Mathematisches Pendel + Doppelpendel - I. Physikalisches Institut B
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Kapitel 1<br />
Mechanik<br />
1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem <strong>Pendel</strong><br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen <strong>Pendel</strong>s untersucht.<br />
Aus den Messungen der Schwingungsdauer des <strong>Pendel</strong>s wird die Erdbeschleunigung ermittelt.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung,<br />
Drehmoment, Trägheitsmoment, Satz von Steiner, Direktionsmoment, einfache lineare<br />
Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.83 - S.89<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 1<br />
ISBN 3-519-23001-1 S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung)<br />
• F.Kohlrausch : Praktische Physik 3<br />
ISBN 3-519-23000-3 S.293 - S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung)<br />
13
14 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.1.1 Das mathematische <strong>Pendel</strong><br />
Das einfache mathematische <strong>Pendel</strong> besteht aus einer punktförmigen, schweren Masse mS,<br />
die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist (Abb.1.1). In der Ruhelage bewirkt<br />
Abbildung 1.1: Das mathematische <strong>Pendel</strong><br />
die Schwerkraft Fg = mS · g mit g als Erdbeschleunigung, dass das <strong>Pendel</strong> senkrecht hängt.<br />
Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕmax (klein bedeutet hier<br />
sin ϕmax ≈ ϕmax) entsteht ein rückstellendes Drehmoment l · Fr, das das <strong>Pendel</strong> wegen seines<br />
Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet<br />
J · ¨ϕ = −mS · g · l · sin(ϕ) ≈ −mS · g · l · ϕ (1.1)<br />
wobei J = mT · l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse mT in der Entfernung l vom<br />
Aufhängepunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der<br />
momentane Auslenkwinkel und ¨ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit<br />
mT = mS (Einstein’sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse)<br />
wird die Bewegung unabhängig von den Massen :<br />
¨ϕ = − g<br />
l · ϕ = −ω2 · ϕ (1.2)
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem <strong>Pendel</strong> 15<br />
Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung<br />
eine harmonische Schwingung darstellt :<br />
ϕ(t) = A · cos(ωt) + B · sin(ωt) (1.3)<br />
ω = g<br />
l ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten<br />
A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕmax und ˙ϕ(t = 0) = 0 (Start der<br />
<strong>Pendel</strong>bewegung vom Auslenkwinkel ϕmax ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich<br />
Die Schwingungsdauer beträgt<br />
bzw.<br />
ϕ(t) = ϕmax · cos(ωt) (1.4)<br />
T = 2π<br />
ω<br />
= 2π ·<br />
<br />
l<br />
g<br />
(1.5)<br />
T 2 = 4π 2 · 1<br />
· l (1.6)<br />
g<br />
Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der <strong>Pendel</strong>länge l.<br />
1.1.2 Das physikalische <strong>Pendel</strong><br />
Die Bewegungsgleichung für ein physikalisches <strong>Pendel</strong>, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten<br />
Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal<br />
mit der des mathematischen <strong>Pendel</strong>s identisch :<br />
J · ¨ϕ = −m · g · ls · ϕ (1.7)<br />
Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz<br />
verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert<br />
ist. Demgemäss ist ls die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt<br />
S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Man<br />
erhält als Lösung wieder eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz:<br />
ω 2 =<br />
m · g · ls<br />
J<br />
Mit ω 2 = ( 2π<br />
T )2 wird die Schwingungsdauer T dann<br />
T 2 = 1<br />
g · 4π2 · J<br />
mls<br />
1.1.3 Bestimmung der Erdbeschleunigung<br />
(1.8)<br />
(1.9)<br />
Das vorliegende physikalische <strong>Pendel</strong> besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der <strong>Pendel</strong>stange<br />
und dem zylindrischen <strong>Pendel</strong>körper (Abb. 1.2). Um die Erdbeschleunigung g aus der<br />
