Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

eispielsweise bei der Kreuzung der ersten beiden Lösungen
l2j für j = 1, . . .,t
l ∗ 1j =
l ∗ 2j =
l1j
für j = t + 1, . . .,k
l1j für j = 1, . . .,t
l2j für j = t + 1, . . .,k .
Dieses Kreuzungsverfahren wird als Ein–Punkt–Crossover bezeichnet.
3. Mutation: Um auch Lösungen zu ermöglichen, die allein durch Kreuzungen
nicht entstehen können, werden zufällig einige Individuen ausgewählt, die
an einer Stelle verändert werden. In der Matrix wird dann eine Null durch
eine Eins bzw. eine Eins durch eine Null ersetzt. Die Wahrscheinlichkeit,
mit der ein Individuum mutiert wird, bezeichnet man als Mutationsrate,
das hier dargestellte Verfahren als Bit–Flip–Mutation.
Diese Schritte werden mehrmals (in der Praxis für mehrere hundert Generationen)
wiederholt. Abschließend wird noch ein Mal der Nutzenwert aller Lösungen
bestimmt, um die beste als Ergebnis auszugeben.
Während die Selektion durch rechnerische Bestimmung der Zielgröße erfolgt,
müssen Mutation und Kreuzung mittels rein formaler Operationen auf Zeichenketten
bzw. Bitfolgen durchgeführt werden. Dabei ergibt sich das Problem, dass
das so konstruierte Individuum wieder ein gültiger Lösungskandidat sein muss.
Beim Rucksackproblem ist dies unproblematisch, weil schlimmstenfalls eine Lösung
mit dem Nutzenwert −1 entsteht, die im Laufe der folgenden Selektionen
wieder aus der Population verschwindet. Beim Problem des Handlungsreisenden
führt aber die Kreuzung in den meisten Fällen auf eine Knotenfolge, die gar
keine Rundreise mehr darstellt. Bei der Konstruktion genetischer Algorithmen
besteht allgemein häufig die größte Schwierigkeit darin, eine geeignete Kodierung
der Lösungskandidaten zu finden. Für das Problem des Handlungsreisenden gibt
A. K. Dewdney eine elegante Lösung für diese Problematik an (Dewdney 2001,
106).
Probabilistische Algorithmen
Eine weitere Alternative beim Umgang mit praktisch unlösbaren Problemen besteht
in der Aufgabe der Forderung, dass der Lösungsalgorithmus korrekt arbeiten
muss. Algorithmen, die mit einer gewissen (kleinen) Wahrscheinlichkeit ein
falsches Ergebnis liefern, bezeichnet man als probabilistisch.
Beispiel 43. Will man testen, ob eine ungerade natürliche Zahl n Primzahl ist,
so kann man den folgenden Sachverhalt ausnutzen: Ist n eine Primzahl, so gilt
für jede natürliche Zahl a (1 ≤ a < n):
ggt(n, a) = 1 und a n−1
2 mod n = J(a, n) .
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