WS10 Alexander Schiele und Johannes Weis

Vorbereitung
Johannes Weis
Theoretischer Hintergrund
Versuchsprotokoll Resonanz
Bei den ersten vier Aufgaben wird ein sog. Pohlsches Rad verwendet, das eine Drehschwingung
ausführt und sich dabei wie ein harmonischer Oszillator verhält. Dabei liegt Energie in Form von
Bewegungsenergie und potentieller Energie vor.
Beim Pohlschen Rad wird die potentielle Energie in einer Schneckenfeder gespeichert, die das Rad
bei der Umdrehung abbremst und eine Rückstellkraft auf es ausübt. Das Rad kann wahlweise mit
einer Wirbelstrombremse verlangsamt oder mit einem externen Antrieb beschleunigt werden. Das
führt zur folgenden Differenzialgleichung:
¨t ˙t Dt =0
wobei ¨t das Reaktionsmoment, ˙t die bremsenden Momente der Reibung und der
Wirbelstrombremse und D t das zurücktreibende Moment der Schneckenfeder darstellen.
Die bekannte Gleichung des harmonischen Oszillators lautet:
2 ¨2 ˙ 0 =0 .
Für das Pohlsche Rad gilt hier: =
2 und 0= D
. β hängt hier sehr stark von der
Wirbelstrombremse ab. Ohne diese ist es nur klein und wird durch die Reibung bedingt. Im idealen
2
Fall ohne Reibung würde gelten: ¨ 0 =0
Diese Gleichung des harmonischen Oszillators mit Verzögerung lässt sich lösen durch den Ansatz:
t=c e −t
, wobei für λ gilt: 1/ 2 =± 2 2
−0 2 2
. Außerdem ist = 0−
.
Für einen harmonischen Oszillator lassen sich drei verschiedene Fälle unterscheiden:
1) Schwingfall 0 : In diesem Fall schwingt der Oszillator mit sich durch die Dämpfung
verkleinernder Amplitude, aber gleicher Frequenz. Da ω in diesem Fall imaginär wird, gilt:
t=e − t c 1 e i t c 2 e −i t =e −t Acost . Die Konstanten c 1 , c 2 bzw. A sind
durch die Anfangsbedingungen des Systems festgelegt, ψ entspricht einer Phasenverschiebung.
2) Kriechfall 0 : Es gibt nun keine Schwingung, sondern nur ein langsames Abklingen in
den Ruhezustand. Für diesen Fall gilt: t= Ae −t c 1 e t c 2 e −t =e −t Acosh t
3) aperiodischer Grenzfall = 0 : Dies ist der schnellstmögliche Fall, in dem das System
− t
abklingen kann, ohne dass dabei eine Schwingung entsteht. Dafür gilt: t= A1t⋅Be
Im Falle eines äußeren Antriebs handelt es sich um eine erzwungene Schwingung, für die gilt:
2 ¨2 ˙ 0 = f t . Hierbei bildet sich die Lösung durch Zusammenaddieren einer
homogenen Lösung (für f(t)=0) und einer partikulären Lösung abhängig von f(t).
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