<strong>Pendel</strong>frequenz zu bestimmen, müsste man also das gesamte Trägheitsmoment, Masse und
16 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.2: <strong>Pendel</strong> im Versuchsaufbau<br />
Schwerpunkt des <strong>Pendel</strong>s kennen. Im Prinzip kann man die Trägheitsmomente der einzelnen<br />
Bestandteile um die <strong>Pendel</strong>aufhängung bestimmen, und zum Gesamtträgheitsmoment<br />
zusammenaddieren. Den Schwerpunkt erhält man aus den Schwerpunkten der einzelnen Bestandteile,<br />
die man mit den Einzelmassen gewichtet mittelt:<br />
Sges =<br />
mi · Si<br />
mi<br />
(1.10)<br />
wobei Si die Schwerpunkte der Einzelteile, und mi ihre Massen sind. Dabei würde man<br />
die Bestandteile durch einfache geometrische Objekte annähern, deren Träg-heitsmomente<br />
und Schwerpunkte sich mit vernünftigem Aufwand berechnen lassen (<strong>Pendel</strong>körper durch<br />
homogenen Zylinder, Stange durch homogene Stange, Winkelaufnehmer durch Hohlzylinder).<br />
Eine einfachere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, den systematischen Fehler, der<br />
durch das Trägheitsmoment JSt und das Rückstellmoment DSt der Stange (mit Winkelaufnehmer)<br />
auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, dass zunächst die Schwingungsfrequenz<br />
der Stange allein bestimmt wird. Danach wird der <strong>Pendel</strong>körper an der Stelle angebracht,<br />
an der die Kombination Stange/<strong>Pendel</strong> dieselbe Schwingungsfrequenz hat, wie die<br />
Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich <strong>Pendel</strong>körper und Stange nicht. Für die Stange
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem <strong>Pendel</strong> 17<br />
allein gilt:<br />
Für den <strong>Pendel</strong>körper allein gilt:<br />
ω 2 st = Dst<br />
Jst<br />
ω 2 p = Dp<br />
Das physikalische <strong>Pendel</strong>, bestehend aus Stange und <strong>Pendel</strong>körper hat die Eigenfrequenz:<br />
ω 2 = Dst + Dp<br />
Jst + Jp<br />
= ω 2 p ·<br />
Jp<br />
1 + Dst<br />
Dp<br />
1 + Jst<br />
Jp<br />
= ω 2 st ·<br />
1 + Dp<br />
Dst<br />
1 + Jp<br />
Jst<br />
(1.11)<br />
(1.12)<br />
(1.13)<br />
Hat man nun das <strong>Pendel</strong> so eingestellt, dass ω = ωst gilt, so sieht man aus Gl.1.13, dass<br />
dann auch gelten muss: Jp<br />
. Umgeformt ergibt sich:<br />
Jst<br />
= Dp<br />
Dst<br />
Dp<br />
Jp<br />
= Dst<br />
Jst<br />
≡ ω 2 st = ω 2 = ω 2 p<br />
(1.14)<br />
Das heißt, daß man das <strong>Pendel</strong> nun so behandeln kann, als bestünde es bloss aus dem<br />
<strong>Pendel</strong>körper, der masselos aufgehängt ist. Die Ausdehnung des <strong>Pendel</strong>körpers wird dabei<br />
nicht vernachlässigt. Man benutzt also das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders mit<br />
Radius rp, der im Abstand lp um den Aufhängepunkt schwingt. Dieses ergibt sich mit Hilfe<br />
des Satzes von Steiner zu:<br />
Jp = 1<br />
(1.15)<br />
2 mpr 2 p + mpl 2 p<br />
Für das Quadrat der Kreisfrequenz erhält man dann:<br />
ω 2 = Dp<br />
Daraus ergibt sich die Erdbeschleunigung g<br />
Jp<br />
= mp · g · lp<br />
1<br />
2 mpr 2 p + mpl 2 p<br />
g = ω 2 lp(1 + 1<br />
2<br />
r2 p<br />
l2 p<br />
(1.16)<br />
) (1.17)<br />
In der Klammer beschreibt die 1 das mathematische <strong>Pendel</strong>, während der zweite Term die<br />
Korrektur ist, die die Ausdehnung des <strong>Pendel</strong>körpers berücksichtigt.<br />
1.1.3.1 Bestimmung der Frequenzen<br />
Kreisfrequenz ω, Frequenz f und Periodendauer T hängen über<br />
ω = 2πf = 2π<br />
(1.18)<br />
T<br />
zusammen. Um aus der aufgezeichneten Schwingung die Periodendauer zu ermitteln, zählt<br />
man eine bestimmte Anzahl n voller Perioden aus, und teilt das entsprchende Zeitintervall<br />
durch n: T = t2−t1.<br />
Um eine möglichst genaue Zeitablesung zu erreichen, verwendet man die<br />
n<br />
Nulldurchgänge des <strong>Pendel</strong>s. Wenn ∆t die Genauigkeit ist, mit der man einen Nulldurchgang<br />
bestimmen kann, dann wird der Fehler ∆T auf die Periodendauer: ∆T = 2 · ∆t.<br />
Man sollte<br />
n<br />
also möglichst viele Perioden auszählen, um ein genaues Ergebnis zu erhalten.
