Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

aw af bw bf cw cf dw df
Abbildung 17: Konstruktion eines Graphen zum Beweis von Satz 31, Schritt 2
aw af bw bf cw cf dw df
Abbildung 18: Konstruktion eines Graphen zum Beweis von Satz 31, Schritt 3
In unserem Beispiel ergibt sich
k = 4 + (3 + 4) − 2
= 9 .
Wir müssen jetzt zeigen, dass jeder Ausdruck B genau dann erfüllbar ist, wenn
G eine Überdeckung mit k Knoten besitzt. Sei also zunächst B erfüllbar. Dann
gibt es eine Belegung der Variablen mit wahr oder falsch, so dass jede Klausel
wahr ist. Man wählt nun aus dem oberen Teilgraphen diejenigen Knoten in die
Überdeckung, die einer solchen Belegung entsprechen. Im Beispiel erfüllt etwa
a = falsch, b = wahr, c = wahr und d = falsch den gegebenen Ausdruck, so
dass af, bw, cw und df gewählt werden. Aus dem unteren Teilgraphen gehören alle
Knoten zur Überdeckung mit Ausnahme je eines Knotens, der mit einem bereits
ausgewählten Knoten des oberen Teilgraphen verbunden ist (vgl. Abbildung 19).
Ein solcher Knoten existiert nach Konstruktion der Kanten und aufgrund der
Knotenauswahl im oberen Teilgraphen.
Die Anzahl der im oberen Teilgraphen ausgewählten Knoten entspricht der
Anzahl der Variablen. Die Gesamtzahl der in den unteren Teilgraphen ausgewählten
Knoten entspricht der Anzahl der Literale, abzüglich der Anzahl der Klauseln.
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