Lagrange-Gleichung für ϑ und ˙ ϑ, benutzen wir den Energiesatz: E = T + U = 1 2 A( ˙ ϑ 2 + ˙ φ 2 sin 2 ϑ) + 1 2 C( ˙ φ cos ϑ + ˙ ψ) 2 + W cos ϑ a) Mit Hilfe von Pϕ und Pψ werden ˙ φ und ˙ ψ elliminiert: Pϕ = A sin 2 ϑ ˙ φ + C cos 2 ϑ ˙ φ + C cos ϑ ˙ ψ Einsetzen in E liefert: Pψ = C cos ϑ ˙ φ + C ˙ ψ ⇒ ˙ φ = P φ − cos ϑP ψ A sin 2 ϑ ˙ψ = Pψ C − cos ϑ ˙ φ · − cos ϑ E = 1 2 A ˙ ϑ 2 + (Pϕ − cos ϑPψ) 2 2A sin 2 + ϑ (Pψ) 2 + W cos ϑ 2C Damit ergibt sich für ˙ϑ 2 = 2 E − A (Pϕ − cos ϑPψ) 2 2A sin2 − ϑ P 2 ϕ 2C Da ˙ ϑ = dϑ dt bzw. dt = dϑ ˙ ϑ ist, folgt: t − t0 = ϑ ϑ0 2 A − W cos ϑ E − (Pϕ − cos ϑPψ) 2 2A sin2 2 (Pψ) − − W cos ϑ ϑ 2C −1/2 dϑ Damit hat man t − t0 = F (ϑ) bzw. ϑ = F −1 (t − t0). Analog erhält man aus Pϕ und Pψ entsprechende Gleichungen für φ und ψ. 112
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Seite 3 und 4: II. Rotation (Eulerwinkel): Man leg
Seite 5 und 6: X a) b) c) ω 1 Z ω 3 Abbildung 51
Seite 7 und 8: i ε Abbildung 52: 2. Rotation: Wir
Seite 9 und 10: folgt: Allgemein ist Jk = N i=1 mi
Seite 11 und 12: 4.2 Die Euler’schen Gleichungen D
Seite 13 und 14: A ˙p + (C − B)qr = 0 B ˙q + (A
Seite 15: p = p0 cos q = p0 sin C − A A r0
Seite 19 und 20: d2r m dt2 K + ω × m d dr + (
Seite 21 und 22: ω = (− cos ϕ · ω, 0, sin ϕ
Seite 23 und 24: Lösungsansatz: ⇒ ¨x = −g x +

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