18 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.1.3.2 Fehlerrechnung<br />
In die Bestimmung von g gehen die Periodendauer T , die <strong>Pendel</strong>länge lp und der Radius des<br />
<strong>Pendel</strong>körpers rp ein. Im Folgenden wird abgeschätzt, wie sich die Messfehler dieser Grössen<br />
im Ergebnis von g niederschlagen.<br />
• Der Fehler auf lp ist durch das Messverfahren mit dem Massband bestimmt und lässt<br />
sich nur schwer unter 1mm bringen, was bei einem lp von ca. 0.69 m zu einem relativen<br />
Fehler von 1-2 Promille führt.<br />
• Der Fehler von rp wird durch einen Faktor r2 p<br />
l 2 p<br />
= ca.1/300 unterdrückt und fällt daher<br />
kaum ins Gewicht. Selbst wenn rp lediglich auf 10% genau bestimmt wird, schlägt sich<br />
dieser Fehler nur noch im sub-Promilleberich auf g nieder.<br />
• Die Frequenz sollte sinnvollerweise mit einer Genauigkeit bestimmt werden, die deutlich<br />
besser ist als die von lp, so dass auch dieser Fehler vernachlässigbar klein wird. Um einen<br />
relativen Fehler von 0.2 Promille in g zu erhalten muss T auf 0.1 Promille bestimmt<br />
werden, da es quadratisch in g eingeht. Wenn man einen Nulldurchgang auf 10ms genau<br />
bestimmen kann, dann wird das gesamte Zeitintervall auf 20 ms genau gemessen. Man<br />
muss also 200 s lang messen um eine relative Genauigkeit von 0.1 Promille zu erreichen,<br />
was bei einer Frequenz von 0.6 Hz 120 vollen Perioden entspricht.<br />
1.1.3.3 Fehler durch Vernachlässsigung der Stange<br />
Wie vorher gezeigt wurde, kann man das <strong>Pendel</strong> als masselos aufgehängten Zylinder beschreiben<br />
und die Stange samt Aufhängung vernachlässigen. Dies gilt allerdings nur, wenn ωSt genau<br />
gleich ωP wird. Tatsächlich, erreicht man aber nie eine genaue Übereinstimmung dieser<br />
beiden Kreisfrequenzen, sondern beobachtet eine kleine Abweichung. Man kann abschätzen,<br />
wie diese Abweichung sich auf den ermittelten Wert der Erdbeschleunigung auswirkt. Wenn<br />
ω2 DSt<br />
St = JSt und ω2 = DSt+DP<br />
JSt+JP = ω2 St +ɛ dann gilt ω2 DP<br />
P = JP = ω2 +ɛ· JSt Da das Verhältnis der<br />
Jp<br />
Trägheitsmomente von Stange und <strong>Pendel</strong>körper ca. 0.1 ist, geht die relative Abweichung<br />
der Frequenzen mit dem Faktor 0.2 in die Bestimmung von g ein, da g ∼ ω2 . Um unter<br />
einem Promille Abweichung zu bleiben, müssen die beiden Frequenzen also besser als 0.5%<br />
übereinstimmen.<br />
Im Prinzip kann man aus der Abweichung der Frequenzen einen Korrektur-Faktor für g<br />
betimmen, und das Ergebnis damit korrigieren.<br />
1.1.4 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Das <strong>Pendel</strong> besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung<br />
des <strong>Pendel</strong>s ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb.<br />
1.4). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt.<br />
Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst.<br />
Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so<br />
liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine<br />
Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst.
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem <strong>Pendel</strong> 19<br />
Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert,<br />
das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.3). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei<br />
der <strong>Pendel</strong>bewegung die Aufhängung nicht mitschwingt.<br />
Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen<br />
werden (Abb. 1.5). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders<br />
gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung<br />
kann die Nulllage eingestellt werden.<br />
Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung<br />
des <strong>Pendel</strong>s wiedergibt. Anschliessend wird die Periodendauer aus den Nulldurchgängen des<br />
<strong>Pendel</strong>s bestimmt. Zunächst lässt man die Stange samt Aufnehmer alleine schwingen und<br />
bestimmt die Periodendauer (Messdauer mindestens 120 Perioden). Dann bringt man den<br />
<strong>Pendel</strong>körper an und verschiebt ihn solange, bis man wieder dieselbe Periodendauer wie<br />
bei der Stange allein erhält. Dann erfolgt eine Messung mit einer Messdauer von mindestens<br />
120 vollen Schwingungen, aus der die Periodendauer für das gesamte <strong>Pendel</strong> bestimmt<br />
wird. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen müssen ausserdem der Abstand von dem<br />
Aufhängepunkt des <strong>Pendel</strong>s zum Mittelpunkt des <strong>Pendel</strong>körpers, und der Radius des <strong>Pendel</strong>körpers<br />
gemessen werden.<br />
Geben Sie bei der Fehlerrechnung die Grösse der Einzelbeiträge an, die zu dem Gesamtfehler<br />
führen und diskutieren Sie diese. Überlegen Sie sich, welche weiteren systematischen Fehler<br />
bei diesem Versuch auftauchen können, und versuchen Sie, wenn möglich, eine Grössenordnung<br />
für sie anzugeben.
