Lösungen zum 3. Übungsblatt/Testatblatt Informatik I

Aufgabe 1
Lösungen zum 3. Übungsblatt/Testatblatt
Informatik I
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel
Tübingen, den 16. November 2004
1 ; Datendefinition/Analyse:
2 ; ========================
3 ; Der Tiger wird als Record repräsentiert:
4 ; (make-tiger AnzahlderZaehne LaengeDerKrallen ZuletztGrfressenePerson AnzahlStreifen)
5 ; Die Eigenschaften des Tigers:
6 ; AnzahlderZaehne: Anzahl der Zaehne des Tigers, Wert ist eine Zahl (number)
7 ; LaengeDerKrallen: Laenge der Krallen des Tigers in cm, Wert ist eine Zahl (number)
8 ; ZuletztGefressenePerson: Name der zuletzt gefressenen Person, Wer ist ein Symbol (symbol).
9 ; Wenn der Tiger noch niemand gegessen hat wird das Symbol ’niemand verwendet.
10 ; AnzahlStreifen: Anzahl der Streifen auf dem Fell des Tigers, Wert ist eine Zahl (number)
12 (define-record-procedures tiger
13 make-tiger
14 tiger?
15 (tiger-AnzahlDerZaehne
16 tiger-LaengeDerKrallen
17 tiger-ZuletztGefressenePerson
18 tiger-AnzahlStreifen))
20 ; Jetzt erzeugen wir mal einen normalen Zootiger und einen amerikanischen Präsidententiger
21 (define zoo-tiger (make-tiger 10 2 ’niemand 50))
22 (define usa-tiger (make-tiger 20 10 ’GeorgeWBush 100))
24 (display "Jetzt schauen wir erstmal ob unsere beiden Tiger überhaupt vom Record Typ Tiger sind")
25 (equal? (tiger? zoo-tiger) #t)
26 (equal? (tiger? usa-tiger) #t)
28 (display "Nun überprüfen wir noch ob der Zoo-Tiger derselbe ist wie der USA-Tiger (sollte ja nicht der Fall sein)")
29 (equal? zoo-tiger usa-tiger)
30 (display "und ob der zoo-tiger derselbe Tiger wie der (make-tiger 10 2 ’niemand 50) ist (sollte der Fall sein)")
31 (equal? zoo-tiger (make-tiger 10 2 ’niemand 50))
33 ; Nun definieren wir eine Funktion die einen Tiger gefährlicher macht.
34 ; Ein gefährlicher Tiger sei für uns ein Tiger der mehr Zähne und längere Krallen hat.
35 ; Anzahl der Streifen auf dem Fell ist eher was für einen Tiger-Beauty-wettbewerb und ob ein
36 ; Tiger schon jemand (einen Menschen) gefressen sagt auch nicht wirklich was über seine
37 ; Gefährlichkeit, da er ja vielleicht irgendwo lebt, wo es (fast) gar keine Menschen gibt.
39 ; Funktion "Mache-Gefaehrlicher!"
40 ; Vertrag: tiger -> tiger
41 (define Mache-Gefaehrlicher! (lambda (a-tiger) (make-tiger
42 (+ (tiger-AnzahlDerZaehne a-tiger) 2 )
43 (+ (tiger-LaengeDerKrallen a-tiger) 1 )
44 (tiger-ZuletztGefressenePerson a-tiger)
45 (tiger-AnzahlStreifen a-tiger)
46 )))
48 (display "Ein gefährlicher Zootiger sollte 12 Zähne und 3 cm lange Krallen haben.")
49 (equal? (Mache-Gefaehrlicher! zoo-tiger) (make-tiger 12 3 ’niemand 50))
Aufgabe 2
Heiners Freudin Eva Lu Ator hat natürlich Recht, da Scheme beim Auswerten des heiner-if zuerst alle Operanden
komplett auswertet und diese dann an die Funktion heiner-if übergibt. Das native if macht dies nicht.
