Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik

folgt aus:
⎛
⎜
M = ⎜
⎝
0 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0
Die Matrix ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen, weil G ungerichtet ist. Es muss
nun also nur für alle mi,j mit mi,j = 1 und i > j überprüft werden, ob sich i oder
j unter den k ausgewählten Knoten befindet. Dies ist sicherlich mit polynomialem
Aufwand in Abhängigkeit von n möglich, so dass VCP in NP liegt.
Wir reduzieren nun SAT polynomial auf VCP, indem wir ein Verfahren angeben,
durch das jedem booleschen Ausdruck B, der auf Erfüllbarkeit getestet
wird, eine Eingabe für VCP (ein Graph G und ein k ∈ N) zugeordnet wird, für
die gilt: B ist genau dann erfüllbar, wenn G eine Überdeckung mit k Knoten
enthält.
Sei also B ein boolescher Ausdruck mit n Variablen. Zur Veranschaulichung
verfolgen wir die Konstruktionsschritte am Beispiel des Ausdruckes
(a ∨ b ∨ ¬c) ∧ (a ∨ ¬b ∨ c ∨ ¬d) .
Für jede der Variablen enthält G zwei Knoten, die später das Vorkommen der
Variablen in den Klauseln (negiert oder nicht negiert) repräsentieren. Sie werden
paarweise durch eine Kante verbunden (vgl. Abbildung 16).
⎞
⎟
⎠
aw af bw bf cw cf dw df
Abbildung 16: Konstruktion eines Graphen zum Beweis von Satz 31, Schritt 1
Für jede Klausel enthält G einen vollständigen Teilgraphen, dessen Knotenanzahl
durch die Anzahl der Literale in der jeweiligen Klausel bestimmt ist (vgl.
Abbildung 17).
Die Kanten zwischen den oberen und unteren Teilgraphen werden so festgelegt,
dass jeder Knoten aus einem unteren Teilgraphen mit genau einem Knoten
aus einem oberen Teilgraphen verbunden ist, und zwar so, dass jede Kante ein
Literal der entsprechenden Klausel repräsentiert (vgl. Abbildung 18).
Nun ergänzen wir die Eingabedaten für VCP noch durch die Angabe einer
natürlichen Zahl k, die sich wie folgt berechnet: Man addiert die Anzahl der
Variablen zur Anzahl der Literale in B und subtrahiert die Anzahl der Klauseln.
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