20 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.3: Versuchsaufbau
1.1. Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem <strong>Pendel</strong> 21<br />
Abbildung 1.4: Aufhängung des <strong>Pendel</strong>s<br />
Abbildung 1.5: Anschluss des Winkelaufnehmers
22 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.2 Schwingungen von gekoppelten <strong>Pendel</strong>n<br />
Aufgaben<br />
In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei <strong>Pendel</strong>n untersucht, die durch eine<br />
Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern<br />
der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen<br />
und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen.<br />
Vorkenntnisse/Grundlagen :<br />
Federverhalten (Hooke’sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit,<br />
Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache<br />
lineare Differentialgleichungen.<br />
Literatur :<br />
• Paul A.Tipler : Physik<br />
Spektrum Lehrbuch, ISBN 3-86025-122-8, S.379 - S.399<br />
• W.Walcher : Praktikum der Physik<br />
Teubner Studienbücher Physik, ISBN 3-519-13038-6, S.89 - S.98<br />
Abbildung 1.6: Gekoppelte <strong>Pendel</strong>
1.2. Schwingungen von gekoppelten <strong>Pendel</strong>n 23<br />
1.2.1 Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte <strong>Pendel</strong><br />
Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb. 1.6. Die Kopplungsfeder ist befestigt<br />
in der Entfernung lF von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen <strong>Pendel</strong> P 1 und<br />
P 2 werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der <strong>Pendel</strong> gespannt ist. Dadurch<br />
hängen die <strong>Pendel</strong> in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V , sondern<br />
um den Winkel ϕ◦ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist<br />
MF,◦ = −DF · x◦ · lF<br />
(1.19)<br />
wobei DF die Federkonstante und x◦ ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand<br />
ist. In der Ruhestellung ist MF,◦ entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten<br />
Drehmoment<br />
MS,◦ = m · g · ls · ϕ◦<br />
(1.20)<br />
wobei ls die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden <strong>Pendel</strong> von seiner Drehachse und<br />
m die Gesamtmasse jedes <strong>Pendel</strong>s bedeuten. Wird P 2 um ϕ2 aus der Nullage ausgelenkt, so<br />
wirkt insgesamt das Drehmoment<br />
oder<br />
M2 = −m · g · ls · (ϕ2 − ϕ◦) − DF · (x◦ + lF ϕ2) · lF<br />
M2 = − · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · ϕ2<br />
(1.21)<br />
(1.22)<br />
Wird ausserdem P 1 um −ϕ1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment DF l 2 F ϕ1<br />
hinzu, so dass sich insgesamt ergibt<br />
Analog wird für P 1<br />
M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.23)<br />
M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.24)<br />
Die Bewegungsgleichungen beider <strong>Pendel</strong> lauten somit<br />
bzw. mit den Abkürzungen<br />
J · ¨ϕ1 = M1 = −m · g · ls · ϕ1 + DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.25)<br />
J · ¨ϕ2 = M2 = −m · g · ls · ϕ2 − DF · l 2 F · (ϕ2 − ϕ1) (1.26)<br />
ω 2 s = mgls<br />
J<br />
Ω 2 = DF l 2 F<br />
J<br />
(1.27)<br />
(1.28)<br />
¨ϕ1 = −ω 2 s · ϕ1 + Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.29)<br />
¨ϕ2 = −ω 2 s · ϕ2 − Ω 2 · (ϕ2 − ϕ1) (1.30)<br />
Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe<br />
der Substitutionen α = ϕ2 + ϕ1, β = ϕ2 − ϕ1 erreicht : Summe und Differenz der beiden<br />
Gleichungen (24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen<br />
¨α = −ω 2 s · α (1.31)
24 Kapitel 1. Mechanik<br />
mit den Lösungen<br />
¨β = −(ω 2 s + 2Ω 2 ) · β = −ω 2 sf · β (1.32)<br />
α(t) = ϕ2(t) + ϕ1(t) = A · sin(ωst) + B · cos(ωsft) (1.33)<br />
β(t) = ϕ2(t) − ϕ1(t) = C · sin(ωst) + D · cos(ωsft) (1.34)<br />
Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der<br />
Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ2(t ˙ = 0) = 0 und ϕ1(t ˙ = 0) = 0,<br />
so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird<br />
2ϕ2(t) = B · cos(ωst) + D · cos(ωsft) (1.35)<br />
2ϕ1(t) = B · cos(ωst) − D · cos(ωsft) (1.36)<br />
Werden die <strong>Pendel</strong> aus den Positionen ϕ1(t = 0) = ϕmax und ϕ2(t = 0) = ϕmax gestartet, so<br />
wird D = 0 und B = 2ϕmax und die <strong>Pendel</strong> schwingen gleichsinnig gemäss<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.37)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωst) (1.38)<br />
mit der Kreisfrequenz ωs, d.h. der Kreisfrequenz jedes <strong>Pendel</strong>s ohne Kopplung.<br />
Werden die <strong>Pendel</strong> aus den entgegengesetzten Positionen ϕ1(t = 0) = −ϕmax, ϕ2(t = 0) =<br />
+ϕmax gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕmax und die <strong>Pendel</strong> schwingen gegensinnig :<br />