1

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Informatik I 2
Es wertet zuerst nur den Test aus und macht dann einen der beiden „Operanden“ zum Wert der if Verzweigung
und Scheme wertet dann danach nur diesen aus. Das ganze hat 2 Auswirkungen: Zum einem muss
natürlich Scheme beim heiner-if viel unnützes arbeiten, da Dinge ausgewertet werden, die später nicht gebraucht
werden. Zum anderen aber kann es gut sein, das z.B. mache Dinge gar nicht ausgewertet werden
können (z.B. Division durch 0) und so das Programm gar nicht funktioniert (siehe Beispiel, dort funtioniert
(Heiner-Reziprok 0) nicht!).
1 ; Heiner Hackers if-Prozedur
2 (define heiner-if
3 (lambda (test then-clause else-clause)
4 (if test then-clause else-clause)))
6 (display "Heiners Beispiele")
7 (equal? (heiner-if #t (* 6 7) 0) 42)
8 (equal? (heiner-if #f 43 23) 23)
10 ; Wir schreiben ein Programm das uns den Kehrwert einer Zahl zurückliefern soll.
11 ; Wenn die Zahl 0 ist, möchte wir das es 0 zurückliefert.
12 ; Beide Funktionen Reziprok und Heiner-Reziprok haben den Vetrag:
13 ; number -> number
14 (define Reziprok (lambda (zahl)
15 (if (= 0 zahl)
16 0
17 (/ 1 zahl)
18 )))
20 (define Heiner-Reziprok (lambda (zahl)
21 (heiner-if (= 0 zahl)
22 0
23 (/ 1 zahl)
24 )))
26 (display "Nun testen wir beide Funktionen")
27 (display "mit dem Wert 5 sollte 1/5 rauskommen")
28 (equal? (Reziprok 5) 1/5)
29 (equal? (Heiner-Reziprok 5) 1/5)
30 (display "mit dem Wert -3 sollte -1/3 rauskommen")
31 (equal? (Reziprok -3) -1/3)
32 (equal? (Heiner-Reziprok -3) -1/3)
33 (display "mit dem Wert 0 sollte 0 rauskommen")
34 (equal? (Reziprok 0) 0)
35 (equal? (Heiner-Reziprok 0) 0)
Aufgabe 3
• reflexiv ⇔ ∀a ∈ A : aρa
Das heißt für alle Terme t einer Termalgebra muss gelten : t passt zu t
Damit dies gilt, muss eine Substitution σ, so dass σ(t) = t. Sei σ die Identität, dann ist σ(t) = t, also
reflexiv.
• transitiv ⇔ aus aρb und bρc folgt aρc
Das heißt für die Terme a, b, c einer Termalgebra gilt: a passt zu b, b passt zu c, also gibt es zwei Substitutionen
σ1, σ2, so dass σ1(b) = a und σ2(c) = b. Wie man sieht muss also σ1(σ2(c)) = a sein, also ist σ3 die
Verkettung von σ1 mit σ2, d.h. es gibt eine Substition σ3(c) = a und damit passt a zu c.
• nicht antisymmetrisch ⇔ aus aρb und bρa folgt nicht a = b
Das heißt aus a passt zu b und b passt zu a folgt nicht a gleich b. Es gibt also ein σ, so dass σ(b) = a und
σ(a) = b. Nehmen wir an, wir haben 2 Terme a(x) und a(h) mit x = h und σ : x → h, h → x. Dann gilt:
a(x) passt zu a(h), da σ(a(h)) = a(x) und
a(h) passt zu a(x), da σ(a(x)) = a(h).
Da aber a(x) = a(h), weil x = h wegen Vorraussetzung, ist passt zu also nicht antisymmetrisch.
Aufgabe 4
1 ; Datendefinition/Analyse:
2 ; ========================
3 ; Die Quadratische Funktion wird als Record dargestellt.
