WS10 Alexander Schiele und Johannes Weis

Vorbereitung
Alexander Schiele
Theoretischer Hintergrund
Versuchsprotokoll Resonanz
Dieser Versuch befasst sich mit harmonischen Schwingungen, die allgemeine Differenzialgleichung
lautet:
2
¨x t 2 ˙xt 0 xt = f t
Diese Gleichung berücksichtigt Dämpfungen durch den Faktor , welche proportional zur
Geschwindigkeit sind. Außerdem wird auch eine treibende Kraft f(t) eingeschlossen.
Die Lösung einer solchen Gleichung erhält man als Linearkombination der allgemeinen homogenen
Lösung xht und einer partikulären Lösung x pt . Die homogene Lösung erhält man durch
den Ansatz xt =ce −t
. Es ergibt sich durch Lösen des charakteristischen Polynoms
1/ 2 =± 2 2
−0 . Man muss nun in drei Fälle trennen:
Kriechfall ( 0 ):
In diesem Fall ist der Radient >0, es ergeben sich für reelle Zahlen und die Lösung der
homogenen Differenzialgleichung lautet:
xht =e −t C 1e −2 2
− 0C
2e 2 2
−0 Aperiodischer Grenzfall ( = 0 ):
In diesem Fall wird die Wurzel 0. Daraus ergibt sich als Lösung:
x ht =C 11t⋅C 2e −t
Schwingfall ( 0 ):
Nun wird der Radient negativ, daraus ergeben sich für komplexe Lösungen und somit:
xht =e −t c 1e i 2 2
0−
tc2
e −i 2 2
0−
t=e−t 2 2
Acos 0−
t−
wobei in allen Fällen C 1 , C 2 , A und freie Konstanten sind, die durch die
Anfangsbedingungen bestimmt werden.
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