mit der Kreisfrequenz ωsf :<br />
ϕ2(t) = ϕmax · cos(ωsft) (1.39)<br />
ϕ1(t) = −ϕmax · cos(ωsft) (1.40)<br />
ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2<br />
(1.41)<br />
Wird die Schwingung mit <strong>Pendel</strong> P 1 mit ϕ1(t = 0) = ϕmax und <strong>Pendel</strong> P 2 in Ruheposition,<br />
ϕ2(t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕmax und<br />
ϕ2(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) + 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.42)<br />
ϕ1(t) = 1<br />
2 ϕmax · cos(ωst) − 1<br />
2 ϕmax · cos(ωsft) (1.43)<br />
Jedes <strong>Pendel</strong> schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe<br />
eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen um-<br />
schreiben in<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos( ωsf − ωs<br />
2<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin( ωsf − ωs<br />
2<br />
t) · cos( ωsf + ωs<br />
t) (1.44)<br />
2<br />
t) · sin( ωsf + ωs<br />
t) (1.45)<br />
2
1.2. Schwingungen von gekoppelten <strong>Pendel</strong>n 25<br />
Mit den Abkürzungen<br />
wird daraus<br />
ωk = ωsf + ωs<br />
2<br />
ωsch = ωsf − ωs<br />
2<br />
(1.46)<br />
(1.47)<br />
ϕ1(t) = ϕmax · cos(ωscht) · cos(ωkt) (1.48)<br />
ϕ2(t) = ϕmax · sin(ωscht) · sin(ωkt) (1.49)<br />
Die Bewegung jedes der beiden <strong>Pendel</strong> besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen<br />
mit den Kreisfrequenzen ωsch und ωk. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ωk<br />
angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ωsch moduliert ist. Diese Erscheinung<br />
wird Schwebung genannt.<br />
1.2.2 Messgrössen<br />
Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern :<br />
Tk = 2π<br />
Ts = 2π<br />
ωs<br />
Tsf = 2π<br />
ωk<br />
Tsch = 2π<br />
ωsch<br />
=<br />
=<br />
ωsf<br />
4π<br />
ωsf + ωs<br />
4π<br />
ωsf − ωs<br />
(1.50)<br />
(1.51)<br />
(1.52)<br />
(1.53)<br />
Durch Einsetzen von ωs und ωsf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern<br />
:<br />
Tk = 2 · TsTsf<br />
Ts + Tsf<br />
Tsch = 2 · TsTsf<br />
Ts − Tsf<br />
Als Kopplungsgrad κ des <strong>Pendel</strong>systems wird das Verhältnis<br />
κ =<br />
definiert. Mit ω 2 sf = ω2 s + 2Ω 2 folgt<br />
κ =<br />
Ω2<br />
ω2 =<br />
s + Ω2 DF l 2 F<br />
mgls + DF l 2 F<br />
1<br />
2 (ω2 sf − ω2 s)<br />
1<br />
2 (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s − T 2 sf<br />
T 2 s + T 2 sf<br />
(1.54)<br />
(1.55)<br />
(1.56)<br />
(1.57)<br />
Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befes-<br />
als Funktion von<br />
tigungspunkte der Feder an den Drehachsen der <strong>Pendel</strong> liegen. Trägt man 1<br />
κ
26 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.7: Aufbau des gekoppelten <strong>Pendel</strong>s<br />
1<br />
l2 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden<br />
F<br />
kann :<br />
1 mlsg<br />
= 1 + (1.58)<br />
κ<br />
DF<br />
· 1<br />
l 2 F<br />
1.2.3 Versuchsaufbau und Durchführung<br />
Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen <strong>Pendel</strong> (Kap. 1.1.4). Es werden nun zwei<br />
<strong>Pendel</strong> im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt<br />
(Abb. 1.7). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den <strong>Pendel</strong>stangen befestigt<br />
werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht<br />
gestaucht werden können, müssen die <strong>Pendel</strong> so weit auseinander sein, dass die Federn in<br />
der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die <strong>Pendel</strong>auschläge<br />
so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind.<br />
Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und<br />
haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm<br />
zu erzielen, kann die Nulllage eines <strong>Pendel</strong>s entweder durch die Versorgungsspannung des
1.2. Schwingungen von gekoppelten <strong>Pendel</strong>n 27<br />
Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben<br />
werden.<br />
Es werden die <strong>Pendel</strong>ausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im<br />
allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen<br />
mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei<br />
Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die <strong>Pendel</strong> gleichsinnig<br />
(in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen<br />
die <strong>Pendel</strong> gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz.<br />
Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt<br />
und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt.<br />
Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.57). Außerdem<br />
werden die Abstände lF zwischen dem Aufhängepunkt des <strong>Pendel</strong>s und der Befestigung der<br />
Feder gemessen. Trägt man 1<br />