4 ; (make-binom a b c)
5 ; Die Eigenschaften der Quadratische Funktion sind:
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel

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Informatik I 3
6 ; a: Erster Koeffizient der Funktion (vor dem x^2), Wert ist eine Zahl (number)
7 ; b: Zweiter Koeffizient der Funktion (vor dem x), Wert ist eine Zahl (number)
8 ; b: Dritter Koeffizient der Funktion, Wert ist eine Zahl (number)
9 (define-record-procedures binom
10 make-binom
11 binom?
12 (binom-a
13 binom-b
14 binom-c))
16 ; Jetzt erzeugen wir 3 Beispielfunktionen
17 (define binom1 (make-binom 1 2 3))
18 (define binom2 (make-binom -3 -2 -1))
19 (define binom3 (make-binom 3 10 7))
21 (display "Jetzt überprüfen wir ob die beiden Binome vom Typ binom sind")
22 (equal? (binom? binom1) #t)
23 (equal? (binom? binom2) #t)
25 (display "Jetzt schauen wir ob beide Binome diesselbe sind (sollte nicht der Fall sein)")
26 (equal? binom1 binom2)
27 (display "und ob binom1 dasselbe Binom wie (make-binom 1 2 3)-Tiger ist (sollte der Fall sein)")
28 (equal? binom1 (make-binom 1 2 3))
30 ; Funktion zur Auswertung eines Binoms
31 ; Die Funktion hat 2 Parameter:
32 ; Binom: Die Funktion in welcher der X-Wert ausgewertet werden soll.
33 ; x: Den X-Wert an dem die Funktion ausgewertet werden soll.
34 ; Vertrag:
35 ; WerteAus: binom number -> number
36 (define WerteAus (lambda (a-binom a-x)
37 (+
38 (* (binom-a a-binom) a-x a-x)
39 (* (binom-b a-binom) a-x)
40 (binom-c a-binom)
41 )))
43 (display "2 Beispiele, die beide #t ergeben sollten")
44 (equal? (WerteAus binom1 1) 6)
45 (equal? (WerteAus binom2 3) -34)
47 ; Funktionen zur Bestimmung der Nullstellen eines Binoms
48 ; !! Das übergebene Binom muss 2 reelle Nullstellen besitzten !!
49 ; Die Funktion hat 1 Paramter:
50 ; Binom: Die Funktion deren Nullstellen ausgerechnetet werden sollen
51 ; Vertrag:
52 ; Nullstellen: binom -> number
53 (define Nullstelle1 (lambda (a-binom)
54 (/ (+ (- (binom-b a-binom))
55 (sqrt (- (* (binom-b a-binom) (binom-b a-binom))
56 (* 4 (binom-a a-binom) (binom-c a-binom)))))
57 (* 2 (binom-a a-binom)))
58 ))
60 (define Nullstelle2 (lambda (a-binom)
61 (/ (- (- (binom-b a-binom))
62 (sqrt (- (* (binom-b a-binom) (binom-b a-binom))
63 (* 4 (binom-a a-binom) (binom-c a-binom)))))
64 (* 2 (binom-a a-binom)))
65 ))
68 (display "Wir überprüfen die Funktion am Beispield es Binoms 3x^2+10x+7. Es sollte -1 und -7/3 rauskommen")
69 (equal? (Nullstelle1 binom3) -1)
70 (equal? (Nullstelle2 binom3) -7/3)
72 ; Funktion zur Addition Quadratischer Funktionen
73 ; Die Funktion hat 2 Paramter
74 ; Binom1, Binom 2: Die beiden zu addieren Binome
75 ; Vertrag
76 ; AddiereBinom: binom binom -> binom
77 (define AddiereBinom (lambda (a-binom b-binom)
78 (make-binom
79 (+ (binom-a a-binom) (binom-a b-binom))
80 (+ (binom-b a-binom) (binom-b b-binom))
81 (+ (binom-c a-binom) (binom-c b-binom))
82 )))
84 (display "Wir testen die Funktion in dem wir binom1 und binom2 addieren. Es sollte -2x^2+0x+2 rauskommen.")
