Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

Definition 36. Das Erbteilungsproblem (engl. partition problem) ist wie folgt
definiert:
Gegeben sind natürliche Zahlen a1, a2, . . .,ak. Gibt es eine Teilmenge
I von {1, 2, . . .,k} mit
i∈I ai =
i/∈I ai ?
Auch hier lässt die formale Definition den Ursprung der Problembezeichnung nur
erahnen. Er wird deutlich, wenn man sich vorstellt, die Zahlen a1, a2, . . .,ak seien
Werte von Münzen einer gerecht unter zwei Personen aufzuteilenden Erbschaft.
Das Erbteilungsproblem ist NP–vollständig.
Definition 37. Das k–Färbbarkeitsproblem ist wie folgt definiert:
Gegeben ist ein ungerichteter Graph G und eine natürliche Zahl k.
Gibt es eine Färbung der Knoten von G mit k verschiedenen Farben,
so dass keine benachbarten Knoten dieselbe Farbe haben?
Hier ist entscheidend, dass die Zahl k zu den Eingabedaten des Problems gehört
und nicht vorab festgelegt ist. In dieser Formulierung ist das Färbbarkeitsproblem
NP–vollständig, für eine fest vorgegebene Zahl k aber in polynomialer Zeit lösbar.
Von den in den vorangegangenen Abschnitten angesprochenen Problemen sind
die folgenden NP–vollständig: das Problem Hamilton–Zyklus, das Problem des
Handlungsreisenden, das Verpackungsproblem, das Stundenplanproblem und das
Primzahlenproblem.
8 Näherungslösungen
Zahlreiche Probleme, die derzeit nicht der Klasse P zugerechnet werden können,
besitzen große Relevanz für praktische Aufgaben. Da aber die bekannten Lösungsalgorithmen
exponentielle Laufzeiten haben, ist es im Allgemeinen nicht möglich,
korrekte bzw. optimale Lösungen zu bestimmen. Die Aufgaben müssen aber gelöst
werden, so dass man gezwungen ist in Kauf zu nehmen, dass eine ” Lösung“ nur
teilweise korrekt oder nicht optimal ist.
Beispiel 38. An jeder Schule gibt es in jedem Schuljahr einen neuen Stundenplan,
obwohl wir das Stundenplanproblem als praktisch unlösbar eingestuft haben.
Beispiel 39. Die Planung der Kurskopplung in der Oberstufe ist eine Anwendung
des k–Färbbarkeitsproblems. Der zugehörige Graph enthält für jeden eingerichteten
Kurs einen Knoten. Alle Knoten, die den verschiedenen Kursen eines Schülers
entsprechen, werden jeweils durch Kanten verbunden. Kurse können zeitlich gekoppelt
werden, wenn die jeweiligen Knoten nicht benachbart sind und somit
gleich gefärbt werden können.
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