1 gegen κ l2 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung<br />
F<br />
man die Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.58).
28 Kapitel 1. Mechanik<br />
1.3 Trägheitsmomente<br />
Abbildung 1.8: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten.<br />
Physikalische Grundlagen<br />
Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen<br />
1.3.1 Einführung<br />
Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente ∆mi den Abstand ri zur Drehachse<br />
haben, ist das Trägheitsmoment<br />
J = <br />
(1.59)<br />
i<br />
∆mi · r 2 i<br />
Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt:<br />
J = m · r 2
1.3. Trägheitsmomente 29<br />
Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer<br />
einer Drillachse bestimmt,<br />
<br />
J<br />
T = 2π<br />
(1.60)<br />
D<br />
auf die der Probekörper gesteckt wird und die<br />
über eine Schneckenfeder elastisch mit dem<br />
Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.8). Das<br />
System wird zu harmonischen Schwingungen<br />
angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet<br />
man bei bekanntem Direktionsmoment<br />
D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß<br />
2 T<br />
J = D<br />
(1.61)<br />
2π<br />
Die Messwerte werden mit den theoretischen<br />
Vorhersagen für einen Körper der Masse m,<br />
dessen Massenelemente ∆mi um eine feste<br />
Achse im Abstand ri rotieren, verglichen:<br />
J = <br />
∆mir 2 <br />
i = r 2 dm (1.62)<br />
i<br />
Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines<br />
Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.9) in elektrische<br />
Signale umgewandelt. Der Aufnehmer<br />
liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale<br />
Spannung. Er besteht aus einem<br />
vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser)<br />
mit angeschraubtem Kleingehäuse für<br />
die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr<br />
befindet sich eine Nut an deren Ende<br />
in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche<br />
Sonde (Hall-Sonde) eingeklebt ist. Die<br />
Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur<br />
Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes<br />
anspricht. Die zwei felderzeugenden<br />
Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten<br />
einer U-förmigen Gabel geklebt, dass<br />
sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im<br />
Ruhezustand verschwindet daher die vertikale<br />
Feldkomponente; die Ausgangsspannung des<br />
Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die<br />
Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen<br />
Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente<br />
in vertikaler Richtung auf.<br />
Abbildung 1.9: Drillachse mit Winkelaufnehmer.
30 Kapitel 1. Mechanik<br />
Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung<br />
B⊥ = B · sin α<br />
beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die<br />
Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem<br />
linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24)<br />
unter 1%.<br />
Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt<br />
und soll im Bereich 12-16 V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der<br />
Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung<br />
auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit<br />
Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe<br />
einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer<br />
Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen.<br />
Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines ”Massenpunktes” in Abhängigkeit<br />
vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken<br />
in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke<br />
haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt.<br />
Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders<br />
und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit<br />
gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder,<br />
der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren<br />
Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt.<br />
Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe<br />
experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente Ja einer Kreisscheibe<br />
für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem<br />
Trägheitsmoment J0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz<br />
bestätigt werden.<br />
1.3.2 Versuchsbeschreibung<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
(1.63)<br />
Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen<br />
untersuchen lassen:<br />
• Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen ”Massenpunkt”, der im Abstand r<br />
um eine feste Achse rotiert.<br />
• Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener<br />
Massenverteilung.
