Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik
Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik Praktische Grenzen der Berechenbarkeit - Informatik
1 Der Komplexitätsbegriff Nachdem es den Pionieren der heutigen Informatik ein besonderes Anliegen war herauszufinden, welche Probleme prinzipiell unlösbar sind, interessierte man sich etwa ab 1960 dafür, welche Algorithmen auf real existierenden und zukünftigen Computern auch praktisch durchführbar sind. Das überraschende und erfreuliche Ergebnis dieser Überlegungen besteht in der Erkenntnis, dass auch die Klassifizierung nach durchführbar und nicht durchführbar von der Wahl einer konkreten Maschine unabhängig ist. Unter Komplexitäten versteht man messbare oder berechenbare Merkmale von Algorithmen, im Wesentlichen die Laufzeit und den Speicherbedarf. Intuitiv ist klar, dass ein Algorithmus, der sparsam mit diesen Betriebsmitteln umgeht, als besser einzustufen ist im Vergleich zu anderen Algorithmen, die dieselbe Aufgabe lösen. Als Beispiel betrachten wir (nach Mayr, ohne Datum) die folgende Aufgabe einer Aktienkursanalyse: Gegeben ist der Kursverlauf einer Aktie über 30 Tage (vgl. Tabelle 1). Gesucht ist der maximal mögliche Gewinn, der sich bei optimaler Wahl des Kauf– und Verkaufstages ergibt. Bezeichnet man den Gewinn am Tag t mit at, so ist also eine Teilfolge von a1, a2, . . .,an gesucht, deren Summe maximal ist. Da jedoch nicht nach dem optimalen Kauf– bzw. Verkaufstag gefragt ist, sondern nur nach der maximalen Teilsumme, lautet die Aufgabenstellung etwas allgemeiner ausgedrückt wie folgt: Gegeben ist eine Zahlenfolge a1, a2, . . .,an. Gesucht ist eine Zahl s mit s = j k=i ak (1 ≤ i ≤ j ≤ n), die unter allen möglichen Kombinationen von i und j maximal ist. Ein erster Algorithmus (Abbildung 1) berechnet alle möglichen Teilsummen und bestimmt daraus das Maximum. Als Maß für den zeitlichen Aufwand wählen wir vereinfachend die Anzahl ta1 der Additionen in der innersten Schleife. Algorithmus Kursanalyse 1 (Gegeben: Ein n-dimensionales Feld a) begin max←0 for i from 1 to n do for j from i to n do s←0 for k from i to j do s←s+a[k] if s>max then max←s end Abbildung 1: Algorithmus Kursanalyse, Version 1 2
Tag Kurs GuV Tag Kurs GuV 1 150 1 16 169 4 2 153 3 17 160 -9 3 157 4 18 158 -2 4 149 -8 19 159 1 5 151 2 20 152 -7 6 148 -3 21 147 -5 7 155 7 22 147 0 8 160 5 23 148 1 9 159 -1 24 150 2 10 165 6 25 153 3 11 156 -9 26 152 -1 12 157 1 27 156 4 13 159 2 28 161 5 14 162 3 29 162 1 15 165 3 30 164 2 Tabelle 1: Kursverlauf einer Aktie über 30 Tage (Schlusskurse und Gewinne bzw. Verluste). Angenommener Anfangskurs am ersten Tag: 149 ta1(n) = = n i · (n + 1 − i) i=1 n (i · (n + 1) − i 2 ) i=1 = (n + 1) · n i − i=1 n i 2 i=1 (n + 1) · n n · (n + 1) · (2n + 1 = (n + 1) · − 2 6 = n · (n + 1) · (n + 2) 6 = 1 6 n3 + 1 2 n2 + 1 3 n Der Berechnungsaufwand lässt sich bereits deutlich reduzieren, wenn man berücksichtigt, dass nicht alle Teilsummen einzeln bestimmt werden müssen, da ja j k=i ak = j−1 k=i ak + aj gilt. Daraus ergibt sich die zweite Version des Algorithmus (Abbildung 2). Hier gilt für die Anzahl der Additionen 3
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Tag Kurs GuV Tag Kurs GuV<br />
1 150 1 16 169 4<br />
2 153 3 17 160 -9<br />
3 157 4 18 158 -2<br />
4 149 -8 19 159 1<br />
5 151 2 20 152 -7<br />
6 148 -3 21 147 -5<br />
7 155 7 22 147 0<br />
8 160 5 23 148 1<br />
9 159 -1 24 150 2<br />
10 165 6 25 153 3<br />
11 156 -9 26 152 -1<br />
12 157 1 27 156 4<br />
13 159 2 28 161 5<br />
14 162 3 29 162 1<br />
15 165 3 30 164 2<br />
Tabelle 1: Kursverlauf einer Aktie über 30 Tage (Schlusskurse und Gewinne bzw.<br />
Verluste). Angenommener Anfangskurs am ersten Tag: 149<br />
ta1(n) =<br />
=<br />
n<br />
i · (n + 1 − i)<br />
i=1<br />
n<br />
(i · (n + 1) − i 2 )<br />
i=1<br />
= (n + 1) ·<br />
n<br />
i −<br />
i=1<br />
n<br />
i 2<br />
i=1<br />
(n + 1) · n n · (n + 1) · (2n + 1<br />
= (n + 1) · −<br />
2<br />
6<br />
= n · (n + 1) · (n + 2)<br />
6<br />
= 1<br />
6 n3 + 1<br />
2 n2 + 1<br />
3 n<br />
Der Berechnungsaufwand lässt sich bereits deutlich reduzieren, wenn man<br />
berücksichtigt, dass nicht alle Teilsummen einzeln bestimmt werden müssen, da<br />
ja j k=i ak = j−1 k=i ak + aj gilt. Daraus ergibt sich die zweite Version des Algorithmus<br />
(Abbildung 2). Hier gilt für die Anzahl <strong>der</strong> Additionen<br />
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