85 (equal? (AddiereBinom binom1 binom2) (make-binom -2 0 2))
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel

Lösungen zum 3. Übungsblatt/Testatblatt
Informatik I 4
Aufgabe 5
a) Infix-Schreibweise:
(3 + ((3 − 4) ∗ (1 + 2)))
b) Präfix-Schreibweise:
+ 3 ∗ − 3 4 + 1 2
c) Postfix-Schreibweise:
3 3 4 − 1 2 + ∗ +
d) Baumdarstellung:
Aufgabe 6
1 ; Datendefinition/Analyse:
2 ; ========================
3 ; Die Uhrzeit wird als Record repräsentiert:
4 ; (make-uhrzeit stunden minunten sekunden)
5 ; Die Eigenschaften der Uhrzeit:
6 ; stunden: Der Stundenanteil der Uhrzeit, Wert ist vom Typ Nummer (number)
7 ; minuten: Der Minutenanteil der Uhrzeit, Wert ist vom Typ Nummer (number)
8 ; sekunden: Der Sekundenanteil der Uhrzeit, Wert ist vom Typ Nummer (number)
9 (define-record-procedures uhrzeit
10 make-uhrzeit
11 uhrzeit?
12 (uhrzeit-stunden
13 uhrzeit-minuten
14 uhrzeit-sekunden
15 ))
17 ; Jetzt erzeugen wir 2 Testuhrzeiten
18 (define mittag (make-uhrzeit 12 0 0))
19 (define informatik (make-uhrzeit 17 10 30))
21 (display "Jetzt schauen wir erstmal ob unsere beiden Uhrzeiten überhaupt vom Record Typ Uhrzeit sind")
22 (equal? (uhrzeit? mittag) #t)
23 (equal? (uhrzeit? informatik) #t)
25 (display "Nun überprüfen wir noch ob mittag und informatik dasselbe ist (sollte ja nicht der Fall sein)")
26 (equal? mittag informatik)
27 (display "und ob mittag dieselbe Uhrzeit wie (make-uhrzeit 12 0 0) ist (sollte der Fall sein)")
28 (equal? mittag (make-uhrzeit 12 0 0))
30 ; Nun definieren wir eine Funktion die eine, in Sekunden angegene Zeitspanne (seit Mitternacht),
31 ; in eine Uhrzeit umrechnet
32 ; Funktion: Sekunden2Uhrzeit
33 ; Vertrag:
34 ; Sekunden2Uhrzeit: number -> uhrzeit
36 (define Sekunden2Uhrzeit (lambda
37 (a-sekunden)
38 (make-uhrzeit
39 (quotient a-sekunden 3600)
40 (quotient (remainder a-sekunden 3600) 60)
41 (remainder (remainder a-sekunden 3600) 60)
42 )))
44 (display "2 Tests obs die Funktion Sekunden2Uhrzeit funktioniert")
45 (equal? (Sekunden2Uhrzeit 3665) (make-uhrzeit 1 1 5))
46 (equal? (Sekunden2Uhrzeit 65533) (make-uhrzeit 18 12 13))
48 ; Nun definieren wir eine Funktion die eine Uhrzeit in die seit Mitternacht vergangenen Sekunden umrechnet
49 ; Funktion: Uhrzeit2Sekunden
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel

Lösungen zum 3. Übungsblatt/Testatblatt
Informatik I 5
50 ; Vertrag:
51 ; Uhrzeit2Sekunden: uhrzeit -> number
53 (define Uhrzeit2Sekunden (lambda
54 (a-uhrzeit)
55 (+
56 (* (uhrzeit-stunden a-uhrzeit) 3600)
57 (* (uhrzeit-minuten a-uhrzeit) 60)
58 (uhrzeit-sekunden a-uhrzeit)
59 )
60 ))
62 (display "2 Tests ob die Funktion Uhrzeit2Sekunden funktioniert")
63 (equal? (Uhrzeit2Sekunden (make-uhrzeit 1 1 5)) 3665)
64 (equal? (Uhrzeit2Sekunden (make-uhrzeit 18 12 13)) 65533)
David Borowsky, Tobias Müller
Gruppe Björn Appel