1.3. Trägheitsmomente 31<br />
• Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material,<br />
deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente<br />
ergeben.<br />
• Bestätigung des Steinerschen Satzes.<br />
1.3.3 Versuchsaufbau<br />
Zum Versuchsaufbau gehören<br />
1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel<br />
angekoppelt.<br />
Richtmoment der Feder: ca. 0,025 N m<br />
Höhe der Drillachse: ca. 0,2 m<br />
Gewicht der Drillachse: ca. 0,39 kg<br />
2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m<br />
Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte.<br />
Länge des Stabes: ca. 0,6 m<br />
Masse des Stabes: ca. 0,13 kg<br />
3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit<br />
Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten<br />
Abständen von der Stabmitte gehalten werden.<br />
Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg<br />
4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken<br />
auf die Drillachse.<br />
Durchmesser: ca. 0,225 m<br />
Höhe: ca. 0,015 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg
32 Kapitel 1. Mechanik<br />
5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm.<br />
Durchmesser: ca. 0,09 m<br />
Höhe: ca. 0,09 m<br />
Masse: ca. 0,35 kg<br />
7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken<br />
auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder.<br />
Durchmesser: ca. 0,1 m<br />
Masse: ca. 0,12 kg<br />
Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen !), die<br />
Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen !).<br />
8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse.<br />
Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich.<br />
Durchmesser: ca. 0,145 m<br />
Masse: ca. 0,99 kg
1.3. Trägheitsmomente 33<br />
9. Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum<br />
Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von<br />
0, 02; 0, 04; . . . 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte.<br />
Durchmesser: ca. 0,4 m<br />
Masse: ca. 0,74 kg<br />
1.3.4 Hinweise zum Experimentieren<br />
Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken,<br />
nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend<br />
den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen<br />
anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden.<br />
Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt<br />
und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen<br />
für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt.<br />
Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren<br />
Messungen für z.B. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt<br />
sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern.<br />
Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt<br />
im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens<br />
eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten<br />
Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur<br />
”fourier” aus der MAPLE-Bibliothek ”app maple” durchgeführt und mit der Prozedur<br />
”peak” der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die<br />
Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird<br />
und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische<br />
Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden.<br />
Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb.<br />
1.10 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.11) ergibt sich in diesem Beispiel<br />
eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die<br />
statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s,<br />
4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.
34 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.10: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse.<br />
Abbildung 1.11: Fouriertranformation der in Abb. 1.10 gezeigten Messreihe. Mit dem ”Peakfinder”<br />
aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.
1.3. Trägheitsmomente 35<br />
Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 −5 kgm 2 . Es ist in<br />
der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente<br />
stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind.<br />
1.3.5 Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes<br />
D<br />
Zunächst wir das Gewicht der Massen mW 1, mW 2 und das Gewicht des Stabes mStab mit<br />
einer Waage gemessen und die Länge des Stabes lStab mit einem Massband bestimmt.<br />
Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Anschliessend werden die Massen (mW 1, mW 2) symmetrisch im Abstand r = 0, 05;<br />
0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern<br />
gemessen.<br />
Beispiel einer solchen Messreihe:<br />
Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist<br />
r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25<br />
T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40<br />
JStab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
und für die ”Massenpunkte” im Abstand r von der Drillachse:<br />
JMassen = (mW 1 + mW 2) · r 2 = mW · r 2<br />
Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten:<br />
T 2 = 4π 2 JMassen + JStab<br />
D<br />
= 4π2<br />
D mW · r 2 + 4π2<br />
· JStab<br />
D<br />
Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0.<br />
Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat<br />
