Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

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Dabei bezeichnet ggt(n, a) den größten gemeinsamen Teiler und J(a, n) die Jacobifunktion, die wie folgt rekursiv definiert ist: ⎧ 1 falls a = 1 ⎪⎨ J J(a, n) = ⎪⎩ a 2 , n falls a mod 2 = 0 und n2−1 8 mod 2 = 0 −J a 2 , n falls a mod 2 = 0 und n2−1 8 mod 2 = 0 J(n mod a, a) falls a mod 2 = 0 und (a−1)·(n−1) 4 mod 2 = 0 −J(n mod a, a) falls a mod 2 = 0 und (a−1)·(n−1) 4 mod 2 = 0 . Ist n jedoch keine Primzahl, so ist für mindestens die Hälfte der möglichen Werte für a mindestens eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt. Daraus lässt sich der in Abbildung 21 angegebene Algorithmus konstruieren, der eine ungerade natürliche Zahl n daraufhin testet, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. Ist n eine Primzahl, so erkennt der Algorithmus dies immer korrekt. Ist n keine Primzahl, so erkennt er das manchmal nicht. Die Wahrscheinlichkeit für ein falsches Ergebnis beträgt 1 2x. Für x = 20 ist das bereits weniger als ein Millionstel. Die Zuverlässigkeit des Algorithmus kann über den Parameter x also beliebig erhöht werden — allerdings zu Lasten der Laufzeit. Algorithmus Prim (Gegeben: eine ungerade natürliche Zahl n und eine natürliche Zahl x) begin i←1 prim←true while i≤x and prim=true do a←random(n) if ggt(a,n)= 1 or a^((n-1)/2) mod n=J(a,n) then prim←false i←i+1 if prim=true then Ausgabe: n ist Primzahl else Ausgabe: n ist keine Primzahl end Abbildung 21: Probabilistischer Algorithmus Prim Dieser letzte Abschnitt hat gezeigt, dass es oft Wege gibt, mit NP–vollständigen Problemen in der Praxis fertig zu werden. Andererseits kann für viele NP– vollständige Probleme bewiesen werden, dass es unmöglich ist, eine akzeptable Näherungslösung zu finden — es sei denn, es gilt P = NP. 38
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