4 Starrer Körper

Beispiel: Freie Rotation ( M = 0)
Die Gleichungen vereinfachen sich zu:
“Energiesatz“ “Drehimpulssatz“
A ˙p + (C − B)qr = 0 ·p ·Ap
B ˙q + (A − C)pr = 0 ·q ·Bq
C ˙r + (B − A)pq = 0 ·r ·Cr
Aus diesen Gleichungen folgt sofort der Energiesatz, wenn diese gemäß o.a.
Vorschrift behandelt und addiert werden:
Ap ˙p + Bq ˙q + Cr ˙r = 0 = d 1
dt
⇒
Analog erhält man den Drehimpulssatz:
⇒
2 (Ap2 + Bq 2 + Cr 2 )
1
2 (Ap2 + Bq 2 + Cr 2 ) = const.
Rotationsenergie
A 2 p ˙p + B 2 q ˙q + C 2 r ˙r = 0 = d 1
dt 2 (A2p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 )
1
2 (A2 p 2 + B 2 q 2 + C 2 r 2 ) = const.
J 2 =const.(Betrag des Drehimpulses zum Quadrat = konstant.)
Stabilität der Rotation
Behauptung:
Die Rotationen um die Achsen größten und kleinsten Trägheitsmomentes
sind stabil.
Beweis:
Wir betrachten die Rotation eines drei-achsigen Ellipsoides um die x ′ -Achse
im körperfesten System und lassen kleine Abweichungen zu. Für die Komponenten
von ω soll gelten:
p = p0 + π
q = 0 + ɛ
r = 0 + ρ
(π, ɛ, ρ sind kleine Abweichungen im Sinne der kleinen Schwingungen.)
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