des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.12) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression,<br />
T 2 = m · r 2 + a<br />
= 737, 34 s2<br />
m 2 · r2 + 6, 36 s 2
36 Kapitel 1. Mechanik<br />
Abbildung 1.12: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden.<br />
aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen:<br />
D = 4π2<br />
· mW<br />
m<br />
=<br />
4π2 · 0, 48 N m<br />
737, 34<br />
= 0, 0257 N m<br />
Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das<br />
Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden<br />
J exp.<br />
Stab<br />
und mit der theoretischen Vorhersage<br />
verglichen werden.<br />
aD<br />
=<br />
4π2 = 6, 36 · 0, 0257<br />
4π2 = 0, 414 · 10 −2 kg m 2<br />
J theo.<br />
Stab = 1<br />
12 · mStab · l 2 Stab<br />
= 1<br />
12 · 0, 132 · 0, 62 kg m 2<br />
= 0, 396 · 10 −2 kgm 2<br />
1.3.6 Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse<br />
mit verschiedener Massenverteilung<br />
Dünner Vollzylinder aus Holz<br />
Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) mHS wird durch wiegen und sein
1.3. Trägheitsmomente 37<br />
Durchmesser dHS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse<br />
befestigt und die Schwingungsdauer gemessen.<br />
Beispiel:<br />
THS = 1, 82 s<br />
J exp<br />
HS<br />
= 1<br />
4π 2 · D · T 2 HS<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2<br />
Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu:<br />
J theo<br />
HS = 1<br />
2 mHS<br />
2 dHS<br />
2<br />
= 2, 05 · 10 −3 kg m 2<br />
Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ)<br />
Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente<br />
JV Z und JHZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen:<br />
Aufnahmeteller:<br />
Aufnahmeteller + Vollzylinder:<br />
JV Z = JV Z+T − JT<br />
JHZ = JHZ+T − JT<br />
T = 0, 564 s<br />
J exp<br />
T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 5642 Nms 2<br />
= 0, 207 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 0, 92 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 0, 922 Nms 2<br />
= 0, 552 · 10 −3 kg m 2
38 Kapitel 1. Mechanik<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders<br />
J exp<br />
V Z = JV Z+T − JT = 0, 345 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
Aufnahmeteller + Hohlzylinder:<br />
J theo<br />
V Z = 1<br />
2 mV Z<br />
dV Z<br />
2<br />
2<br />
= 0, 337 · 10 −3 kg m 2<br />
T = 1, 18 s<br />
JV Z+T = 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 182 Nms 2<br />
= 0, 907 · 10 −3 kg m 2<br />
Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders<br />
J exp<br />
HZ = JHZ+T − JT = 0, 700 · 10 −3 kg m 2<br />
im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von<br />
J theo<br />
HZ = mHZ<br />
1.3.7 Trägheitsmoment der Kugel<br />
J exp<br />
K<br />
T = 1, 82 s<br />
dHZ<br />
2<br />
2<br />
= 0, 652 · 10 −3 kg m 2<br />
= 1<br />
4π 2 · D · T 2 V Z+T<br />
= 1<br />
4π 2 · 0, 0257 · 1, 822 Nms 2<br />
= 2, 16 · 10 −3 kg m 2<br />
Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage<br />
J theo<br />
K<br />
= 2<br />
5 mKR 2 K<br />
vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel RK. Dieser lässt sich mit dem<br />
Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρK<br />
zu verwenden, um über die Beziehung<br />
mK = VK · ρK = 4<br />
3 πR3 KρK
1.3. Trägheitsmomente 39<br />
den Radius zu bestimmen. Mit ρK = (0, 63 ± 0, 02) · 10 3 kg/m 3 erhalten wir:<br />
und damit<br />
RK =<br />
<br />
mK<br />
4<br />
3πρK 1<br />
3<br />
= 0, 0716 m<br />
J theo<br />
K = 2<br />
5 mKR 2 K<br />
= 2<br />
5 · 0, 99 kg · 0, 07162 m 2<br />
= 2, 03 · 10 −3 kg m 2<br />
Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen.<br />
Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen,<br />
dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt:<br />
mHS · R 2 HS = 4<br />
5 mK · R 2 K<br />
1.3.8 Bestätigung des Steinerschen Satzes<br />
In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen<br />
Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz<br />
Ja = J0 + m · a 2<br />
soll bestätigt werden. J0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse.<br />
Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur<br />
besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung<br />
mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt.<br />
In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;<br />
. . . 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt.<br />
Wichtig:<br />
Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten,<br />
dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert.
40 Kapitel 1. Mechanik<br />
Ergebnis:<br />
a[m] T[s] J [kg m2 −2 ] 10<br />
J−J0<br />
a2 0,00 4,782 1,490<br />
[kg]<br />
0,02 4,800 1,501<br />
0,04 4,961 1,604<br />
0,06 5,230 1,782<br />
0,08 5,532 1,994 0,75<br />
0,10 5,884 2,256<br />
0,12 6,313 2,597<br />
0,14 6,710 2,951<br />
0,16 7,220 3,400<br />
Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von<br />
der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt:<br />
Ja = J0 + const. · a 2<br />
Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor<br />
in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit<br />
bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz:<br />
Ja = J0 + m · a 2