Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

Dabei bezeichnet ggt(n, a) den größten gemeinsamen Teiler und J(a, n) die Jacobifunktion,
die wie folgt rekursiv definiert ist:
⎧
1 falls a = 1
⎪⎨ J
J(a, n) =
⎪⎩
a
2 , n falls a mod 2 = 0 und n2−1 8 mod 2 = 0
−J a
2 , n falls a mod 2 = 0 und n2−1 8 mod 2 = 0
J(n mod a, a) falls a mod 2 = 0 und (a−1)·(n−1)
4 mod 2 = 0
−J(n mod a, a) falls a mod 2 = 0 und (a−1)·(n−1)
4 mod 2 = 0 .
Ist n jedoch keine Primzahl, so ist für mindestens die Hälfte der möglichen Werte
für a mindestens eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt. Daraus lässt sich
der in Abbildung 21 angegebene Algorithmus konstruieren, der eine ungerade
natürliche Zahl n daraufhin testet, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. Ist n eine
Primzahl, so erkennt der Algorithmus dies immer korrekt. Ist n keine Primzahl,
so erkennt er das manchmal nicht. Die Wahrscheinlichkeit für ein falsches Ergebnis
beträgt 1
2x. Für x = 20 ist das bereits weniger als ein Millionstel. Die
Zuverlässigkeit des Algorithmus kann über den Parameter x also beliebig erhöht
werden — allerdings zu Lasten der Laufzeit.
Algorithmus Prim
(Gegeben: eine ungerade natürliche Zahl n und eine natürliche Zahl x)
begin
i←1
prim←true
while i≤x and prim=true do
a←random(n)
if ggt(a,n)= 1 or a^((n-1)/2) mod n=J(a,n) then
prim←false
i←i+1
if prim=true then
Ausgabe: n ist Primzahl
else
Ausgabe: n ist keine Primzahl
end
Abbildung 21: Probabilistischer Algorithmus Prim
Dieser letzte Abschnitt hat gezeigt, dass es oft Wege gibt, mit NP–vollständigen
Problemen in der Praxis fertig zu werden. Andererseits kann für viele NP–
vollständige Probleme bewiesen werden, dass es unmöglich ist, eine akzeptable
Näherungslösung zu finden — es sei denn, es gilt P = NP.
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