4 Starrer Körper
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Berechnung der Rotationsenergie:<br />
T = 1<br />
2<br />
T = 1<br />
2<br />
<br />
i<br />
mi ˙ r 2 i mit: ˙ ri = ω × r ′ i<br />
<br />
mi(ω × r ′ i)(ω × r ′ i)<br />
i<br />
benutze (a × b)(c × d) = (ac)( b d) − (a d)( bc) T = 1<br />
N 3<br />
mi(r<br />
2<br />
′ 2<br />
i δkℓ − r ′ ikr ′ iℓ)ωkωℓ<br />
T = 1<br />
2<br />
i=1 k,ℓ=1<br />
3<br />
k,ℓ=1<br />
Nach Diagonalisierung hat man<br />
Rotation und Translation:<br />
Einsetzen in T liefert:<br />
Θkℓωkωℓ<br />
T = 1<br />
2 Ap2 + 1<br />
2 Bq2 + 1<br />
2 Cr2<br />
˙ri = ˙ R + ω × r ′ i<br />
T = 1<br />
N<br />
mi<br />
2<br />
i=1<br />
˙ ri = 1<br />
N<br />
˙R mi<br />
2<br />
i=1<br />
2<br />
+<br />
<br />
Translation<br />
1<br />
3<br />
N<br />
˙R(ω ωkΘkℓωell + mi × ri)<br />
2<br />
k,ℓ=1<br />
i=1<br />
<br />
Rotation<br />
N<br />
Wähle R ′ s<br />
˙r·ω×<br />
i=1<br />
mir ′ i<br />
<br />
M· R ′ s<br />
= 0, d.h. Nullpunkt des körperfesten Systems. Dann erhält man:<br />
T = 1<br />
2<br />
N<br />
i=1<br />
mi<br />
˙R 2 + 1<br />
2<br />
105<br />
<br />
k,ℓ<br />
Θkℓωkωℓ