Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik
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aw af bw bf cw cf dw df<br />
Abbildung 19: Auswahl von Knoten zum Beweis von Satz 31<br />
Also sind genau k Knoten ausgewählt, die nach Konstruktion eine vollständige<br />
Überdeckung des Graphen darstellen.<br />
aw af bw bf cw cf dw df<br />
Abbildung 20: Vollständige Überdeckung mit 9 Knoten<br />
Sei nun umgekehrt eine vollständige Überdeckung des Graphen mit k Knoten<br />
gegeben, z.B. wie in Abbildung 20. Weil die unteren Teilgraphen nach Konstruktion<br />
vollständig sind, kann jeweils höchstens ein Knoten nicht zur Überdeckung<br />
gehören, weil diese sonst nicht vollständig wäre. Aus dem gleichen Grund muss<br />
im oberen Teilgraphen für jede Kante mindestens Ein Knoten zur Überdeckung<br />
gehören. Nach Konstruktion von k gehört daher bei den unteren Teilgraphen<br />
jeweils genau ein Knoten nicht zur Überdeckung.<br />
Man wählt nun eine Belegung <strong>der</strong> Variablen im Ausdruck B, die <strong>der</strong> Auswahl<br />
<strong>der</strong> Knoten im oberen Teilgraphen entspricht, im Beispiel a = wahr, b = falsch,<br />
c = falsch und d = wahr. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass diese Belegung den<br />
Ausdruck erfüllt.<br />
Je<strong>der</strong> <strong>der</strong> unteren Teilgraphen enthält einen Knoten, <strong>der</strong> nicht zur Überdeckung<br />
gehört. Ihn verbindet eine Kante mit einem Knoten im oberen Teilgraphen,<br />
<strong>der</strong> zur Überdeckung gehören muss (weil diese ansonsten nicht vollständig wäre).<br />
Nach Konstruktion <strong>der</strong> Belegung ist das zugehörige Literal wahr, so dass auch<br />
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